圆周角与直径的关系PPT教学课件
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圆周角与直径的关系
知2－练
1 下列结论正确的是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
2 【中考·台州】从下列直角三角尺与圆弧的位置关 系中，可判断圆弧为半圆的是( )
（来自《典中点》）
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见 直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的 圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对 的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
知1－导
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结 直径所对的圆周角是直角.
知1－讲
例1 已知：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一
点(不与A，B重合)，连接BD并延长到点C，使BD
＝DC，连接AC，试判断△ABC的形状
导引：连接AD，由AB是直径可得AD⊥BC，再由BD
＝DC可得AB＝AC.
解：如图，连接AD.
知识点 2 90°的圆周角所对的弦是直径
知2－导
90°的圆周角所对的弦是直径吗？请说明理由. 总结 90°的圆周角所对的弦是直径.
知2－讲
例2 如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角 坐标系的x，y轴相交于点B、A，若∠COB= 45°， ∠OBC= 75°，A点坐标为(0，2)，求⊙O′的直径.
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等， 进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转将圆与平面直角坐标系巧妙结合，并转化为三 角形的有关知识解答，解答综合题的关键是找到它们的 “结合点”，如本题中，对平面直角坐标系而言，有x轴 ⊥y轴；对△AOB而言，有∠AOB=90°；对⊙O′而言， 由∠AOB=90°，得AB为⊙O′的直径，且∠A=∠C.解答 综合题还要注意，一般情况下，除了充分利用题目的已 知条件外，还要挖掘图形中的隐含条件.
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.5 圆周角与直径的关系(共12张PPT)
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等， 进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转 化为弦相等或弧相等的问题.
补充: 请完成《点拨训练》P89-90对应习题
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵BD＝DC，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造 直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的 问题．
（来自《点拨》）
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 4:08:26 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
补充: 请完成《点拨训练》P89-90对应习题
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵BD＝DC，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造 直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的 问题．
（来自《点拨》）
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 4:08:26 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角定理课件(PPT 17页)
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
2.4圆周角(第2课时)(同步课件)-九年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
，BE分别交AD
(2)若＝
、 AC于点F、G，判断△FAB的形状.
解：(2)△FAB是等腰三角形，理由是：
，
∵ ＝
∴∠ABE＝∠ACB (等弧所对的圆周角相等).
由(1)得∠ACB＝∠BAD，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AF＝BF，
∴△FAB是等腰三角形.
A
E
F
B
┐
D O
G
＝180°－90°－50°
＝40°.
例题讲解
例2
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.
(1) 已知∠ADC＝50°，求∠CAB的度数.
解法2：连结BD.
C
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角).
A
O E
B
∵∠ADC＝50°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ ADC＝90°－50°＝40°.
则∠ =（ B ）
A．°
B．°
C．°
D．°
当堂检测
基础过关
3.（2024·安徽宿州·三模）如图，⊙ 是△ 的外接圆， ⊥ ．
若 = ，∠ = °，则⊙ 的半径为（
A．4
B．
C．
D．8
A）
当堂检测
基础过关
4.（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截
面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以
得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是
90°的圆周角所对的弦是直径
___________________________．
当堂检测
基础过关
5．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、
2019秋小学数学24.1.5.圆周角与直径的关系
＝DC，连接AC，试判断△ABC的形状
导引：连接AD，由AB是直径可得AD⊥BC，再由BD
＝DC可得AB＝AC.
解：如图，连接AD.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵BD＝DC，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造 直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的 问题．
分析：在平面直角坐标系中，∠AOB=90°， 故若连接AB的话，AB是⊙O′的直径， 求AB即可.
解：连接AB.因为∠AOB=90°，所以AB是⊙O′的直径. ∠A=∠C=180°－∠COB－∠OBC=180°－45°－ 75°=60°.所以∠ABO=30°.又A(0，2)，所以OA= 2，所以AB=2OA=4.即⊙O′的直径为4.
（来自《典中点》）
知识点 2 90°的圆周角所对的弦是直径
知2－导
90°的圆周角所对的弦是直径吗？请说明理由. 总结 90°的圆周角所对的弦是直径.
知2－讲
例2 如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角 坐标系的x，y轴相交于点B、A，若∠COB= 45°， ∠OBC= 75°，A点坐标为(0，2)，求⊙O′的直径.
1 下列结论正确的是( D ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
知2－练
（来自《典中点》）
（来自《点拨》）
知1－练
1 【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，BC
是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度
数是( D )
A．75°
B．知AB是⊙O的直径，∠D
北师版九年级数学下册《圆周角和直径的关系及圆内接四边形》课件精品(2022年新版) (2)
学习目标
1.复习并稳固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征 ① 角的顶点在圆上. ： ② 角的两边都与圆相交. B
D
E ●O
A
C
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
当堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两 点,∠ABD=40°,那么∠BCD=＿50＿°＿_. D
O
A
B
C
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的
直径，那么∠AEB等于 〔B 〕
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
A
ED O
B
C
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3 ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
概念学习
1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个
圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三 B 角形叫作这个圆的内接三角形.
1.复习并稳固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征 ① 角的顶点在圆上. ： ② 角的两边都与圆相交. B
D
E ●O
A
C
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
当堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两 点,∠ABD=40°,那么∠BCD=＿50＿°＿_. D
O
A
B
C
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的
直径，那么∠AEB等于 〔B 〕
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
A
ED O
B
C
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3 ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
概念学习
1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个
圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三 B 角形叫作这个圆的内接三角形.
《圆周角和直径的关系》PPT课件
13．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E， D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝ EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与 AD的延长线交于点C.
(1)求证：△EFB≌△ADE； 证明：如图，连接 FA.∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.
∴∠FEA＝90°.∵BE＝AE，∴BF＝AF.
8．【中考·台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可 判定圆弧为半圆的是( B )
*9.【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分 别交于点A，B，C是劣弧OB上一C．100° D．无法确定
【点拨】∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙P的直径． ∴∠ACB＝90°. 【答案】B
②求CD的长； 解：如图，作 AE⊥CD 于点 E，由(1)知∠ACD＝45°， ∴∠CAE＝45°＝∠ACD.∴CE＝AE. 又∵AC＝6，∴CE＝AE＝3 2. ∴DE＝ AD2－AE2＝4 2， ∴CD＝CE＋DE＝7 2.
(2)若AB＝10，直接写出CA＋CB的最大值． 解：CA＋CB 的最大值为 10 2.
∵∠FEA＝90°，∴AF 是⊙O 的直径．∴AF＝DE.
∴BF＝ED.∵DE 是⊙O 的直径，∴∠EAD＝90°. 在 Rt△ EFB 和 Rt△ ADE 中，BBEF＝ ＝AEED，， ∴Rt△ EFB≌△Rt△ ADE.
(2)当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面 积为多少． 解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.
∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF.因此⑤正确；若 △CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由 已知无法推断出CF＝2OF，故⑥错误，因此①③④⑤一定 成立，故选D. 【答案】D
2018秋人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.5 圆周角——圆周角和直径的关系(共31张PPT)
15．(中考·宁夏)在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别
交AC于点D，BC于点E，连接
ED，ED＝EC，如图所示．
(1)求证：AB＝AC；
证明：连接BD，如图所示． ∵ED＝EC，∴∠C＝∠1. ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC， 即∠BDC＝90°.∴∠C＋∠3＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠3.∴EB＝ED.∴EB＝EC. 连接AE，易知AE⊥BC，∴AB＝AC.
解：(1)∵ A(0，2)，B(2 3，0)，∴OA＝2，OB＝2 3. 在 Rt△AOB 中，AB＝ OA2＋OB2＝ 22＋（2 3）2＝4. 如图，连接 OC.∵∠AOB＝90°，
∴AB 为⊙C 的直径，C 为 AB 的中点． ∴AC＝OC＝12AB＝2＝OA.∴△AOC 是等边三角形．
∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.
返回
7．(中考·连云港)如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，
BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交
于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( D )
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；
③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
返回
8．(中考·龙东)如图，CD是⊙O的直径，CD＝4，∠ACD
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB＝∠EFA＝60°.∴∠B＝30°. ∵∠EFA＝∠B＋∠FDB， ∴∠B＝∠FDB＝30°. ∴FB＝FD，即△DFB是等腰三角形．
(2)若DA＝ 7 AF，求证：CF⊥AB.
【思路点拨】 过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，根据 等边三角形的性质得到FM＝EM＝a，AM＝ 3 a，再根据已 知条件得到AB＝AF＋BF＝8a，根据直角三角形的性质得 到AE＝EF＝AF＝CE＝2a，推出∠ECF＝∠EFC，根据三 角形外角的性质可得到∠EFC＝30°，从而可得到结论．
圆周角和直径的关系精选PPT
＝10× 1 ＝5(cm)． 2
∴AC的长为5 cm.
（来自《教材》）
知1－练
2 (中考·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的 弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( D ) A．75° B．60° C. 45° D．30°
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·毕节】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( C ) A．30° B．50° C．60° D．70°
（来自《典中点》）
知2－练
2 【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴， y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，
则∠ACB等于( B )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
（来自《典中点》）
1 知识小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想 直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°， 遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中 作辅助线的常用方法．
(中考·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的
∴si∠nB∠OACB＝C＝∠BOD＝，6下5°.面所示的四种圆弧形，你能 判断哪个是半圆形？
直径所对的圆周角是直角
为什么? ＝2＝ OA，所以∠OAC＝30°.
想将其转化为求与之相关的另一结论．
【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，
A．①③
A．①③
已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
由垂径定理可得AC＝2 ，∠AOC＝∠BOC.
如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.
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导引：连接AD，由AB是直径可得AD⊥BC，再由BD ＝DC可得AB＝AC.
解：如图，连接AD. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC. ∵BD＝DC，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形．
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5
总结
知1－讲
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造 直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的 问题．
分析：在平面直角坐标系中，∠AOB=90°， 故若连接AB的话，AB是⊙O′的直径， 求AB即可.
解：连接AB.因为∠AOB=90°，所以AB是⊙O′的直径. ∠A=∠C=180°－∠COB－∠OBC=180°－45°－ 75°=60°.所以∠ABO=30°.又A(0，2)，所以OA= 2，所以AB=2OA=4.即⊙O′的直径为4.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第5课时 圆周角和直径 的关系
2020/10/16
1
1 课堂讲解 直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
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2
同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系呢？ 直径与圆周角又有什么关系呢？我们今天就来探 究探究.
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7
知识点 2 90°的圆周角所对的弦吗？请说明理由. 总结 90°的圆周角所对的弦是直径.
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知2－讲
例2 如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角 坐标系的x，y轴相交于点B、A，若∠COB= 45°， ∠OBC= 75°，A点坐标为(0，2)，求⊙O′的直径.
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3
知识点 1 直径所对的圆周角是直角
知1－导
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结 直径所对的圆周角是直角.
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4
知1－讲
例1 已知：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一 点(不与A，B重合)，连接BD并延长到点C，使BD ＝DC，连接AC，试判断△ABC的形状
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1 下列结论正确的是( D ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
知2－练
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1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见 直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的 圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对 的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
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知1－练
1 【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，BC
是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度
数是D( )
A．75°
B．60°
C. 45°
D．30°
2【中考·娄底】如图，已知AB是⊙O的直径，∠D
＝40°，则∠CAB的度数为(C )
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等， 进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转 化为弦相等或弧相等的问题.
2020/10/16
11
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解：如图，连接AD. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC. ∵BD＝DC，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形．
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总结
知1－讲
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造 直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的 问题．
分析：在平面直角坐标系中，∠AOB=90°， 故若连接AB的话，AB是⊙O′的直径， 求AB即可.
解：连接AB.因为∠AOB=90°，所以AB是⊙O′的直径. ∠A=∠C=180°－∠COB－∠OBC=180°－45°－ 75°=60°.所以∠ABO=30°.又A(0，2)，所以OA= 2，所以AB=2OA=4.即⊙O′的直径为4.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第5课时 圆周角和直径 的关系
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1 课堂讲解 直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
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同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系呢？ 直径与圆周角又有什么关系呢？我们今天就来探 究探究.
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知识点 2 90°的圆周角所对的弦吗？请说明理由. 总结 90°的圆周角所对的弦是直径.
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知2－讲
例2 如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角 坐标系的x，y轴相交于点B、A，若∠COB= 45°， ∠OBC= 75°，A点坐标为(0，2)，求⊙O′的直径.
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知识点 1 直径所对的圆周角是直角
知1－导
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结 直径所对的圆周角是直角.
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知1－讲
例1 已知：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一 点(不与A，B重合)，连接BD并延长到点C，使BD ＝DC，连接AC，试判断△ABC的形状
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1 下列结论正确的是( D ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
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1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见 直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的 圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对 的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
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1 【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，BC
是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度
数是D( )
A．75°
B．60°
C. 45°
D．30°
2【中考·娄底】如图，已知AB是⊙O的直径，∠D
＝40°，则∠CAB的度数为(C )
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等， 进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转 化为弦相等或弧相等的问题.
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