量子力学第七章习题

设对应于本征值 的本征函数为 2
1/ 2
a2 b2
由本征方程
Sˆx 1/ 2
2
1
/
2
a2 b2
b a22 b a22b2a2
2020/ຫໍສະໝຸດ Baidu/11
由归一化条件，得
(a 2*
,a2*
)
a2 a2
1
即 2 a2 2 1
∴
1 a2 2
1 b2 2
对应于本征值 的本征函数为 2
1/ 2
其相应的久期方程为
cos (cosicos)
2
2
(cosicos) cos
0
2
2
即 2 2co 2 s 2(c2 os co 2)s0
4
4
2 2 0 (利 c2 用 o s c2 o s c2 o s 1 )
4 2020/6/11
2
所以
Sˆ n
的本征值为
2
。
设对应于 Sn
2
的本征函数的矩阵表示为
1 2
1 1
同理可求得
Sˆ y
的本征值为
2
。其相应的本征函数分别为
1
2
1 2
1i
1 2
1 2
1i
2020/6/11
7.4 求自旋角动量 (cos,cos,cos ) 方向的投影
Sˆn Sˆx c o s Sˆy c o s Sˆz c o s
本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量 Sˆ z 有哪些可能值？这些可
1
1 2
(S
z
)
0
Sˆ x
2
0 1
1 0
Sˆ y
2
0i
i 0
∴ 在 1 (Sz ) 态中 2
Sx
1
S
x
1
(1
2
2
0)
2
0 1
1 0
10
0
2020/6/11
S x 21 2 S ˆx 21 2 (10 ) 2 1 01 0 2 1 01 0 1 0 4 2
a2cosicos2a2 1 1cos
2 a 2 1
1cos
取 a 1 c o s
2
，得 b c o s i c o s 2(1 c o s)
1 cos
1
(Sn
)
cos
1 i
cos
2
2020/6/11
2(1 cos )
1 cos
1
(Sn
)
cos
1 i
cos
2
2(1 cos )
1 (Sn) 2
1cos
2
10co2(s1cicooss) 10
1cos
2
1
2
cos icos 2(1cos )
1 2
可见， Sˆ z 的可能值为
2
2
相应的几率为
1 c o s
2
cos2 cos2 1 cos
2(1 cos )
2
2020/6/11Sz 21c 2o s 21c 2o s 2cos
同理可求得
对应于 Sn
的本征函数为 2
1 cos
1 2
(Sn
)
c
os
2(1
2
i cos
cos )
在此态中， Sˆ z 的可能值为 相应的几率为
2
1 cos
2
2
1 cos
2
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Sz
cos
2
7.5 设氢的状态是
1 2
R 21
(r
)Y11
(
,
)
3 2
可见①式符合上式的要求。
2020/6/11
7.3. 求
Sˆ x
2
0 1
1 0
及Sˆ
y
2
0 i
所属的本征函数。
i 0
的本
征
值和
解： Sˆ x 的久期方程为
2 0
2
2 ( )2 0
2
2
∴
Sˆ x 的本征值为
。 2
2020/6/11
设对应于本征值 的本征函数为 2
1/ 2
a1 b1
R21 (r)Y10
(
,
)
①求轨道角动量 z 分量 Lˆ z 和自旋角动量 z 分量 Sˆ z 的平均值； ②求总磁矩 Mˆ e Lˆ e Sˆ
2
的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
2020/6/11
解：ψ可改写成
1 2R 2(1 r)Y 1(1, ) 1 0 2 3R 2(1 r)Y 1(0, ) 1 0
第七章习题解
7.1.证明：ˆ xˆ yˆ z i
证：由对易关系ˆ xˆ y ˆ yˆ x 2iˆ z
及
反对易关系ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0 ， 得
上式两边乘ˆ z ，得
ˆ xˆ y iˆ z
ˆ xˆ yˆ z
iˆ
2 z
∴ ˆ xˆ yˆ z i
∵
ˆ
2 z
1
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7.2 求在自旋态 1 (S z ) 中， Sˆ x 和 Sˆ y 的测不准关系： 2 (S x )2 (S y )2 ? 解：在 Sˆ z 表象中 1 (S z ) 、 Sˆ x 、 Sˆ y 的矩阵表示分别为 2
1 2R 2(r 1)Y 1(1,
)1 2(S z)2 3R 2(r 1)Y 1(0,
(Sx)2(Sy)2
4
16
2020/6/11
讨论：由 Sˆ x 、 Sˆ y 的对易关系
[ Sˆ x ， Sˆ y ] iSˆ z
要求 (S x )2 (S y )2
2 S z 4
2
在 1 (Sz ) 态中， S z 2
2
(Sx)2(Sy)2
4
16
①
∴
(S x )2 (S y )2
4 16
能值各以多大的几率出现？ Sˆ z 的平均值是多少？
解：在 Sˆ z 表象， Sˆ n 的矩阵元为
S ˆn 2 1 01 0 co 2 s 0 i 0 i co 2 s 1 0 0 1 cos
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Sn 2 co c so icso sco c sio c o s s
1 2
(
S
n
)
a b
，
则
2 c o c is o cs o c s oc isc oo s b a s 2 b a
a (c o ics o ) b s co b s
bcos icos 1cos
由归一化条件，得
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11 2 1 2 (a*,b*)b aa2b2
由本征方程
Sˆx 1/ 2
2
1/
2
，得
210 10ab112ab11
a b1 1a b1 1 b1a1
由归一化条件
1/ 2 1/ 2
1 ，得
(a1*
,
a1*
)
a1 a1
1
2020/6/11
即 2 a1 2 1
∴
a1
1 2
b1
1 2
对应于本征值 的本征函数为 2
1/ 2
1 2
11
(Sx)2
Sx2
2
Sx
2
4
Sy1 2 S ˆy1 2(10) 2 0 i 0 i 1 0 0
S y 21 2 S ˆy 21 2 ( 10 ) 2 0 i 0 i 2 0 i 0 i 1 0 4 2
(Sy)2
Sy2Sy2
2 4