指数函数的图像及性质

x
(x
0)
向左平移 1个单位
y (1)x1( x 1); 3
另一部分是：y=3x (x<0)向左平移 y=3x+1 (x<-1).
1个单位
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
若x>0，则y>1；
若x>0，则0<y<1；若x
若x＝0，则y＝1；
＝0，则y＝1；
若x<0，则0<y<1
若x<0，则y>1
指数函数与对数函数的图象所经过的定点
1.不论a(a>0且a≠1)取何实数，函数y＝ax－3＋4的图象都经 过的一个定点是( )
A．(－3，4) B．(3，5)
C．(－3，5) D．(3，－4)
解析：y＝ax图象经过定点(0，1)，将y＝ax的图象向右平移 3个单位长度，得到函数y＝ax－3的图象，则定点(0，1)平移到了 定点(3，1)，再将y＝ax－3的图象向上平移4个单位长度得到函数y ＝ax－3＋4的图象，则定点(3，1)平移到了定点(3，5)．故选B.
答案：B
指数函数图象特征及单调性的应用
感悟高 考 2．已知 a＝ 25，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(－n)， 则 m，n 满足的关系为( B )
A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m<n
解析：f(x)＝
25x是
R
上的增函数，实数
m，n
满足
f(m)＞f(－
n)，故 m＞－n，即 m＋n＞0.故选 B.
指数函数
名称 函数式 底数a的取值分类 定义域
值域
指数函数
y＝ax(a>0且a≠1)
a>1
0<a<1
(－∞，＋∞) (0，＋∞)
图象
单调性
在(－∞，＋∞)上为增函数
在(－∞，＋∞)上为 减函数
函数值 的分布
图象过点(0,1)及(1，a)，(－1，图象过点(0,1)及(1，
a－1)；
a)，(－1，a>0，且 a≠1)的图象可能是( )
思路点拨：本题主要考查指数函数的图象特征及利用指数函数的单调 性比较大小的基本方法．
自主解答：
考点探 究
点评：(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，
往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得
到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝(1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1. 2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，(2) 利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函 数的定义域A，再由函数的定义域A求出内函数的值域B，然后 以内函数的值域B作为外函数的定义域求出原函数的值域，如 (2)是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数 的定义域为R，再由x∈R得t＞0，然后由t＞0得到函数值域为 {y|y＞－1}．若(2)中的x≥1，你还能求出它的值域吗？
点评：(1)因为y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过定点(0，1)，根 据图象的平移可知，函数的图象y＝ax－m＋n经过定点(m，1＋ n)．(2)因为y＝logax(a＞0且a≠1)的图象经过定点(1，0)，根据图 象的平移可知，函数y＝loga(x－m)＋n的图象经过定点(m＋1， n)．
考点探究
2
2函数的定义域为{x | x R，x 0}，
且y
xa x |x|
a x －a
x
x 0
.
x 0
当x 0时，函数是一个指数函数，其底数满足
0 a 1，所以函数递减；
当x 0时，函数的图象与y ax 0 a 1的图象
(x 0的部分)关于x轴对称，呈递增趋势，所以应选D.
4.已知函数 y (1)|x1|.
(1)作出图象；
3
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.
思维启迪
化去绝对值符号
将函数写成分段函数的形式
作图象
写出单调区间
写出x的取值
解 （1）由已知可得
y
( 1 )| x 1| 3
(
1 3
)
x1
3x1
(x 1) ,
(x 1)
其图象由两部分组成：
一部分是：y
(1) 3
相应的指数型函数图象和性质数形结合求解．
素材2.1设函数f x=a－ x (a 0且a 1)，
若f 2=4，则a=
，
f (2)与f 1的大小关系
是
；
2函数y= xax 0 a 1的
|x|
图象的大致形状是
解析： 1由f 2 4，得a－2 4，所以a 1，
2
f x (1 )－ x ＝2|x|，f (2) 2|－2| 22 21 f 1．
若函数y 4x 3 2x＋3的定义域为集合A，
1.(1)右图是指数函数：(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
(2)试比较(15)
2 3
，(12)
2 3
，(12)
1 3
这三个数的大小关系．
知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且a≠
1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______. 解析 数形结合. 当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,
设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定 成立的是：
A 3b>3a C.3c＋3a>2
B.3c>3b D.3c＋3a<2
用函数的图象比较大小.
【解析】 画出f(x)＝|3x－1|的图象如下图：
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0. 由y＝3x的图象可得 0<3c<1<3a，∵f(c)＝1－3c， f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)， ∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D