2016年研究生入学考试数学一参考解答

x 1 + x2
D. −
x 1 + x2
【解析 解析】本题考查线性方程解的结构。 解析 由题意可知 y = 1 + x 2 是对应齐次方程的解， y = (1 + x 2 ) 2 是非齐次线性方程的解，分别代入 原齐次方程与非齐次方程得 p( x ) = −
x , q( x ) = 3x (1 + x 2 ) ，应选A. 2 1+ x
旋转一周而得） ，应选B. 7．设随机变量 X ~ N ( µ , σ 2 )(σ > 0) ，记 p = P{ X ≤ µ + σ 2 } ，则【 B 】 A． p 随着 µ 的增加而增加 B. p 随着 σ 的增加而增加 D. p 随着 σ 的增加而减少 C. p 随着 µ 的增加而减少 µ , σ 【解析 解析】本题正态分布参数 与概率的关系。 解析
0 0 = (5 − λ )(1 + λ )2 ， −1 − λ
x1 u 特征值 λ = −1, −1,5 ，可以用正交变换 x2 = P v 将 f 化为标准形：−u 2 − v 2 + 5w2 = −(u 2 + v 2 ) + 5w 2 ，由 x w 3 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 可得 5w − (u + v ) = 2 的几何图形为双叶双曲面 （可视为由双曲线 5w 2 − u 2 = 2 绕实轴 ow
x <1 ，取 C = 0 得，即得选项D. x ≥1
3.若 y = (1 + x 2 ) 2 − 1 + x 2 ， y = (1 + x 2 ) 2 + 1 + x 2 是微分方程 y ′ + p ( x ) y = q( x ) 的两个解，则 q ( x ) = 【 A 】 A． 3 x (1 + x 2 ) B. −3 x (1 + x 2 ) C.
2
二、填空题（ 填空题 9-14小题，每小题4分，共24分）
北京理工大学珠海学院 理工学院
考研数学指导
9. lim
x →0
∫
x
0
t ln(1 + t sin t )dt 1 − cos x
2
=
1 2
x
.
【解析】本题考查极限基本计算。
x ln(1 + x sin x ) x3 1 = lim = lim 3 = . 2 4 3 x →0 x → 0 x → 0 x → 0 1 − cos x x /2 2x 2x 2 10. 向量场 A ( x, y , z ) = ( x + y + z )i + xyj + zk 的旋度 rot( A ) = − j + ( y − 1)k .
示的二次曲面为【 B 】 A. 单叶双曲面 B.双叶双曲面 C.椭球面 D.柱面 【解析 解析】本题考查二次型与二次曲面. 解析 1 2 2 f = x T Ax ， A = 2 1 2 ，特征多项式： 2 2 1 1− λ 2 2 1 1 1 1 0 | A − λ E |= A = 2 1− λ 2 = (5 − λ ) 2 1 − λ 2 = (5 − λ ) 2 −1 − λ 2 2 2−λ 2 2 1− λ 2 0
( x − 1)2 + C1 , 【注】f ( x ) 原函数计算过程： 先求出 F ( x ) = x (ln x − 1) + C2 ( x − 1)2 + C , 即 F ( x) = x (ln x − 1) + 1 + C ,
x <1 C1 = C2 − 1 , ， 再由 F ( x ) 的连续性知道， x ≥1
理工学院 考研数学指导
2016 年硕士研究生入学考试数学一参考解答 年硕士研究生入学考试数学一参考解答
一、选择题（ 选择题 1-8小题，每小题4分，共32分） +∞ 1 dx 收敛，则【 C 】 1. 若反常积分 ∫ a 0 x (1 + x )b A. a < 1 且 b > 1 B. a > 1 且 b > 1 C. a < 1 且 a + b > 1
−
+ + +
【注】根据连续的定义容易排除A,B选项. 5. 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，且 A, B 相似，则下列结论错误 C 】 错误的是【 错误 A. AT , B T 相似 B. A−1 , B −1 相似 C. A + AT , B + B T 相似 D. A + A−1 , B + B −1 相似 . 【解析 解析】本题考查矩阵相似概念 解析 T T T −1 T T T T −1 由 A, B 相似可知，存在可逆阵 P 使得 B = P −1 AP , 从而 B = P A ( P ) = P A ( P ) ，即 AT , B T 相似；
B −1 = ( P −1 AP ) −1 = P −1 A−1 P , 即 A−1 , B −1 相似； B + B −1 = P −1 AP + P −1 A−1 P = P −1 ( A + A−1 ) P , 即 A + A−1 , B + B −1 相似。应选C.
2 2 2 则 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 在空间直角坐标下表 6. 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 ，
( x − 1) 2 , B. F ( x ) = x(ln x + 1) − 1, ( x − 1) 2 , F ( x ) = D. x(ln x − 1) + 1,
x <1 x ≥1 x <1 x ≥1
【解析 解析】本题考查原函数概念。 解析 由原函数的连续性容易排除A,C，再由 x > 1 时， F ′( x ) = ln x ，正确选项为D.
0 0
∫ lim
x
t ln(1 + t sin t )dt
∫ = lim
t ln(1 + t sin t )dt
【解析】本题考查向量场旋度计算。
i ∂ ∂x x+ y+z
j ∂ ∂y xy
k ∂ = 0i − ( − j) + ( y − 1)k = j + ( y − 1)k . ∂z z
11. 设函数 f (u, v ) 可微， z = z ( x, y ) 由方程 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 确定，则 d z ( 0,1) = −dx + 2dy . 【解析 解析】本题考查二元隐函数、复合函数微分计算。 解析 首先在 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 中令 x = 0, y = 1 得 z = 1 ；其次由 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 两边微分 得 zdx + ( x + 1)dz − 2 ydy = 2 xf ( x − z, y )dx + x 2 f1′( x − z, y )( dx − dz ) + x 2 f 2′( x − z , y )dy ， 再令 x = 0, y = z = 1 得， dx + dz − 2dy = 0 ，解得 d z ( 0,1) = −dx + 2dy . 12. 设函数 f ( x ) = arctan x −
【解析 解析】本题考查函数连续性、可导性概念。 解析
2016 硕士研究生入学考试数学一参考解答
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f −′(0) = lim
−
f ( x ) − f (0) 1/ n − 0 f ( x ) − f (0) x = lim = 1 ，这是因为 = lim = 1 ， f +′(0) = lim x →0 x →0 x x x →0 x →0 x x 1/( n +1) < x <1/ n 1/ n 1/ n − 0 1/ n lim ≤ lim ≤ lim = 1 ，所以 f ( x ) 在 x = 0 处可导。 n →∞ n →∞ x → 0 1 / n 1/( n +1)< x <1/ n x 1 / (n + 1)
1 . 2 x = 0 处的值。 【解析 解析】本题考查二阶导数计算或利用Maclaurin级数求各阶导数在 解析
记 g ( x ) = arctan x, h ( x ) =
x ，且 f ′′′(0) = 1 ，则 a = 1 + ax 2
x ，则 f ( x ) = g ( x ) − h( x ) ， f ′′′(0) = g ′′′(0) − h′′′(0) ， 1 + ax 2
1 . 2 【注】本题也可以先求出 f ′′( x ) ，再用定义求 f ′′′(0) ,如果直接求三阶导数，比较繁琐. λ −1 0 0 0 λ −1 0 = λ 4 + λ 3 + 2λ 2 + 3λ + 4 . 13. 行列式 0 0 λ −1 4 3 2 λ +1 . 【解析 解析】本题考查行列式的计算 解析 λ −1 0 0 λ −1 0 −1 0 0 λ −1 0 λ −1 0 −1 0 =λ 0 λ −1 − 4 λ −1 0 = λ 2 + 3λ +4 λ −1 0 0 λ −1 2 λ +1 3 2 λ +1 0 λ −1 4 3 2 λ +1
D. a > 1 且 a + b > 1
【注】本题有超大纲嫌疑。 2. 已知函数 f ( x ) =
2( x − 1), x < 1, 则 f ( x ) 的一个原函数是【 D 】 x ≥ 1, ln x,
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( x − 1) 2 , x <1 A. F ( x ) = x (ln x − 1), x ≥ 1 ( x − 1)2 , x <1 F ( x ) = C. x(ln x + 1) + 1, x ≥ 1
【解析 解析】本题考查反常积分敛散性判定。 解析
1 +∞ 1 +∞ 1 1 1 1 1 dx = dx + dx = dx + ∫0 x a (1 + x)b ∫0 x a (1 + x)b ∫1 x a (1 + x)b ∫0 x a (1 + x)b ∫1 a+b 1 b dx x (1 + ) x 1 1 1 1 1 1 < dx 收敛； dx 收敛，所以此时 ∫0 a ， 当 a < 1 ， b > 0 时在 (0,1] 上， 0 < a x (1 + x )b x a ∫0 x a x (1 + x )b +∞ 1 1 1 < a +b ， ∫ dx 收敛，所以选C. 当 a + b > 1 ， b > 0 时，在 [1, +∞ ) 上， a +b −1 b 1 x (1 + x ) x x a +b +∞
g ′( x ) = arctan x = h( x ) =
1 = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + ⋯ ,| x |< 1 ， g ′′′(0) = −2 ， 1 + x2
x = x − ax 3 + ax 5 − ax 7 + ⋯ ,| ax 2 |< 1 ， h′′′(0) = −6a ， 2 1 + ax
x ≤ 0, x, 4.已知函数 f ( x ) = 1 则 1 1 , < x ≤ , n = 1, 2,⋯ , n n n +1 （A） x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点. （B） x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点. （C） f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导. （D） f ( x ) 在 x = 0 处可导.
p = P{ X ≤ µ + σ 2 } = P{
X −µ
σ
≤ σ } = Φ (σ ) ，应选B.
1 .将试验 E 独立重复做 3 2次， X 表示2次试验中结果 A1 发生的次数， Y 表示2次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数
8． 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ， 且三种结果发生的概率均为 为【 A 】 1 1 1 1 A. − B. − C. D. 2 3 3 2 【解析 解析】本题考查随机变量相关系数. 解析 1 1 2 4 X ~ B (2, ) , Y ~ B (2, ) , EX = EY = , DX = DY = , 3 3 3 9 由于 P ( X = 2, Y = 1) = P ( X = 2,Y = 2) = P ( X = 1, Y = 2) = 0 , P ( X = Y = 1) =
2 ,所以， 9 2 2 4 2 E ( XY ) = 1 × 1 × P ( X = Y = 1) = , cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = − = − , 9 9 9 9 cov( X , Y ) −2 / 9 1 ρ XY = = = − . 选A. 4/9 2 DX DY