线性代数1-3__分块矩阵、几种特殊方阵的运算
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
线性代数A 分块矩阵
课后练习：
设 S = Ir O , T = Ir K 都是n=r+s阶矩阵，而
K Is
O Is
A= A1 A2 是n阶矩阵，并且与S，T有相同的分法.
A3 A4
求SA, AS, TA, AT. 由此能得出什么规律？
且若A可逆，则有 A 1 =
A111 O O A221
分块矩阵的转置运算
A11 A12 … A1k 设 A = A21 A22 … A2k
………… As1 As2 … Ask
则 AT =
A1T1 A2T1 … ATs1 A1T2 A2T2 … ATs2 …………
A1Tk A2Tk … AsTk
练习 试添加适当水平线和竖直线使得 以下分块乘法有意义.
注意乘法顺序.
A11 A12 … A1k
设A=
A21 …
A22 …
… …
A2k …
As1 As2 … Ask
B11 B12 … B1l
B=
B21 B22 … …… …
B2l …
Bt1 Bt2 … Btl
只有当 s=t, k=l, 且 Aij 与 Bij 同型才有
A11+B11 A12+B12 … A1k+B1k
… ………
rmb1 rmb2 … rmbs
r1
r1B
(2)
AB =
r2 B = …
r2B …
rm
rmB
(3) AB = A (b1 , b2 , … , bs ) = (Ab1 , Ab2 , … , Abs )
特别地，
(1) 若 A= ( a1, …, an ), x = ( x1, …, xn )T, 则
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
矩阵的运算与初等变换
基本列向量，则
a11
Ae j
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2n
0
1
a1 j a2 j
am1 amj
amn
0
amj
➢ 可见当
§2 矩阵的运算
A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 ➢ (1)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×k， C=(Cij)k×n， 则A(BC)=(AB)C ；
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
§2 矩阵的运算
➢ 定义 m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则矩阵是线性代数中的重要概念，而分块矩阵是一种特殊的矩阵形式。
在进行矩阵运算时，我们需要根据不同类型的矩阵选择相应的运算规则。
本文将分别介绍分块矩阵的运算规则和普通矩阵的运算规则，并比较它们之间的异同。
一、普通矩阵的运算规则普通矩阵是最常见的矩阵形式，它由行和列组成，元素可以是任意数值。
普通矩阵的运算规则如下：1. 矩阵加法：两个相同维度的矩阵相加时，对应位置的元素相加得到结果矩阵。
2. 矩阵减法：两个相同维度的矩阵相减时，对应位置的元素相减得到结果矩阵。
3. 矩阵乘法：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行内积运算，得到结果矩阵。
注意，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
4. 矩阵转置：将矩阵的行与列互换得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
5. 矩阵求逆：对于可逆矩阵，可以通过一系列的运算得到它的逆矩阵。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵是由多个子矩阵组成的矩阵形式，常用于简化复杂矩阵的运算。
分块矩阵的运算规则如下：1. 分块矩阵的加法：将对应位置的子矩阵相加得到结果矩阵。
2. 分块矩阵的减法：将对应位置的子矩阵相减得到结果矩阵。
3. 分块矩阵的乘法：根据分块矩阵的形式，选择相应的乘法规则进行计算。
常见的乘法规则有乘法分配律、结合律和交换律等。
4. 分块矩阵的转置：将每个子矩阵的行与列互换得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
5. 分块矩阵的求逆：对于可逆的分块矩阵，可以通过一系列的运算得到它的逆矩阵。
三、分块矩阵与普通矩阵的异同分块矩阵和普通矩阵在运算规则上有一些异同之处。
它们的主要异同点如下：1. 形式不同：普通矩阵由行和列组成，元素可以是任意数值；分块矩阵由多个子矩阵组成，每个子矩阵也可以是普通矩阵。
2. 运算规则不同：普通矩阵的运算规则比较简单，包括加法、减法、乘法、转置和求逆等；分块矩阵的运算规则相对复杂，需要根据矩阵的形式选择相应的运算规则。
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上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.
6、负矩阵
a11 若A a m1
为 A 的负矩阵.
a11 a1n ，则称 a amn m1
记作 A.
a1n amn
7、行阶梯形矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵： 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
规定
AB C (cij )mn ,
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j
ais bsj＝ aik bkj
ｋ1
ｓ
（i 1，， 2 ， m； j 1，， 2 ， n ）
a11 a12 a1s a a a 2s 2s 2s , B (bij ) sn a m1 a m 2 a ms
1 D1 0 0 0 1 0 0 0 2, 2
矩阵 矩阵是一张数表 行数与列数可以不相等 不同大小的矩阵不可能相等
D2
B
0 0
1 1
3 5
2
D1 D 2
0 A 0
0 0
第二节 矩阵的运算
一 二 三 四 五 六 七 加法 数乘 乘法 矩阵的幂 矩阵的转置 方阵的行列式 伴随矩阵
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 x1 , y x , 2 若线性变换为 2 yn x n
记作 E .
0 0 O 0 0
0 O0
全为
《线性代数》课件第3章
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数矩阵分块法
分块矩阵的运算规则与 普通矩阵的运算规则相 类似，
分别说明如下：
（1）设矩阵 A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法
有
A
A11
As1
A1r
，B
B11
Asr
Bs1
B1r
Bsr
，其中 Aij 与 Bij 行数
相同、列数相同，
那么A
B
A11
B11
A1r
B1r
As1 Bs1 Asr Bsr
练习: 设
A1 ,
A2可逆，B
0
A2
A1
，求
B1
0
答案 :
B1
0
A 1
1
A 1
2
0
此结论可以推广！
若第i 行记作
T i
(ai1，ai2，，ain )，
则矩阵 A 便记为
1T
A
T 2
T m
.
m n矩阵 A有n 列，称为矩阵 A的n个列向量，
a1 j
若第
j
列记作 a j
a2 j
，
amj
则
A (a1，a2，，an ) .
例3 设 AT A O ，证明 A O .
证 设A （ai） j mn，把 A用列向量表示为A （a1，a2，，an），
a1T
a1Ta1 a1Ta2 a1Tan
则AT
A
a2T
anT
(a1，a2，，an
)
a2T a1
anT a1
a2T a2
anT a2
a2T an
，
anTan
即 AT A 的(i, j)元为aiTa j ，因 AT A O，
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
7. 单位矩阵 对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等 定义2.1.2
B 有相同的行数和列数， 如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应 位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线 性 代 数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩 阵
• 第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节 矩阵的运算 • 第三节 逆 矩 阵 • 第四节 分 块 矩 阵
第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念 产品 引例 某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵， 元素为复数的矩阵称为复矩阵.
bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如 若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵 只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵 只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。
下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。
考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
线性代数分块矩阵
作
业
17页5,6
23页4,5
cj 第 i 列的 k 倍加到第 j 列上，
i
--倍加变换 kc
--倍乘变换
（3）第 i 行乘以非零常数 k , kri 第 i 列乘以非零常数 k , kci
定义1 若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B, 则称
A 与 B 等价(或相抵),记作 A B( A ~ B).
初等变换是可逆的.
表示 A 的第 i 行 eT i A 表示 A 的 ( i , j ) 元素 eT i Ae j
1.3 初等变换与初等阵
方程组初等变换： 一个方程的k倍加到另一 个方程上 一个方程乘以非零常数 对调两个方程
增广阵的初等（行）变换： 一行的k倍加到另一行上
( kri rj )
( rj kri )
x1 1 x2 1 x 1 3 x1 1 x 1 2 1 x3
原方程组有唯一解为
例2 求对单位阵 E 3 施行一次初等变换得到的矩阵. 解
1 0 0 0 1 0 0 0 k
1 0 12 0 1 6 0 0 3
0 1 1 2 0 1 r1 (2)r2 6 5 0 0 3 3 0 1 ( 1 )r3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 2r3 r2 3 0 1 0 1 r1 4r3 0 0 1 1 0 0 3 3
m n 型分块矩阵.
O diag( A11 , A22 ) A22
分块对角形矩阵
分块阵的运算
运算法则不变，注意分块方法.
（1）加法：两个矩阵分块方法相同； （2）数乘：分块方法任意； （3）乘法：第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的 分法相同； （4）转置：分块方法任意，注意大转+小转.
实用线性代数课件第一章
第一章 矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一， 矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者 之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可 以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数； 同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B
2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵
a11 a21
a12 a22
b1 b2
，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵
a11 a21
a12 a22
，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩 阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A
B
2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有： （1） 加法结合律 (A B) C A (B C) （2） 加法交换律 A B B A （3） 数乘结合律 k(lA) (kl) A （4） 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA
《线性代数》第四节子矩阵
Abi = ei ，i=1 , 2 , … , n 这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成
解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组， 第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的 第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0
这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.
例如对于矩阵
1 3 7 A 3 4 2
7 2 0
则它的所有的 3 个前主子矩阵为
A[1] 1
,
A[2]
1 3
3 4
,
A[3] A
一般地说，凡对角线元全为 A 对角线元的子
矩阵，称为 A 的主子矩阵， 如
1 7
7 0
,
4 2
2 0
就是 A 的另外两个 2 阶主子矩阵.
a22
a1n
a2n
a1
a
2
am1
am2
amn
a
m
其中带上标的小写黑体字母表示行向量， 如
a i 是 A 的第 i 行， a i [ai1 ai 2 ain ] .
利用矩阵按列与按行分块、分块运算法及 1 阶矩阵作其元（即数字）对峙，可对重要的矩阵
乘法及正交矩阵概念分别作些解释.
（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 . 通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方
程组
Ax = b
( 2-12′)
写成
x1
a1
a2
an
x2
b
.
xn
a2n xn b2
xx 22 a m n从 xn而得xaba到11ma2n（1nxxn2n-x122a）b2b12的向x量na形n 式b：
线性代数课件-分块矩阵
Asr
A
T 1r
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A
T s 1
AsTr
A1
A
A2
O
O
A A 1A 2 A s.
As
A1
A
A2
O
O
As
A 可 逆 A i可 i 逆 1 ,2 , ,s且
A 1diA a 1 1,A g 2 1, ,A s 1.
1 b
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
A E
O B
,
其中OBEA ab01 100
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算规则
AB
Cs1 Csr
t
其 C ij 中 A ik B kji 1 , ,s ;j 1 , ,r.
k 1
4设A
A11
As1
A1r
AA1T1T11
,则 则AATT
Asr
A1ATr1Tr
AAsTsT11 .. AAsTsTrr
5设A为n阶矩,若 阵 A的分块矩阵只角有线在
1 设矩 A 与 B 的 阵行,列 数数 相 ,采 相 同 用 同
相同的 ,有分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A , B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算规则是线性代数中的基础知识之一。
而在矩阵的运算中，分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则有一些区别和特点。
一、普通矩阵的运算规则在矩阵的运算中，普通矩阵的运算规则主要包括加法、减法和乘法。
具体规则如下：1. 矩阵的加法：两个矩阵相加时，需要保证这两个矩阵具有相同的行数和列数，然后将它们对应位置的元素相加，得到的结果矩阵的对应位置也是相加的结果。
2. 矩阵的减法：两个矩阵相减时，同样需要保证这两个矩阵具有相同的行数和列数，然后将它们对应位置的元素相减，得到的结果矩阵的对应位置也是相减的结果。
3. 矩阵的乘法：两个矩阵相乘时，需要保证第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，然后将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算，得到的结果矩阵的对应位置就是内积的结果。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵是指将一个大矩阵按照行和列进行分块划分的矩阵。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则有一些不同之处。
具体规则如下：1. 分块矩阵的加法：两个分块矩阵相加时，需要保证这两个矩阵具有相同的分块形式，即对应的分块大小相等，然后将它们对应位置的分块相加，得到的结果分块矩阵的对应位置也是相加的结果。
2. 分块矩阵的减法：两个分块矩阵相减时，同样需要保证这两个矩阵具有相同的分块形式，然后将它们对应位置的分块相减，得到的结果分块矩阵的对应位置也是相减的结果。
3. 分块矩阵的乘法：两个分块矩阵相乘时，需要保证第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，然后将第一个矩阵的每个分块与第二个矩阵的对应分块进行乘法运算，得到的结果分块矩阵的对应位置就是乘法的结果。
总结：分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则在加法、减法和乘法方面是相似的，但是在分块矩阵的乘法运算中，需要对每个分块进行乘法运算，而不是对整个矩阵进行乘法运算。
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0
0L
A
s
其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块 均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或
准对角矩阵。
设A、B均为分块对角矩阵，且
A1
A
A2
B1
B
B2
AS
B
S
则有
A1 B1
AB
A2 B2
AS BS
A1
A
A2
(为 数 ）
AS
A1B1
AB
A2B2
0 0 1 b
A 1A 2A 3A 4 , 其中
1
A2
a 0
0
A3
0 b
A4
A1
0 0 1
a 0 1 0
1
1
b
a1 1
设
矩
阵A
a2
1
a12 a22
am1 am2
按行分块得分块列矩阵
a1n
a2n
amn
A1
AA2， 其
中 Ai分
也称标量矩阵,记作 AaE。
上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于n阶 上（下）三角矩阵A、B，AB的主对角元恰是A、B相 应主对角元的乘积。
（请大家自己证明）
对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭， 而对矩阵的乘法不具封闭性。
课堂练习： 1. 设A、B均为n阶上（下）三角矩阵，试证AB也为
n阶上（下）三角矩阵。（书P25第一题）
划 分 相 一 致
第 四节 几种特殊矩阵
4.1 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵 称为对角矩阵，
1
A
2
n
可简记为 di(a 1,2 g ,n )
设A、B均为n阶对角矩阵，且
a1
b1
A
a2
B
b2
a
n
b
n
则有
a1 b1
AB
a2 b2
an bn
A 11 A 1r
B11 B1r
加 A , B
法
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
A11B11 A1r B1r 同型
AB
.
As1Bs1 AsrBsr Aij与Bij同型
2
设
A
A11
数
As1
A1r ,
作用： ①简化高阶矩阵运算 ②简化运算的表达形式 ③看清结构
例如
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
A
a
0 10
1
a
0
1
0
0
b
1
0
0 b1
B 1
B B
2 3
a
A
0 1
1 a 0
0 0 b
0 0
C1
1 C3
C2 , C4
0 1 1 b
3 41 0 2 4, 0 2 1 1 1 1
A 1B 22 11
24 1 2
1 0
3 3
3 , 1
于是
1 0 1 0
A B B 11 A 1B 11 B 21
E
A 1B 22
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
例3.2
a 1 0 0
设
A
0 0
a 0
0 b
10,
AB A 1 A0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 0 A2B2A2
a3 a 2a2 1 0
0
a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
b23b2021b.
三、分块对角矩阵（准对角矩阵）
形如
A1
0
L
0
A
0
A2 L
0
M M M M
a1
A
a2
(为数）
an
a1b1
AB BA
a2b2
anbn
a1k
Ak
a2k
(k为正整数）
ank
由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的 数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵 的线性运算和乘法运算的封闭性。
数量矩阵(scalar matrix)
a
A
a
a
为数,那末
Asr
乘
A11 A
As1
A1r
.
Asr
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
乘 法
A 11 A 1t
B 11 B 1r
A , B ,
A s1 A st
B t1 B tr
其A 中 i1,Ai2,,Ai的 t 列数分 B1j,别 B2j, 等 ,Bij于
A1B1 0 0 A2B2
2a 1 0 0
1 0
2a 0 0 2b
0 1
.
0 0 2 2b
AB A A 1 0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 , 0 A2B2A2
A1B1A1a3a2a 2aa32a1,
A2B2A2b33 b22b b23 b2 21 b,
转
置
4设A
A11
As1
A1r ,
A1T1 则 AT
Asr
A1Tr
A
T s1
.
AsTr
大块小块一起转
例3.1 设 (教材第17页例3.1)
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
别A的 为第 i行(i
1,2,,m)
Am
按列分块得分块行矩阵
A ( A ~ 1 ,A ~ 2 , ,A ~ n ) 其 ,A ~ （ jj 1 , 中 2 , ,n ) 表 A 的 j 列 示
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩 A 与 B 的 阵行,列 数数 相 ,采 相 同 用
相同的 ,有分块法
当 n2时，显然成立.
假设nk 时成立，则 nk1时，
k
kk1
kk21k2 1 0
An1AkA0 k
kk1 0 1,
0 0
k 0 0
n1
0
n1n
n1
nn211nnn1,
0
0
n1
所以对于任意的 n都有
n
An 0
nn1 n
nn1n2
2
nn1 .
0
0
n
书P14(B)第3题是本题 1 的情形。
B 3 B 2B O ,所以 B k O (k 3)
于是
An nEnn1B n(n1)n2 B2
2
n 0
0
n
n(n1)n2
0 0 nn1 0 0 0
0
0
0
nn1 0 0
2 0
0 0 n 0 0
0
n nn1 n n 1 n2
0
0
2
0 n
nn1 .
0
0
0
n
的 行 ,那 数末
C11 AB
Cs1
C1r
Csr
A的 列 数 B的 行 数 Aik的列数 Bk的 j 行数
t
其 C ij 中 A ik B kji 1 , ,s ;j 1 , ,r.
k 1
说明：
① 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求; ② 相应的子块间也应符合运算的要求.
0 0
解法1：
1 0 1 0
A2 0 10 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2
A3 A2A0
2 2
210
1
0 1
0 0 20 0
3 32 3
0 3 32
0 0 3
由此归纳出
n
An 0
0
kn1 n
0
nn1n2
2
nn1
n2
n
用数学归纳法证明
教学难点：分块矩阵的乘法。
一、分块矩阵的概念
• 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到 阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩 阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵 的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵， 每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C C
1 3
C
2
C 4
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
B b 1
1 b
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
0
0 1 b
E
A E
1
O , B
0
0 1
其中Aa 1 0 a
O 0 0 0 0
解法2：分解 AEB,其中
0 1 0 B0 0 1, 所以有 0 0 0
1 0 0 E0 1 0
0 0 1