线性代数1-3__分块矩阵、几种特殊方阵的运算

B 3 B 2B O ,所以 B k O (k 3)
于是
An nEnn1B n(n1)n2 B2
2
n 0
0
n
n(n1)n2
0 0 nn1 0 0 0
0
0
0
nn1 0 0
2 0
0 0 n 0 0
0
n nn1 n n 1 n2
0
0
2
0 n
nn1 .
0
0
0
n
A1B1 0 0 A2B2
2a 1 0 0
1 0
2a 0 0 2b
0 1
.
0 0 2 2b
AB A A 1 0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 , 0 A2B2A2
A1B1A1a3a2a 2aa32a1,
A2B2A2b33 b22b b23 b2 21 b,
解法2：分解 AEB,其中
0 1 0 B0 0 1, 所以有 0 0 0
1 0 0 E0 1 0
0 0 1
An(EB)n
(E)nn(E)n1B1n(n1)(E)n2B2Bn
2!
nEnn1B1n(n1)n2B2Bn
2!
而
0 1 00 1 0 0 0 1
B
2
0
0
1
0
0
1
0
0
0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作用： ①简化高阶矩阵运算 ②简化运算的表达形式 ③看清结构
例如
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
A
a
0 10
1
a
0
1
0
0
b
1
0
0 b1
B 1
B B
2 3
a
A
0 1
1 a 0
0 0 b
0 0
C1
1 C3
C2 , C4
0 1 1 b
为数,那末
Asr
乘
A11 A
As1
A1r
.
Asr
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
乘 法
A 11 A 1t
B 11 B 1r
A , B ,
A s1 A st
B t1 B tr
其A 中 i1,Ai2,,Ai的 t 列数分 B1j,别 B2j, 等 ,Bij于
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求AB, AB . A
解 将A, B分块
a
A
0 0
0
1 a 0 0
0 0 b 1
0
0 1 b
A1 0
a
0 ,
其中
A1
0
A2
b
A2
1
1, a 1; b
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
0
0L
A
s
其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块 均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或
准对角矩阵。
设A、B均为分块对角矩阵，且
A1
A
A2
B1
B
B2
AS
B
S
则有
A1 B1
AB
A2 B2
AS BS
A1
A
A2
(为 数 ）
AS
A1B1
AB
A2B2
证明：（不妨证上三角矩阵的情形)
设
a11 a12
A
0
a22
a1n
a
2
n
b11
B
0
b12 b22
b1n
b2
n
0
0
a
nn
0
0
bnn
则有
n
C AB(cij)nn aikbkj
k1
j
n
aikbkj aikbkj
k1
kj1
当i j时，第一式i 中j k,aik 0; 第二式k中 j,bkj 0，故有 cij 0(i j)
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C C
1 3
C
2
C 4
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
B b 1
1 b
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
0
0 1 b
E
A E
1
O , B
0
0 1
其中Aa 1 0 a
O 0 0 0 0
3 41 0 2 4, 0 2 1 1 1 1
A 1B 22 11
24 1 2
1 0
3 3
3 , 1
于是
1 0 1 0
A B B 11 A 1B 11 B 21
E
A 1B 22
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
例3.2
a 1 0 0
设
A
0 0
a 0
0 b
10,
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
b
B2
1
0, a 0; b
ABA 1 0B 1 0 0 A 2 0 B 2
A1B1 0 , 0 A2B2
A1B1a 0
1a a 1
0
a
2a 1
1 , 2a
A2B2b 1
1b b 1
0 b
2b 2
1 , 2b
A B A 1 0 B 1 0 0 A 2 0 B 2
所以，n阶上（下）三角阵A、B的乘积也为n 阶上（下）三角矩阵。
2. 设A为n阶反称矩阵，B为n阶对称阵，则 AB+BA是n阶反称矩阵。（P23例4.3） 证明：
(AB BA)T (AB)T (BA)T BT AT AT BT B(A) (A)B (AB BA)
1 0
3. 设A 0 1求An.
A 11 A 1r
B11 B1r
加 A , B
法
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
A11B11 A1r B1r 同型
AB
.
As1Bs1 AsrBsr Aij与Bij同型
2
设
A
A11
数
As1
A1r ,
AB A 1 A0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 0 A2B2A2
a3 a 2a2 1 0
0
a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
b23b2021b.
三、分块对角矩阵（准对角矩阵）
形如
A1
0
L
0
A
0
A2 L
0
M M M M
a1
A
a2
(为数）
an
a1b1
AB BA
a2b2
anbn
a1k
Ak
a2k
(k为正整数）
ank
由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的 数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵 的线性运算和乘法运算的封闭性。
数量矩阵(scalar matrix)
a
A
a
a
的 行 ,那 数末
C11 AB
Cs1
C1r
Csr
A的 列 数 B的 行 数 Aik的列数 Bk的 j 行数
t
其 C ij 中 A ik B kji 1 , ,s ;j 1 , ,r.
k 1
说明：
① 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求; ② 相应的子块间也应符合运算的要求.
0 0
解法1：
1 0 1 0
A2 0 10 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2
A3 A2A0
2 2
210
1
0 1
0 0 20 0
3 32 3
0 3 32
0 0 3
由此归纳出
n
An 0
0
kn1 n
0
nn1n2
2
nn1
n2
n
用数学归纳法证明
也称标量矩阵,记作 AaE。
上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于n阶 上（下）三角矩阵A、B，AB的主对角元恰是A、B相 应主对角元的乘积。
（请大家自己证明）
对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭， 而对矩阵的乘法不具封闭性。
课堂练习： 1. 设A、B均为n阶上（下）三角矩阵，试证AB也为
n阶上（下）三角矩阵。（书P25第一题）
AS
BS
A1n
An
பைடு நூலகம்
AT 1
AT
An 2
(n为 正 整 数 ）
An S
AT 2
AT S
请牢记以上几个公式!
对角线子块做相应运算
由此可见，分块对角矩阵对于矩阵的线性运 算、乘积以及转置运算均是封闭的。
四、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一 种最基本、最重要的计算技巧与方法.
教学难点：分块矩阵的乘法。
一、分块矩阵的概念
• 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到 阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩 阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵 的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵， 每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
1、掌握分块矩阵的各种分块方法，会用分块矩阵的 方法化简矩阵的运算.
2、重点掌握将矩阵按行分块、按列分块和分块对角 矩阵的分块方法.
3、分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1)加法 同型矩,阵 采用相同的分块法
(2)数乘 数 k乘矩 A,需 阵 k乘 A的每个子
(3)乘法 若 A 与 B 相 乘 ,需 A 的 列 的 划 分 与 B 的
转
置
4设A
A11
As1
A1r ,
A1T1 则 AT
Asr
A1Tr
A
T s1
.
AsTr
大块小块一起转
例3.1 设 (教材第17页例3.1)
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
别A的 为第 i行(i
1,2,,m)
Am
按列分块得分块行矩阵
A ( A ~ 1 ,A ~ 2 , ,A ~ n ) 其 ,A ~ （ jj 1 , 中 2 , ,n ) 表 A 的 j 列 示
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩 A 与 B 的 阵行,列 数数 相 ,采 相 同 用
相同的 ,有分块法
0 0 1 b
A 1A 2A 3A 4 , 其中
1
A2
a 0
0
A3
0 b
A4
A1
0 0 1
a 0 1 0
1
1
b
a1 1
设
矩
阵A
a2
1
a12 a22
am1 am2
按行分块得分块列矩阵
a1n
a2n
amn
A1
AA2， 其
中 Ai分
当 n2时，显然成立.
假设nk 时成立，则 nk1时，
k
kk1
kk21k2 1 0
An1AkA0 k
kk1 0 1,
0 0
k 0 0
n1
0
n1n
n1
nn211nnn1,
0
0
n1
所以对于任意的 n都有
n
An 0
nn1 n
nn1n2
2
nn1 .
0
0
n
书P14(B)第3题是本题 1 的情形。
§3 分块矩阵及矩阵的分块运算
教学目的：通过本节的教学使学生理解分块矩阵的概 念，掌握分块矩阵的性质和计算的方法.认识分块矩阵在矩 阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础。
教学要求：理解分块矩阵的概念，深刻理解分块矩阵 的性质，熟练掌握分块矩阵的计算方法，会用分块矩阵解 决各种实际问题。
教学重点：分块矩阵的定义和性质，分块矩阵的计算 方法，用分块矩阵的理论化简矩阵的运算。
解 把A,B分块成
1 0
A
0 1 1
1 2 1
0 0
0 1 0
0 0 1
E A1
OE ,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E OB11 E A1 EB21 B22
B11
E .
A1B11B21 A1B22
又 A1B11B21 12 1 0 1 0 1 112 11
划 分 相 一 致
第 四节 几种特殊矩阵
4.1 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵 称为对角矩阵，
1
A
2
n
可简记为 di(a 1,2 g ,n )
设A、B均为n阶对角矩阵，且
a1
b1
A
a2
B
b2
a
n
b
n
则有
a1 b1
AB
a2 b2
an bn