高中物理竞赛 第01章质点运动学 (共26张PPT)
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高中物理奥林匹克竞赛专题——第1章-质点运动学(共35张PPT)
O
y
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则；
x 即：t
t
时刻位于A点，位矢 rA
+t 时刻位于B点，位矢
rB
在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
(2) 位移与实际经过路径不同； (3) 矢量问题，标量解决
三维分解 一维 “+”、“-”表示 (4) 位移具有矢量性、相对性。
2020/6/8
P.11/34
ax
dt
dx
v dv dx
xx0a(x)dxv v 0vdv
P.17/34
例1-4 已知:质点的运动方程 x52 t2 t2 （SI）
求:(1) 质点在第二秒末 v `a
(2) 质点作什么运动。
t0.5s v0 a0
t=0.5s
质点运动学
匀加速
X
（3）第二秒内位移及平均速度
（3） xx(2)x(1)
求(1) 质点的速度和加速度。
矢量性。
解(2:)(1找) 一v个质d点r运动的相应实例。
当质点作直线运动时 矢量的方向性体现在指向上，用正、
5 i ( 1 dt 1 5 t) j 0SI 负号表示
a dv 10 j SI
xx(t) xxQxP
dt (2) x:vx5
ax0
y:vy1 5 1t0ay1 0g
§1-2 质点运动的描述
1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程
z
1.2.1 质点(particle)
定义：物体的线度和形状在所研究 问题中可以忽略不计时，这个物体 被称为质点。
1.位置矢量 (矢径，位矢) (position vector)
k r P(x,y,z)
物理竞赛质点运动学(教学课件)-高中物理
(t
)
P·1 ΔS r
P·2
r (t t)
O
y
（一般情况下）平均速度的大小不等于平均速率
v
=
Δ Δ
r t
=7i
+3
j
(m/s)
3. t =1s 及 t =2s 时刻的瞬时速度
v
=
dr dt
= 3t2
i
+ 2t
j
(m/s)
v 1 = 3 i + 2 j (m/s) v 2 =12 i + 4 j (m/s)
例：如图，有人用绞车以恒定的 速率V0收拖缆绳。求当 船头与岸的水平距离为x时, 船的速度。
l x
v0
思考
题
h1
h2 M
灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，
在灯下以匀速率v 沿水平直线行走。 问：他的头顶在地上的影子M点沿地面
移动的速度是多少？
答：h1v /(h1h2)
➢ 速度与速率的区别
平均速率 v S
t
(瞬时)速率：v lim S t0 t
dS
x
dt
速度的大小等于速率
z
r
z z( t )
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
r
x( t )
k iO
j
分量形式
x
原点
P( t )
·
质点 y( t )
y
x x(t)
y
y( t )
z z(t )
消去t
轨迹方程 （轨道方程）
例：
r
ti
(1
t
2
)
j
2k
求轨迹方程 解先：改写为分量式：
高二物理竞赛第1章质点运动学课件
与n方向关系
d d n
:曲率半径
addvtv2 naann
切向加速度 法向加速度
a
dv
dt
an
v2
n
aan 2a 2(d d)v t2(v 2)2
a 的方 v 的 向 (切 方 )夹 与 线 向 角为
arctgan
a
、圆周运动的角量描述 角量与线量的关系
1.角位移
t时刻P点角位置
消去 t得： y21x2 4y
轨迹为一抛物线：
2
o
22 x
(2 ) t 1 s 时 ， r 1 2 i j
r 2 ti (2 t2) j
(3)tv 2 s d时 r， 2 r 2 i 4 2itj 2 j t 1 s d时 t v 1 2 i ， 2 j
即 v 1 22 m /s与 x 轴 夹 角 为 1 4 5 o
解：1） （ adv4t dt
分离变量 dv： 4tdt
两边积 d分 v： 4tdt
v2t2c
由题可t知 0时： ， v0
故： c0
v 2t2
(2)v dx2t2 dt
dx2t2dt
dx2t2dt
x 2 t3 c 3
由题可 t0知 时： x， 10
故： c10
x 2 t3 10 3
h 例3、 在离水平高度为 的岸边，一人以匀速率
得位移表达 xx式 0vk为 0(1： ek)t 故运动方 x程 x0为 vk0(1： ek)t
| r| p 1 p 2 |r 2 r 1|
s:路程即弧 p1p2线
rx iy jzk
r
路程 s是标量
| r ||r 2 || |r 1 ||
1.1质点运动的描述PPT(课件)-高中物理竞赛
ar,ddrvt,在v,a直dd角t(坐ddrt标) 系 中ddt2的r2 表示
y
O ay
ddt(vxivyjvzk)
dvx idvy jdzvk dt dt dt
aax
x
d2 dt2 (xi yjzk)
dd22xtidd22yt jdd22ztk
a xia y ja zk
大小：a aa x 2a y 2a z 2 d dx v t2 d dy v t2 d dz v t2
dr （A） d t
d r
（C）
dt
d r （B） d t
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
例 （P9：例1-2）
§1-1 ——质点运动的描述
已知：运动方程 x 4t，y62t2 （SI制）。
求： (1) 轨道方程；(2) 2s末的 r、v、a；(3) 何时 rv？
(4) 何时离原点最近？距离是多少？
a
dv
vxivyjvzk dxvidyvjdzvk
dt d t dt dt
a xiayja zk
y
P r
O
x
z
y A(t)
r
B(t t)
rA
O
rB
x
z
§1.1 质点运动的描述（一前提 二 r 、 r 、 v 、 a 三直角系）
1.1.6 运动方程、轨道方程
1.运动方程
(1)概念
质点位置随时间变化的函数式 1 质点运动的描述（1.
令 dr 0 dt
可得 4t24t0——解得 t1 0 t2 1s t3 1s (舍去)
rt0 6m rt1 5.66m
从而 t 1s 时质点离原点最近，距离为 5.66 m
高二物理竞赛质点运动学课件
13
描写质点运动的三个物理量
•
位移
r(t )
• •
速度 v 加速度
(t ) a(t
)
14
▪微分关系
r
v
dr
a
dv
dt
dt
▪积分关系
a dv adt,
t2
t2
dvx axdt
t1
t1
t2
t2
dv adt,
t2
dv y
t2
a ydt
+初始条件
t1
t1
t1
t1
v s t
t时 刻
z P1
r1
r
r2
P2
(
tr1
t )时刻
r2
r r2 r1
0
y
❖v 瞬时li速m度r( t
x
t)
r (t )
lim
r
dr
t 0
t
t0 t dt
r
s ds
v lim
lim
v
t 0 t
t 0 t
dt
云
10
v
dr
且 r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
计算t=0s 到t=4s 时间间隔内质点位移大小及路程。
解：位移
xt4
o xt0
x
xt0 2m xt4 22m
x 22 2 24
路程 v dx 2 4t 0 t 0.5s dt
s1 xt 0.5 xt 0 s2 xt 4 xt 0.5
s s1 s2
云
17
例2：一人从原点出发，25s内向东30m， 10s内向南10m，
高中物理奥林匹克竞赛专题---质点运动学(共56张PPT)
z
r x ( t) i y ( t) j z ( t) k
r
参数形式： x x ( t )
y y(t)
o
y
z z(t)
x
轨道方程：
运动方程中消去时间t 得到
(x,y,z)0
3. 位移与路程
A(t点设，t质)位时点矢刻作为位曲于r，线AB点运，动位,t矢时为刻r在B
x
速度的三个分量： vxd dxt, vyd dyt, vzd dzt
速度的大小：(速率) vv vx 2v2 yvz 2
(3) 速率(velocity)
平均速率: vs ms1 t
s B
A r
lim 瞬时速率：
v s ds t0 t dt
一般情况： r s 因此 v v
A
B 正交分解
B
D
A
A A A 的x i 大 小A y j AA c Ax2o i AA y2s s i jn A y y
A
A的方向
tan Ay
o
Ax x
Ax
空间矢量的分解
z
A o p o c o a o b oc
（2） r 2 2 i 1 2 9 2 2 j 4 i 1 j 1
t 2
vdr2i4tj dt
v 2i8 jm/s t2
v2
22828.25 m/stan1875 58
标积的坐 标分 量式 A B A x B x A y B y A z B z
(3) 两矢量叉乘（矢积）
结果为一矢量。令该矢量为C, 即
ABC
高二物理竞赛：质点运动的描述PPT(课件)
机械运动---物体相对位置或自身各部份的 相对位置发生变化的运动。
机械运动的基本运动形式：
1平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动； 2定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
两个模型： 1 质点---只有质量而无大小形状的理想物体。 2 刚体---具有质量和一定的大小和形状，但不会 发生形变的理想物体，称为刚体。
A 3 1t2 3 t2 d t3 3t3 6 d t9 t47J 29
0
0
10
例2r：已1知5质t2i点ˆ 位(置4矢量2：0t2 ) ˆjcm ，求其轨道方程。
解：由位置矢量方程 2 位移 速度 加速度
牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动 注意： 能否将研究对象看成质点是相对于所
x 15t 2
对运动定性描述 运动描述的相对性
Байду номын сангаас
坐标系：定量描述。（直角、自然、球、柱）
2 质点: 是一个不计其形状和大小的物体，理想化 的物理模型。（只有质量）
注意： 能否将研究对象看成质点是相对于所 研究的问题而言的 思考题: 地球可否看作质点？为什么?
二 位置矢量 运动方程
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
质点动力学(dynamics) 牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动
牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动
研究物体间的相互作用之间以及由此引起的物体运动状态变化规律的力学。
研究物体间的相互作用之间以及由此引起的 坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 .
5 牛顿运动定律(自学)
物体运动状态变化规律的力学。 刚体力学
解 a kx dv dv . dx v dv dt dx dt dx
机械运动的基本运动形式：
1平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动； 2定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
两个模型： 1 质点---只有质量而无大小形状的理想物体。 2 刚体---具有质量和一定的大小和形状，但不会 发生形变的理想物体，称为刚体。
A 3 1t2 3 t2 d t3 3t3 6 d t9 t47J 29
0
0
10
例2r：已1知5质t2i点ˆ 位(置4矢量2：0t2 ) ˆjcm ，求其轨道方程。
解：由位置矢量方程 2 位移 速度 加速度
牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动 注意： 能否将研究对象看成质点是相对于所
x 15t 2
对运动定性描述 运动描述的相对性
Байду номын сангаас
坐标系：定量描述。（直角、自然、球、柱）
2 质点: 是一个不计其形状和大小的物体，理想化 的物理模型。（只有质量）
注意： 能否将研究对象看成质点是相对于所 研究的问题而言的 思考题: 地球可否看作质点？为什么?
二 位置矢量 运动方程
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
质点动力学(dynamics) 牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动
牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动
研究物体间的相互作用之间以及由此引起的物体运动状态变化规律的力学。
研究物体间的相互作用之间以及由此引起的 坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 .
5 牛顿运动定律(自学)
物体运动状态变化规律的力学。 刚体力学
解 a kx dv dv . dx v dv dt dx dt dx
2022-2023年高中物理竞赛 质点运动学-1课件
r r (t t) r (t)
r
r
z
P1
·
ΔS
Δr
·P2
r(t) r(t+Δt )
0
y
x
Δr
r(t) Δr
0 r(t+Δt )
4
§2. 质点运动的速度和加速度
一．质点在直线运动中的速度和加速度
r1 x1i
r2 x2i
r r2 r1 (x2 x1)i xi
平均速度
vrv0来自dx v dtx cos
r
v v0
cos
12
习题. 在离水面高度为h的岸边上,有人 用绳子拉船靠岸,收绳的速率恒为vo, 求船在离岸边的距离为S时的速度和加 速度.
13
vo
dl dt
s l2 h2
v ds dt
l dl l 2 h2 dt
s2 h2 s
v0
a dv [ d ( dt dl
ax
dvx dt
ay
dvy dt
az
dvz dt
x x0
t
0 vx dt
t
y
y0
0 v y dt
z
z0
t
0 vz dt
vx
vx0
t
0 axdt
t
vy
vy0
0 aydt
vz
vz0
t
0 azdt
22
匀加速直线运动
a axi
vx vx0 axt
vx0为t=0时质点速度vx(0)
d2z dt 2
19
加速度大小
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
高中物理奥林匹克竞赛专题——-质点运动学(共37张PPT)
密切圆
该三角形的外接圆的极限称 为该点瞬间的密切圆。
P '' o'
P
P'
曲率中心 密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。
曲率半径 密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。
2.自然坐标系
自然坐标 选择轨迹上一点O为原点并用由原点至质点位置的弧长s作为 质点坐标，任意方向为正。
二、切向加速度、法向加速度
运动学方程： s s t
y
vr ' 3 0 o vr
r
vo
x
例2. 骑自行车的人以速度 v 向西行驶，北风为 v ，求：人感到风的速度。
rr t o
y
s
x
瞬时速度 Instantaneous velocity
v rlim v rlim rrdrrrr& t 0 t 0 t dt
速率 速度的大小称为速率。
r
v vr dr ds speed
dt dt
x
z P 1 vr t P 2 vr t t
rr t rr t t
（1）
r
由速度定义： vr dr vdx
dt
dt
dxvdt
x
t
t
两边积分：
dx vdt
xo
0
0
voat
dt
xxo
vot
1at2 2
（2）
由（1）、（2）式：
v vo at
xxo
vot
1at2 2
消 t 有：
v2vo 22axxo （3）
注意
三个公式只有两个公式独立。 三个公式只适用于匀变速直线运动。
速度：
vr drr dsˆvˆ
2020高中物理竞赛—力学篇(进阶版)1-1 质点运动学(1)(共27张PPT)
x t 2,
y 1 t 2 2. 4
消去 t 可得轨迹方程 y 1 x2 x 1 (x 2)2 2
4
4
x o, y 3
y o, x 无解, 故轨迹与 x 轴不相交.
（下一页）
由于 A ＞O, ∴是开口向上的抛物线，
顶点 x = 2 , y = 2 .
y
3时xx
0 4
y(m)
2020高中物理竞赛
力学篇 （进阶版）
第一篇
质点和刚体的 机械运动
物体在空间的位置随时间变化的运动称为 机械运动。
第一章 质点运动学(1)
（下一页）
1-1 质点 运动的描述
一、参考系(坐标系) 质点
1、参考系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。
Z
地面系
物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加 速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)
物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体 的变形及转动显得并不重要)。
注意：物理的点与数学的点不同，它 =====具有相对的 意义。
（下一页）
二、位置矢量 运动方程 位移
1、位置矢量(位矢) 单位：米
意
r 与 r的区别
Δr
a ) r为位置矢量的改变量
r r2 r1
r1
Δr
o r2
b ) r为位置大小的改变量，是标量
r r2 r1
r r
显然，矢量差的模≥ 其模的差 只有位矢方向不变时，才能取等号。
（下一页）
s 与 r的区别
z
s 为路程(轨道长度)，是标量
一般 s r
A· ΔS
Δr
高中物理奥林匹克竞赛——质点运动学(共38张PPT)
x t 2 (SI)
y t 4 2t 2 (SI)
dx
t 2
vx dt 2t
vx 4ms
v y ddy t4t 34t t
v 4 i 2j4 m /s
2
v
vy 24ms
vx 2v2 y 437 ms
axddx vtd d22 x t 2ms2 练习 a y ? ay1t2 244(m 42)s
六、质点运动学的两类问题
已知运动方程，求质点的速度和加速度 求导数
已知质点的速度(或加速度)和初始条件， 求质点运动方程及其它未知量
运用积分方法
例：一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 (SI) y t 4 2t 2 (SI)
y
求：x= -4m时（t>0)
x
粒子的速度、速率、 加速度。
解：
x ( t) i y ( t) j z ( t) k
Z
P(x,y,z) r
分量式 x x(t ) y y(t) z z(t)
k
iO
j
z x
Y
y
X
轨道
质点运动的空间轨迹称为轨道.
轨道方程: F(x,y,z)0
三、位移
位移矢量:在t时间间隔内位矢的增量
r r 2 r 1 r ( t 2 ) r ( t 1 )
t
t2t1
· r1
瞬时加速度
o
a (t) lt i0m vtd dvtd d2r2 t
加速度是速度对时间的一阶导数
v1 B
· v2
r2
v1 Δv
v2
或位矢对时间的二阶导数
直角坐标系中
加速度
a dv dxv idyv jdzv k dt dt dt dt
高中物理奥林匹克竞赛专题---质点运动学(共56张PPT)
v
o
和
x
0
．
(1) 已知 a=常, 或a=a(t)，求 v(t) 及 x(t )
adv,
dt
v
t
dva
d
tv-v0
dv adt
v0
t0
vdx,
dt
x
t
dxvdt
x-x0
dx vdt
x0
t0
(2) 已知 aa(x)，求 v(x)
advdvd xvdv, vdvadx dtdd xt dx
v
以下情况的实物均可以抽象为一个质点：
① 研究问题中,物体的形状
和大小可以忽略不计
② 物体上各点的运动情况
相同(平动)
③ 各点运动对总体运动影
响不大
2 参考系 和 坐标系
• 物体运动具有绝对性 • 描述物体运动具有相对性
参考系(frame of reference) ——为描述物体的运动而选定的另
一个作为参考的物体
x
位移（即A到B的有向线段），用 r表示。
rrBrAAB位移是矢量
路程(path) ：
t时间内质点经历过的轨迹长度称为路程，用 s 表示。
注意
sAB弧长 路程是标量
r s 问题：何时取等号？
在直角坐标系中
r B x B i y B j z B k r A x A i y A j z A k
z
P(x,y,z) r
o
y
r x2 y2 z2
x
位矢的方向：
co sx co sy co sz
r
r
r
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
2. 运动方程(equation of motion)
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力学研究的是物体的行为
力学
经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动 相对论力学：高速运动领域的物体的行为 量子力学：微观领域粒子的行为
经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航 空航天）的基础理论
经典力学的决定论被量子力学打破
混沌运动：决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动 。非线形系统对初值的极端敏感性——不可预测。又称蝴蝶 效应。经典力学的决定论又被混沌运动打破。
az
dvz dt
d2z dt 2
【例1-1】 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost
y R sin t 。式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；
(2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；(3)质点在t1 0 到 t2 3 2
时间内的位移。
t 解：(1) 由运动方程消去时间参量 ，可得质点轨迹方程
s : 路程即弧线p1p2 路程s是标量
|r| ||r2|
图中 s
|r1| |
| r
|
|r|
a
t 时刻
t t 时刻
时间增量 t
v1(t)
v2 (t t)
速度增量
v2
(t
t
)
v1
(t
)
v
a
v2
v1
v
t2 t1 t
Z
p1
•
v1 (t )
r1
r2
• p2
v2
v1 v
a
dt dx dt dx
v
v0
vdv
x
x0
a( x)dx
【例1-3】 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率v0收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。
r 解：建立如图坐标系，连接船与绞车的绳长 与船的位置坐标 x 的关系为
x (r 2 h2 )1/ 2 ,
故船速为
vx
dx dt
r
dr
h2 x2 dr ,
x2 y2 R2,
可知此运动过程的轨迹函数
f (x, y) x2 y2 R2, 半径为R的圆
y
v
R
a r
t
O r2
r1 r
p2
(2) 任意时刻 质点位矢为
r xi yj R costi R sin tj,
p1 x
质点的速度矢量为
v dr R sinti R costj,
dt
k
v | v |
cos vx
vx2 , cos
v
2 y
vz2 vy
(dx )2
,
dt
cos
vz
(dy )2 dt
(dz )2 dt
v
v
v
, ,只有两个是独立的,满足 cos2 cos2 cos2 1
p1
s
r
r1
p2 | r |
r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
y 1 gt2. 2
得到抛体运动的轨迹方程为
y
tan
x
1 2
v02
g cos2
x2
,
这是一条通过原点的二次曲线，数学上也称此类曲线为抛物线
例(补）: 一质点沿x方向运动，其加速度随位置的变化
关系为a 3 2x。如在x0 0处v0 4m / s求在x 2m
处质点速度的大小。
故速度表达式为： v v0ekt
又
dx dt
v0ekt
分离变量 dx v0ektdt
两边积分
x
dx
x0
t 0
v0ektdt
得位移表达式为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
故运动方程为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
在不同参照系中,
描写质点运动物理量
(r , v ,
a)之间的关系.
一、位置矢量之间的关系
0.3t2 )2 300
m s-2
,
总加速度矢量为
a
(10
0.6t)
代入 t 1.0s
(10t
0.3t2 )2 300
n
m s-2
.
a 9.4 0.314n,
加速度的大小为 a
a2 an2 9.41 m s-2 .
t时刻
t t时刻
1. 角位移
逆时针方向为正 顺时针方向为负
对加速度
dv gj, dt
积分，可得 v v0 cos i (v0 sin gt) j ,
y v0
gY
O
X
图1—11抛体运动
对速度
dr dt
v0 cosi
(v0 sin
gt) j,
积分，可得运动方程
x
r (t)
vx0ti
v
y
0t
1 2
gt 2
j.
写成分量形式
x=vx0t,
讨论：
例(补）：已知质点沿x轴运动，其加速度与速度成正比，其方向与运动 方向相反，初始坐标为x0，初始速度为v0。试求：质点的速度表达 式、位移表达式及运动方程。
解：由题设知：a kv
即 dv kv dt
分离变量 dv kdt v
两边积分
v dv
t
kdt
v v0
0
得 ln v kt v0
a12 a22 2a1a2 sin
tg1 ay
ax tg 1 a1 a2 sin
v v R
速度大小为常量
质点作匀速圆周运动
质点加速度为
a dv R2 costi R2 sintj,
且
dt vr 0
质点运动速度的方向始终垂直位置矢量
a
2
r
加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心。
(3) 根据运动方程，得
t1 0 质点的位置矢量分别为 r1 Ri
t2 3
2
r2 Rj
2. 平均角速度
t
(瞬时)角速度 lim d
t 0 t dt
Y
P (t t) R P (t)
s
X
3. t时刻
(t)
t t时刻
(t t)
平均角加速度 (t t) (t)
t
t
(瞬时)角加速度
lim
t0 t
d
dt
d 2
dt 2
匀变速圆周运动(为常量)
0 t
0
dR dt
:
O相对O的速度, 记为voo
vpo vpo voo
三、加速度之间的关系
dv po
dt
dv po
dt
dvoo
dt
a po
a po
aoo
例(补）：一升降机内有一光滑斜面，斜面固定在
升降机内的底板上，其倾角为（如图）。当
升降机以匀加速度a1上升时，物体相对斜面以
a2
加速度a2下滑，求物体相对地面的加速度。
解：如图：
a
a1
a2
,
取坐标系Oxy,
a1、a2可分别沿 x、y方向分解：
y
a1x 0, a1y a1
a1
a2x a2 cos , a2 y a2 sin
沿x方向：ax a2 cos
O
a2 sin
沿y方向： ay a1 a2 sin
a1
a
x a2 cos
a2
则物体相对于地面的加速度为： a (a2 cos)2 (a1 a2 sin)2
第一章 质点运动学
z
P(x, y, z) •
• 选择参考系，建立坐标系
O
z
P(r, ,)
r•
z r cos
y
X
z
Y
x
O
Y
X r sin
•时间((12))时时刻间(间时隔间瞬t 间 t)2用tt表1 示
r
xi
yj
zk
r | r |
x2 y2 z2
z
k •
r
j
i
O
Y
X
cos x , cos y , cos z
s 5.0t2 0.1t3 m ，求 t 1.0s 时，汽车的加速度大小。
解：汽车运动简化为质点的圆周运动。
t 在任意时刻 质点运动的速率为
v ds 10t 0.3t2 m s2 dt
切向加速度和法向加速度的大小分别为
a
dv dt
10 0.6t
m s-2
,
an
v2 R
(10t
0t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
角量与线量
s R
s R v R
a R an R 2
第一类：已知 r（或x，y），求v，a，用微分;
第二类：已知 a及初始条件v0，r0，求v及r，用积分。
微分
微分
r v a 积分 (r0 )
积分
(v0 )
已知 a及初始条件t t0时的v0、x0，求v，x。
l
im
v
dv
d
2
r
x
Y v2(t t)
a a
t0 t dt
axi
ay
j
azk
dvx dt
i
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d2z dt 2
k
a
dt 2
dvy
j
dt
| a |
dvz
k
dt
ax2
ay2
az2
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
力学
经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动 相对论力学：高速运动领域的物体的行为 量子力学：微观领域粒子的行为
经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航 空航天）的基础理论
经典力学的决定论被量子力学打破
混沌运动：决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动 。非线形系统对初值的极端敏感性——不可预测。又称蝴蝶 效应。经典力学的决定论又被混沌运动打破。
az
dvz dt
d2z dt 2
【例1-1】 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost
y R sin t 。式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；
(2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；(3)质点在t1 0 到 t2 3 2
时间内的位移。
t 解：(1) 由运动方程消去时间参量 ，可得质点轨迹方程
s : 路程即弧线p1p2 路程s是标量
|r| ||r2|
图中 s
|r1| |
| r
|
|r|
a
t 时刻
t t 时刻
时间增量 t
v1(t)
v2 (t t)
速度增量
v2
(t
t
)
v1
(t
)
v
a
v2
v1
v
t2 t1 t
Z
p1
•
v1 (t )
r1
r2
• p2
v2
v1 v
a
dt dx dt dx
v
v0
vdv
x
x0
a( x)dx
【例1-3】 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率v0收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。
r 解：建立如图坐标系，连接船与绞车的绳长 与船的位置坐标 x 的关系为
x (r 2 h2 )1/ 2 ,
故船速为
vx
dx dt
r
dr
h2 x2 dr ,
x2 y2 R2,
可知此运动过程的轨迹函数
f (x, y) x2 y2 R2, 半径为R的圆
y
v
R
a r
t
O r2
r1 r
p2
(2) 任意时刻 质点位矢为
r xi yj R costi R sin tj,
p1 x
质点的速度矢量为
v dr R sinti R costj,
dt
k
v | v |
cos vx
vx2 , cos
v
2 y
vz2 vy
(dx )2
,
dt
cos
vz
(dy )2 dt
(dz )2 dt
v
v
v
, ,只有两个是独立的,满足 cos2 cos2 cos2 1
p1
s
r
r1
p2 | r |
r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
y 1 gt2. 2
得到抛体运动的轨迹方程为
y
tan
x
1 2
v02
g cos2
x2
,
这是一条通过原点的二次曲线，数学上也称此类曲线为抛物线
例(补）: 一质点沿x方向运动，其加速度随位置的变化
关系为a 3 2x。如在x0 0处v0 4m / s求在x 2m
处质点速度的大小。
故速度表达式为： v v0ekt
又
dx dt
v0ekt
分离变量 dx v0ektdt
两边积分
x
dx
x0
t 0
v0ektdt
得位移表达式为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
故运动方程为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
在不同参照系中,
描写质点运动物理量
(r , v ,
a)之间的关系.
一、位置矢量之间的关系
0.3t2 )2 300
m s-2
,
总加速度矢量为
a
(10
0.6t)
代入 t 1.0s
(10t
0.3t2 )2 300
n
m s-2
.
a 9.4 0.314n,
加速度的大小为 a
a2 an2 9.41 m s-2 .
t时刻
t t时刻
1. 角位移
逆时针方向为正 顺时针方向为负
对加速度
dv gj, dt
积分，可得 v v0 cos i (v0 sin gt) j ,
y v0
gY
O
X
图1—11抛体运动
对速度
dr dt
v0 cosi
(v0 sin
gt) j,
积分，可得运动方程
x
r (t)
vx0ti
v
y
0t
1 2
gt 2
j.
写成分量形式
x=vx0t,
讨论：
例(补）：已知质点沿x轴运动，其加速度与速度成正比，其方向与运动 方向相反，初始坐标为x0，初始速度为v0。试求：质点的速度表达 式、位移表达式及运动方程。
解：由题设知：a kv
即 dv kv dt
分离变量 dv kdt v
两边积分
v dv
t
kdt
v v0
0
得 ln v kt v0
a12 a22 2a1a2 sin
tg1 ay
ax tg 1 a1 a2 sin
v v R
速度大小为常量
质点作匀速圆周运动
质点加速度为
a dv R2 costi R2 sintj,
且
dt vr 0
质点运动速度的方向始终垂直位置矢量
a
2
r
加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心。
(3) 根据运动方程，得
t1 0 质点的位置矢量分别为 r1 Ri
t2 3
2
r2 Rj
2. 平均角速度
t
(瞬时)角速度 lim d
t 0 t dt
Y
P (t t) R P (t)
s
X
3. t时刻
(t)
t t时刻
(t t)
平均角加速度 (t t) (t)
t
t
(瞬时)角加速度
lim
t0 t
d
dt
d 2
dt 2
匀变速圆周运动(为常量)
0 t
0
dR dt
:
O相对O的速度, 记为voo
vpo vpo voo
三、加速度之间的关系
dv po
dt
dv po
dt
dvoo
dt
a po
a po
aoo
例(补）：一升降机内有一光滑斜面，斜面固定在
升降机内的底板上，其倾角为（如图）。当
升降机以匀加速度a1上升时，物体相对斜面以
a2
加速度a2下滑，求物体相对地面的加速度。
解：如图：
a
a1
a2
,
取坐标系Oxy,
a1、a2可分别沿 x、y方向分解：
y
a1x 0, a1y a1
a1
a2x a2 cos , a2 y a2 sin
沿x方向：ax a2 cos
O
a2 sin
沿y方向： ay a1 a2 sin
a1
a
x a2 cos
a2
则物体相对于地面的加速度为： a (a2 cos)2 (a1 a2 sin)2
第一章 质点运动学
z
P(x, y, z) •
• 选择参考系，建立坐标系
O
z
P(r, ,)
r•
z r cos
y
X
z
Y
x
O
Y
X r sin
•时间((12))时时刻间(间时隔间瞬t 间 t)2用tt表1 示
r
xi
yj
zk
r | r |
x2 y2 z2
z
k •
r
j
i
O
Y
X
cos x , cos y , cos z
s 5.0t2 0.1t3 m ，求 t 1.0s 时，汽车的加速度大小。
解：汽车运动简化为质点的圆周运动。
t 在任意时刻 质点运动的速率为
v ds 10t 0.3t2 m s2 dt
切向加速度和法向加速度的大小分别为
a
dv dt
10 0.6t
m s-2
,
an
v2 R
(10t
0t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
角量与线量
s R
s R v R
a R an R 2
第一类：已知 r（或x，y），求v，a，用微分;
第二类：已知 a及初始条件v0，r0，求v及r，用积分。
微分
微分
r v a 积分 (r0 )
积分
(v0 )
已知 a及初始条件t t0时的v0、x0，求v，x。
l
im
v
dv
d
2
r
x
Y v2(t t)
a a
t0 t dt
axi
ay
j
azk
dvx dt
i
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d2z dt 2
k
a
dt 2
dvy
j
dt
| a |
dvz
k
dt
ax2
ay2
az2
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay