专题_高中函数值域的求法(讲义与练习)+

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用

三、值域的概念和常见函数的值域 ........................................................................................ - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 ..................................................................................... - 1 -

4.1.直接法 ................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法 .................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法 .................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ........................................................................................................ - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法 ......................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ..................................................................................................... - 8 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ......................................................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ............................................................................................................ - 11 -

三、值域的概念和常见函数的值域

1、定义：函数值y 的取值围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢

⎣⎭

，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤

--∞ ⎥⎝

⎦.， 反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.

四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法

从自变量x 的围出发，推出()y f x =的取值围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例：求函数2x

y =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦

例：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,

8⎛⎤

-∞ ⎥⎝

⎦

例 求函数216x y -=的值域。

解析：161602

≤-≤x Θ， 41602≤-≤∴x

故 所求函数的值域为 []40，

∈y 。

练习

1、求函数()1y x =≥的值域。 )

+∞

2、求函数y = [)1,+∞

3、求函数1y =

的值域。

4、（2013理）y =

()63a -≤≤的最大值为( )

A.9

B.9

2

C.3 【答案】B 4.2配方法

对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，

均可用配方法求解.

例1：求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：22

42(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2

1(2)9x ≤-≤

∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例2：求函数的值域：y =

解：设()2

650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =

.又因为