2016年研究生入学考试数学一参考解答

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2016全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

2016全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

2016考研数学(一)真题及详细答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】(C )(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】(D )(3)若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111x x A x x B x x C D x x +-+-++【答案】(A )(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ,则( ) (A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 【答案】(D )(5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( )(A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似 【答案】(C )(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (D )柱面 【答案】(B )(7)设随机变量()()0,~2>σσμNX ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 【答案】(B )(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )(缺失)二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx【答案】21(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA 【答案】()1,1,0-y(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz【答案】dy dx 2+-(12)设函数()21arctan ax xx x f +-=,且()10''=f ,则________=a【答案】21(13)行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 【答案】432234++++λλλλ(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】()8.10,2.8三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.【答案】3325+π (16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.【答案】()II k3 (17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值 【答案】3(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑【答案】21(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.【答案】略(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?【答案】2-=a 时,无解;1=a 时,有无穷多解,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21211133k k k k X ;2-≠a 且1≠a 时,有唯一解,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=01240231a a a a X (21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)

2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)

Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
(9)【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1

COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
(10)[答案】_/ +(》一1)4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n: = 2jc f Jjc 一 z
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2016年数学(一)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
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*
o j?"(l +工)"
1
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1+ 壬“(

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2016年全国硕士研究生入学考试数学一一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题纸..指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y px y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ,则( ) (A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )T A 与T B 相似 (B )1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2fx x x=在空间直角坐标下表示的二次曲面为( ) (A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面 (7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题..纸.指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA (11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a(13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n x x ∞+=-∑绝对收敛;(II )limn n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ 分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016考研数学一真题及解析标准答案

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2016考研数学(一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 (2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D)()f x 在0x =处可导(5)设A,B 是可逆矩阵,且A 与B相似,则下列结论错误的是( )(A)T A 与T B 相似 (B )1A -与1B -相似(C)T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A)单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C)椭球面 (C)柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A)p 随着μ的增加而增加 (B)p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少 (D)p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2016考研数学(一)真题完整版一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分11badx x x收敛,则()(2)已知函数21,1ln ,1x x f xx x ,则f x 的一个原函数是()(3)若22222211,11y x x yxx 是微分方程yp x y q x 的两个解,则q x()(4)已知函数,0111,,1,2,1x xf xxn n n n,则()(A )0x 是f x 的第一类间断点(B )0x 是f x 的第二类间断点(C )f x 在0x 处连续但不可导(D )f x 在0x 处可导(5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是()(A )T A 与TB 相似(B )1A与1B 相似(C )TA A 与TBB 相似(D )1A A 与1B B 相似(6)设二次型222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x ,则123,,2f x x x 在空间直角坐标下表示的二次曲面为()(A )单叶双曲面(B )双叶双曲面(C )椭球面(C )柱面(7)设随机变量0,~2N X ,记2XP p,则()(A )p 随着的增加而增加(B )p 随着的增加而增加(C )p 随着的增加而减少(D )p 随着的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为()二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)__________cos 1sin 1ln lim2xdt t t t xx(10)向量场zk xyjiz yxz y x A ,,的旋度_________rotA(11)设函数v u f ,可微,y x z z,由方程y z xf x y zx ,122确定,则_________1,0dz(12)设函数21arctan axxx xf ,且10''f ,则________a (13)行列式1000100014321____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体2,N的简单随机样本,样本均值9.5x ,参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域,221cos ,22Dr r ,计算二重积分Dxdxdy .(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,yyky 其中01k .证明:反常积分0()y x dx 收敛;若'(0)1,(0)1,y y 求()y x dx 的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x yf x y x ex且(0,)1,tf y y L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy xy,并求()I t 的最小值(18)设有界区域由平面222z y x 与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分zdxdyydzdx dydz xI 3212(19)(本题满分10分)已知函数()fx 可导,且(0)1f ,10'()2f x ,设数列nx 满足1()(1,2...)nn x f x n,证明:(I )级数11()nn n x x 绝对收敛;(II )lim n nx 存在,且0lim 2nnx .(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112Aa B a aa 当a 为何值时,方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵112300A(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B 满足2BBA ,记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)

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凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构2016考研数学(一)真题完整版一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y xy x=+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ,则( )凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式100010014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题..纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016考研数学一真题及答案解析完整版

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2016考研数学一真题及答案解析(完整版)2016年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、单选题1.已知函数 f(x) 在(0, +∞) 上连续,且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) +2√[f(x)f(y)],则 f(x) 的解析式是() A. f(x) = x^2 B. f(x) = x^2 + 2x C. f(x) = x^2 + 4x D. f(x) = x^2 + 6x答案:C解析:将 x=y=0 代入方程得到 f(0) = 0,将 y=0 代入方程得到 f(x) = f(x) + f(0),所以 f(0) = 0。

将 y=x 代入方程得到 f(2x) = 4f(x),所以 f(2x) =4f(x) = 4(x^2 + 2x) = (2x + 4)^2。

所以 f(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4。

2.在等差数列 1, 3, 5, 2015 中,有多少个数能被 3 整除? A. 672 B. 671C. 670D. 669答案:A解析:等差数列的公差是 2,所以第 n 项是 1 + (n-1)2 = 2n-1。

要使 2n-1 能被 3 整除,则 n 必须是 3 的倍数。

2015 ÷ 3 = 671 余 2,所以有 671 个数能被 3 整除。

3.设 A 是m×n 的矩阵,B 是n×m 的矩阵,则 AB 的秩为() A. m B. nC. m + nD. 0答案:D解析:秩的定义是矩阵的非零行的最大数目。

AB 的秩等于 B 的非零行的最大数目,因为 AB 的行是 A 的行与 B 的列的线性组合,所以 AB 的秩不可能超过 B 的非零行的最大数目。

而 B 的非零行的最大数目不可能大于 n,所以 AB 的秩不可能大于 n,所以 AB 的秩为 0。

二、填空题1.设函数 f(x) = x^2 + ax + b,其中 a, b 是常数,f(x) 的图像经过点 (1,2),则 a + b 的值是 ______。

2016考研数一真题答案及详细解析

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从而
J I (t)= 盯(x,y )dx+盯(x,y)dy =JO,t) — f(O,O)=e2一t +t.
L


I'(t)=-e2一t +l.令 I'(t)=O得t =2.
由千当 t<2 时, I'(t)<o, Ht) 单调减少;当 t>2 时,I'(t)>O,I(t) 单调增加,所以 J(2)= 3
(x+u式-2y=x气f'1 (x — 之,y)• (— 式)+f�(x -之,y)]. 再将 x = O,y = l 代入原式,可得乏 = 1. 将 x = O,y = l,之 = 1 代入上述两式,得乏: = — 1,式 = 2. 故 dz I <o,u =己 dx +式dy = -dx+2dy.
-1 0 +
。 。 入 -1
入 -1
。 。 入 -1
入 -1
。 。 (-1)4+s X2 0 入
+(— 1)4+4 (A +1)
。 。 。 。 —1
入 -1 入
=入 4 十入 3 +2入 2+3入十4.
04) (8. 2,10.8)

(x µ 的置信区间为
— t 旦 (n
2
— 1)
S

,
— X

+t 旦 (n
当a =—2 时,由于
—1 —1 2
。。 -26)-(� 。。 。 。 c�(�
3 -3 -3 3 0
— 1 -1 2 2 1 —1 �)
0
所以AX=B无解.

2016考研数学一真题及解析答案

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2016考研数学(一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )(3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面 (7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016考研数学一试题及答案详解

2016考研数学一试题及答案详解

(8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ,将试验 E 独 3
立重复做 2 次, X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数, Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为 ( ) (B)
1 2 【答案】(A) 【解析】方法一:
x, x 0, (4) 已知函数 f ( x) 1 则 1 1 , x , n 1,2, , n n 1 n
(A) x 0 是 f ( x )的第一类间断点. (C) f ( x )在 x 0 处连续但不可导. 【答案】(D) 【解析】因为 lim f ( x) lim x 0 , lim f ( x ) lim
2 2 (11) 设函数 f u, v 可微, z z x, y 由方程 x 1 z y x f x z , y 确定,则
dz | 0,1 _____ .
5
【答案】 dx 2dy 【解析】将 x 0, y 1 代入 ( x 1) z y 2 x 2 f ( x z , y ) 得 z 1 .
所以相关系数 XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )

1 2
.
4
方法二: 设 Z 表示 2 次试验中结果 A3 发生的次数,则 X Y Z 2 。 根据方差的性质有 D(Y )=D( 2 X Z ) D( X Z ) D( X ) D( Z ) 2Cov( X , Z ) ,注意 到 D(Y ) D( X )=D( Z ), Cov( X , Z ) Cov( X , Y ) ,从而 D( X )= 2Cov( X , Y ) 。所以根据相关 系数的定义有 XY

2016考研数学一真题及解析参考答案

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2016考研数学(一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(((()q x =(,则()(的第一类间断点(B )(处连续但不可导(D ) (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是()(A )TA 与TB 相似(B )1A -与1B -相似(C )TA A +与TB B +相似(D )1A A -+与1B B -+相似 (6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为()(A )单叶双曲面(B )双叶双曲面(C )椭球面(C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则() (A )p 随着μ的增加而增加(B )p 随着σ的增加而增加(少(22(((11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan ax x x x f +-=,且()10''=f ,则________=a(13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,nx x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在((D ⎧=⎨⎩(0,ky +=()I ()II (21),x ye-+且f 积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}nx 满足1()(1,2...)n n xf x n +==,证明:(I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim nn x →∞存在,且0lim 2nn x→∞<<.(22a ⎫⎪⎪⎪-⎭当a ((I ()将12,,ββ(域D (I (U X (III )求Z U X =+的分布函数()F z . (23)设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,3,32θθθx x x f ,其中()∞+∈,0θ为未知参数,321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,令()321,,m ax X X X T =。

2016考研数学一真题及标准答案解析(完整版)

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2016考研数学(一)真题完整版一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 (2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A)0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C)()f x 在0x =处连续但不可导 (D)()f x 在0x =处可导(5)设A ,B是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( )(A )T A 与T B 相似 (B)1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C )椭球面 (C)柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A)p 随着μ的增加而增加 (B)p 随着σ的增加而增加(C)p 随着μ的增加而减少 (D)p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题..纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2016考研数学(一)真题完整版一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ,则( ) (A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式100010014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为的双侧置信区间的置信上限为,则μ的置信度为的双侧置信区间为______. 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016【考研数一】真题及解析

2016【考研数一】真题及解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1〜8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若反常积分1■干严收敛,则()(A )a <1 且b A1(B 冃 A 1 且b >1 (C )a c 1 且a + b >1 (D )a A I 且a + b >1 【解析】-be I X a (1+x) 1b dx 17a(1 + x)1乂 1 *1时X 严1 1 b[—X 在(p<1时收敛),可知ac1,而此时(1+x)b 不影响 ^0 x p -be 1 -be同理,f --- ----- x=f - ^1 X a(1 + x)b 1 -——dx(1 )1+-j -p dx ( p >1时收敛),而此时|2 f X —1 \ X 吒1(2)已知函数f (x )V * “ ,贝y f (X )的一个原函数是([In x,x>1广2广2|(x -1 2 ,x c 1 |(x -1) ,xv1(A )F (x )=r 丿 (B )F (x )=r 丿[x (lnx-1 )x 却 [x (ln x +1 )- 1,x>1广2广2|(x -1 ) ,X<1 |(X -1) ,x<1(C )F (x 尸r 八 (D )F (x )=r 八1x (1 n x+1 )+1,x >1 1x (1 n x-I ( X —1)2+C X£1【解析】由已知可得, F (X )斗' 1,取C , [x (In X T) + 5+1 X 3 1=0,故选D(3[若 y = (1 +x2 ) - J 1 +x 2, y = (1 + x 2 ) + J 1 +x 2 是微分方程 y + p x y q X 的两个解,q (x )=()2y ,+p (x )y = f (x )的解。

2016年考研数学一试题及解答

2016年考研数学一试题及解答

B
有唯一解,
X
=
1 0
3a
a a a
+ − +
2 4 2
.
−1 0
21.(本题满分 11 分)
0 −1 1
已知矩阵 A = 2 −3 0 .
000
( I ) 求 A99;
( II ) 设 3 阶矩阵 B = (α1, α2, α3) 满足 B2 = BA, 记 B100 = (β1, β2, β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.
5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学(一) 试题及解答 · 第 1 页(共 7 页)
6. 设二次型 f (x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, 则 f (x1, x2, x3) = 2
( ξn−1介于xn, xn−1之间 ) ( ξn−2介于xn−1, xn−2之间 )
= (· · ·
)
n∏−1
=
f ′(ξi) | x2 − x1 |
i=1
( 1 )n−1
< | x2 − x1 | 2
( ξi介于xi+1, xi之间 ) (1)
∑ ∞ ⇒ 级数 (xn+1 − xn) 绝对收敛.
三、解答题:15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2016考研数学一真题及答案解析

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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.1、若反常积分1(1)a bdx x x +∞+⎰收敛,则(A )1a <且1b >.(B )1a >且1b >.(C )1a <且1a b +>.(D )1a >且1a b +>.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是(A )2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩(B )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩(C )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩(D )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩3、若222(1)1y x x =+-+,222(1)1y x x =+++是微分方程'()()y p x y q x +=的两个解,则()q x =(A )23(1)x x +.(B )23(1)x x -+.(C )21x x +.(D )21xx-+.4、已知函数,0,()111,,1,2,,1x x f x x n nn n≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ 则(A )0x =是()f x 的第一类间断点.(B )0x =是()f x 的第二类间断点.(C )()f x 在0x =处连续但不可导.(D )()f x 在0x =处可导.5、设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是(A )T A 与TB 相似.(B )1A -与1B -相似.(C )TA A +与TB B +相似.(D )1A A -+与1B B -+相似.6、设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则123(,,)2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为(A )单叶双曲面(B )双叶双曲面(C )椭球面(D )柱面7、设随机变量2~(,)(0)X N μσσ>,记2{}p P X μσ=≤+,则(A )p 随着μ的增加而增加(B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少(D )p 随着σ的增加而减少8、随机试验E 有三种两两不相容的结果1A ,2A ,3A ,且三种结果发生的概率均为13,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为(A )12-(B )13-(C )13(D )12二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.9、02ln(1sin )lim_______.1cos xx t t t dt x →+=-⎰10、向量场(,,)()A x y z x y z i xyj zk =++++的旋度_______.rotA =11、设函数(,)f u v 可微,(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定,则(0,1)|______.dz =12、设函数2()arctan 1xf x x ax=-+,且(0)1f '''=,则a =______.13、行列式100010014321λλλλ--=-+______.14、设12,,,n x x x 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)已知平面区域{=(,)|22(1cos ),22D r r ππθθθ⎫≤≤+-≤≤⎬⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.16、(本题满分10分)设函数()y x 满足方程20y y ky '''++=,其中01k <<.(1)证明:反常积分()y x dx +∞⎰收敛;(2)若(0)1y =,(0)1y '=,求0()y x dx +∞⎰的值.17、(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21)x y f x y x e x-∂=+∂,且(0,)1f y y =+,t L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线。

2016全国考研数学一真题及解析答案.doc

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2016考研数学(一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

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2016考研真题完整版数学(一)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y xy x=+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim2=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AXB =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

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示的二次曲面为【 B 】 A. 单叶双曲面 B.双叶双曲面 C.椭球面 D.柱面 【解析 解析】本题考查二次型与二次曲面. 解析 1 2 2 f = x T Ax , A = 2 1 2 ,特征多项式: 2 2 1 1− λ 2 2 1 1 1 1 0 | A − λ E |= A = 2 1− λ 2 = (5 − λ ) 2 1 − λ 2 = (5 − λ ) 2 −1 − λ 2 2 2−λ 2 2 1− λ 2 0
1 . 2 【注】本题也可以先求出 f ′′( x ) ,再用定义求 f ′′′(0) ,如果直接求三阶导数,比较繁琐. λ −1 0 0 0 λ −1 0 = λ 4 + λ 3 + 2λ 2 + 3λ + 4 . 13. 行列式 0 0 λ −1 4 3 2 λ +1 . 【解析 解析】本题考查行列式的计算 解析 λ −1 0 0 λ −1 0 −1 0 0 λ −1 0 λ −1 0 −1 0 =λ 0 λ −1 − 4 λ −1 0 = λ 2 + 3λ +4 λ −1 0 0 λ −1 2 λ +1 3 2 λ +1 0 λ −1 4 3 2 λ +1
1 . 2 x = 0 处的值。 【解析 解析】本题考查二阶导数计算或利用Maclaurin级数求各阶导数在 解析
记 g ( x ) = arctan x, h ( x ) =
x ,且 f ′′′(0) = 1 ,则 a = 1 + ax 2
x ,则 f ( x ) = g ( x ) − h( x ) , f ′′′(0) = g ′′′(0) − h′′′(0) , 1 + ax 2
0 0
∫ lim
x
t ln(1 + t sin t )dt
∫ = lim
t ln(1 + t sin t )dt
【解析】本题考查向量场旋度计算。
i ∂ ∂x x+ y+z
j ∂ ∂y xy
k ∂ = 0i − ( − j) + ( y − 1)k = j + ( y − 1)k . ∂z z
11. 设函数 f (u, v ) 可微, z = z ( x, y ) 由方程 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 确定,则 d z ( 0,1) = −dx + 2dy . 【解析 解析】本题考查二元隐函数、复合函数微分计算。 解析 首先在 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 中令 x = 0, y = 1 得 z = 1 ;其次由 ( x + 1) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 两边微分 得 zdx + ( x + 1)dz − 2 ydy = 2 xf ( x − z, y )dx + x 2 f1′( x − z, y )( dx − dz ) + x 2 f 2′( x − z , y )dy , 再令 x = 0, y = z = 1 得, dx + dz − 2dy = 0 ,解得 d z ( 0,1) = −dx + 2dy . 12. 设函数 f ( x ) = arctan x −
p = P{ X ≤ µ + σ 2 } = P{
X −µ
σ
≤ σ } = Φ (σ ) ,应选B.
1 .将试验 E 独立重复做 3 2次, X 表示2次试验中结果 A1 发生的次数, Y 表示2次试验中结果 A2 发生的次数,则 X 与 Y 的相关系数
8. 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 , 且三种结果发生的概率均为 为【 A 】 1 1 1 1 A. − B. − C. D. 2 3 3 2 【解析 解析】本题考查随机变量相关系数. 解析 1 1 2 4 X ~ B (2, ) , Y ~ B (2, ) , EX = EY = , DX = DY = , 3 3 3 9 由于 P ( X = 2, Y = 1) = P ( X = 2,Y = 2) = P ( X = 1, Y = 2) = 0 , P ( X = Y = 1) =
x 1 + x2
D. −
x 1 + x2
【解析 解析】本题考查线性方程解的结构。 解析 由题意可知 y = 1 + x 2 是对应齐次方程的解, y = (1 + x 2 ) 2 是非齐次线性方程的解,分别代入 原齐次方程与非齐次方程得 p( x ) = −
x , q( x ) = 3x (1 + x 2 ) ,应选A. 2 1+ x
2 ,所以, 9 2 2 4 2 E ( XY ) = 1 × 1 × P ( X = Y = 1) = , cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = − = − , 9 9 9 9 cov( X , Y ) −2 / 9 1 ρ XY = = = − . 选A. 4/9 2 DX DY
理工学院 考研数学指导
2016 年硕士研究生入学考试数学一参考解答 年硕士研究生入学考试数学一参考解答
一、选择题( 选择题 1-8小题,每小题4分,共32分) +∞ 1 dx 收敛,则【 C 】 1. 若反常积分 ∫ a 0 x (1 + x )b A. a < 1 且 b > 1 B. a > 1 且 b > 1 C. a < 1 且 a + b > 1
0 0 = (5 − λ )(1 + λ )2 , −1 − λ
x1 u 特征值 λ = −1, −1,5 ,可以用正交变换 x2 = P v 将 f 化为标准形:−u 2 − v 2 + 5w2 = −(u 2 + v 2 ) + 5w 2 ,由 x w 3 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 可得 5w − (u + v ) = 2 的几何图形为双叶双曲面 (可视为由双曲线 5w 2 − u 2 = 2 绕实轴 ow
【解析 解析】本题考查函数连续性、可导性概念。 解析
2016 硕士研究生入学考试数学一参考解答
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f −′(0) = lim

f ( x ) − f (0) 1/ n − 0 f ( x ) − f (0) x = lim = 1 ,这是因为 = lim = 1 , f +′(0) = lim x →0 x →0 x x x →0 x →0 x x 1/( n +1) < x <1/ n 1/ n 1/ n − 0 1/ n lim ≤ lim ≤ lim = 1 ,所以 f ( x ) 在 x = 0 处可导。 n →∞ n →∞ x → 0 1 / n 1/( n +1)< x <1/ n x 1 / (n + 1)
D. a > 1 且 a + b > 1
【注】本题有超大纲嫌疑。 2. 已知函数 f ( x ) =
2( x − 1), x < 1, 则 f ( x ) 的一个原函数是【 D 】 x ≥ 1, ln x,
( x − 1) 2 , x <1 A. F ( x ) = x (ln x − 1), x ≥ 1 ( x − 1)2 , x <1 F ( x ) = C. x(ln x + 1) + 1, x ≥ 1
x <1 ,取 C = 0 得,即得选项D. x ≥1
3.若 y = (1 + x 2 ) 2 − 1 + x 2 , y = (1 + x 2 ) 2 + 1 + x 2 是微分方程 y ′ + p ( x ) y = q( x ) 的两个解,则 q ( x ) = 【 A 】 A. 3 x (1 + x 2 ) B. −3 x (1 + x 2 ) C.
B −1 = ( P −1 AP ) −1 = P −1 A−1 P , 即 A−1 , B −1 相似; B + B −1 = P −1 AP + P −1 A−1 P = P −1 ( A + A−1 ) P , 即 A + A−1 , B + B −1 相似。应选C.
2 2 2 则 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 在空间直角坐标下表 6. 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 ,
( x − 1)2 + C1 , 【注】f ( x ) 原函数计算过程: 先求出 F ( x ) = x (ln x − 1) + C2 ( x − 1)2 + C , 即 F ( x) = x (ln x − 1) + 1 + C ,
x <1 C1 = C2 − 1 , , 再由 F ( x ) 的连续性知道, x ≥1
【解析 解析】本题考查反常积分敛散性判定。 解析
1 +∞ 1 +∞ 1 1 1 1 1 dx = dx + dx = dx + ∫0 x a (1 + x)b ∫0 x a (1 + x)b ∫1 x a (1 + x)b ∫0 x a (1 + x)b ∫1 a+b 1 b dx x (1 + ) x 1 1 1 1 1 1 < dx 收敛; dx 收敛,所以此时 ∫0 a , 当 a < 1 , b > 0 时在 (0,1] 上, 0 < a x (1 + x )b x a ∫0 x a x (1 + x )b +∞ 1 1 1 < a +b , ∫ dx 收敛,所以选C. 当 a + b > 1 , b > 0 时,在 [1, +∞ ) 上, a +b −1 b 1 x (1 + x ) x x a +b +∞
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