3.6反比例函数与图形的面积(2015年)

1. (2015 湖北省咸宁市) 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端

点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

答案：解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；

②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；

由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：

①x≥﹣3时，显然y=x+3；

②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．

在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，

则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．

把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，

得，解得，

∴y=﹣x﹣3．

综上所述，新函数的解析式为y=；

（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵点C（1，4）在双曲线y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），

∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴P（，m+3），

∴PD=﹣m，

∴△PAD的面积为

S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵a=﹣＜0，

∴当m=﹣时，S有最大值，为，

又∵﹣3＜﹣＜1，

∴△PAD的面积的最大值为；

②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：

当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP与AC不能互相平分，

∴四边形PAEC不能为平行四边形．

2. (2015 辽宁省锦州市) 如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是．

答案：

分析：根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可得|k|=S△AOB=2，据

此求出k的值是多少即可．

解答：解：∵△AOB的面积是2，

∴|k|=2，

∴|k|=4，

解得k=±4，

又∵双曲线y=的图象经过第二、四象限，

∴k=﹣4，

即k的值是﹣4．

故答案为：﹣4．

点评：此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上

任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

3. (2015 贵州省黔西南州) 如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x 轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ．

答案：

分析：由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出．

解答：解：由题意得：S矩形ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，

故答案为：﹣4．

点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

4. (2015 浙江省湖州市) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= (x<0)图象上一点，AO的延长线交函数y= (x>0，k是不等于0的常

数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，

CC′，C′A′，A′A 所围成的图形的面积等于( )

A. 8

B. 10

C. 3

D. 4

答案：

答案B.

解析

试题分析：如图，连接O A′,由点A和点A′关于y轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等

可得∠BOC= A′OB；又因点C与点C′关于x轴的对称，所以点A、A′、

C′三点在同一直线上.设点A的坐标为（m，

），直线AC经过点A，可求的直线AC的表达式为.直线AC 与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k＜0时为（mk，），当k＞0时为（-mk，）,根据△ABC

的面积等于6可得，解得.或

，解得，所以y=.根据反比例函

数比例系数k的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为1，△CO C′的面积为9，所以线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10，故答案选B.

5. (2015 四川省资阳市) 如图7，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直

线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数

8

y

x

=（x＞0）和

k

y

x

=（x＞0）的图象交于P、Q两点，

若S△POQ=14，则k的值为__________．