1.1.2余弦定理导学案讲解学习

1.1.2余弦定理导学

案

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1.1.2 余弦定理

【旧知回顾】

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC 中，已知10c =，0

45A =，0

30C =，解此三角形．

思考：应用正弦定理求解三角形的类型有哪些？它们的一般步骤分别是什么？

【新知探究】

一、余弦定理的内容： ⑴语言叙述：

三角形中任何一边的平方等于 减去 的积的 . ⑵公式表达：

2a = ；2b = ；2c = .

⑶推论：

cos A = ；cos B = ；cos C = . 二、余弦定理的证明：

探究：在△ABC 中，已知AB c =，BC a =，及角B ，求b .

二、余弦定理的理解

在△ABC 中，若2

2

2

a b c <+，则∠A 为 角，反之成立； 在△ABC 中，若2

2

2

a b c =+，则∠A 为 角，反之成立； 在△ABC 中，若2

2

2

a b c >+，则∠A 为 角，反之成立.

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 三、余弦定理的应用

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

③已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理）． 【典例剖析】

例1.在△ABC 中，已知3b =

，c =，0

30B =，求角A 、角C 和边a .（用两种方法求解）

变式1. △ABC 中，0

120A =，5AB =，7BC =，则

sin sin B

C

=____________.

A B

C

b c

a

思考1：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，利用正弦定理和余弦定理求解的区别是什么？

例2.已知△ABC的三边长为3

a=，4

b=

，c=ABC的最大内角．

变式2.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13

A B C=，则△ABC（）

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

思考2：判断三角形形状的方法有哪些？

例3.在△ABC中，已知()()3

a b c a b c ab

+++-=，且2cos sin sin

A B C

⋅=，确定△ABC的形状．变式3.在△ABC中，若2

A C B

+=，2

ac b

=，判断△ABC的形状．

思考3：应用正、余弦定理在判定三角形形状时，它的一般方法是什么？例4.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且

cos

cos2

B b

C a c

=-

+

.⑴求B的大小；

⑵若b=4

a c

+=，求a的值．

变式4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

，tan C=.

⑴求cos C；

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⑵若5

2

CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c .

余弦定理标准化作业

1．在△ABC 中，a 2

＋b 2

，则这个三角形一定是( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

2．△ABC 中，AB →

＝a ，AC →

＝b ，a ·b <0，△ABC 的面积为153

4

，|a |＝3，|b |＝5，则BC 边的长为( )

A ．4

B ．6

C ．7

D ．9

3．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围( ) A ．(1，5) B ．(5，13) C ．(1,25)

D ．(23，25)

4．已知三角形的边长分别为4,5，61，则它的最大内角的度数为( ) A ．150° B ．120° C ．135° D ．90°

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2

＋c 2

－b 2

＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6

D.π3或2π

3 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →

＝( ) A ．－32 B ．－23 C.2

3

D.3

2

7．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2

＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形

8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为3

2，

那么b 等于( )

A.

1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋3

2

D ．2＋ 3 9．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且S △ABC ＝

a 2＋

b 2－

c 2

4

，那么∠C ＝________.

10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2

＋c 2

＝a 2

＋bc ，且AC →·AB →

＝4，则△ABC 的面积等于________．

11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3

.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．

12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝3，b sin A ＝4. (1)求边长a ；

(2)若△ABC 的面积S ＝10，求△ABC 的周长l .

13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2

－c 2

＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .