31二维随机变量的概率分布
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3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
概率论之二维随机变量及其分布
2
arctan
y 4
(2) P(3<<+，0<4)
=F(+，4)-F(+，0) -F(3，4) +F(3，0)
1. 16
3、二维随机变量的概率分布
1）离散型随机变量
如果二维随机变量(，)是在有限个或无限可列 个点(xi，yj)上取值（i，j=1，2，…）。则称(，)为
离散型随机变量。 并称
P{ =xi， =yj}=pij i，j=1，2，… 为二维离散型随机变量(，)的概率分布或分布律， 或称二维型离散随机变量(，)的联合分布律。
2）性质
二维分布函数F(x，y)具有下述性质：
(1) F(x，y)是x、y的单调不减函数.即对任意固定 的y，当x2>x1时，F(x2，y) ≥F(x1，y)，对任意固 定的x，当y2>y1时，F(x，y2)≥F(x，y1)；
(2)F(x，y)关于x、y均是右连续的，即
F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x，y+0)；
j 1,2,
例5 一盒中装有三只正品和两只次品的某种产品， 现随机地抽取两次，每次抽取一种产品，记
1, 0,
第一次取出的是正品， 第一次取出的是次品。
1, 0,
第二次取出的是正品， 第二次取出的是次品。
试就有放回、无放回情形考察(，)的分布。
(1) 有放回情形
的分布
0
1
pi
0 22 32
2
55 55 5
xy
F ( x, y)
p(u, v)dudv
则称(，)是连续型二维随机变量，函数p(x，y)称 为二维随机变量(，)的概率密度，或称随机变量
§3.3 二维连续型随机变量及其分布
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件以及其概率性质。
其中，随机变量是概率论中的一个基本概念，它可以用来描述随机现象和随机试验的结果。
本文将介绍概率论中与二维随机变量、多项分布以及独立同分布相关的公式。
一、二维随机变量在概率论中，随机变量可以分为一维和多维两种情况。
一维随机变量描述的是具有一个取值的随机事件，而二维随机变量则描述的是具有两个取值的随机事件。
常见的二维随机变量包括离散型和连续型两种。
1. 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的概率分布可以通过联合概率质量函数（Joint Probability Mass Function，简称JPMS）来描述。
对于二维离散型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(X = x, Y = y) = P(X, Y)其中，P(X = x, Y = y)表示随机变量X取值为x，随机变量Y取值为y的概率，P(X, Y)表示联合概率质量函数。
2. 连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量，其概率分布则可以通过联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称JPDS）来描述。
对于二维连续型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = ∬f(x, y)dxdy其中，f(x, y)表示联合概率密度函数，∬表示对整个平面积分，a、b、c、d为常数。
二、多项分布多项分布是二项分布的推广，它适用于具有多个离散可能结果的试验。
假设有n个独立的试验，每个试验有k种可能的结果，且每种结果出现的概率是固定的。
那么多项分布描述了试验结果中每种可能出现的次数的概率分布。
多项分布的概率质量函数可以表示为：P(X₁ = x₁, X₂ = x₂, ..., Xk = xk) = (n! / (x₁! * x₂! * ... * xk!)) *(p₁^x₁ * p₂^x₂ * ... * pk^xk)其中，n为试验次数，xi表示结果i出现的次数，pi表示结果i出现的概率。
二维随机变量及其分布
5
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
概率论：二维随机变量的函数的分布
( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx
在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。
x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
3.1 二维随机变量及其分布
可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即X的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由 概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明 （1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图； （2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布 二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布
概率论与数理统计笔记
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔新东方考研数学冲刺·概率论与数理统计一、基本概念总结1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→假设检验参数估计数分布））（多维随机变量的函四大统计分布（正态数理统计理大数定律和中心极限定F t ,,,2χ2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）)()(A P x X P ==⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫→→≤≤=→−−→−→-→≤=→−−→−、协方差、相关系数）数字特征（期望、方差）两大分布（均匀、正态二维随机变量随机事件）数字特征（期望、方差正态）、几何、均匀、指数、、二项、泊松、超几何八大分布（一维随机变量随机事件数字化数字化),(),(),()(10)()()()(y Y x X P y x F Y X AB P x X P x F X A P ω)(),(AB P y Y x X P ===例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件数X 的数学期望。
（2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X 表示三次试验中出现正面的次数，Y 表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X ，Y ）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来） )()(x X P x F ≤=（4）离散与连续的关系dx x f x X P )()(==dxdy y x f y Y x X P ),(),(===例5：见“数字特征”的公式。
概率论与数理统计3.1.3 二维连续型随机变量及其联合概率密度
§3.1.3 二维连续型随机变量 及其联合概率密度
一、二维连续型随机变量的定义及联合概率密度 二、联合概率密度函数的性质
一、 二维连续型随机变量的定义及联合概率密度函数
一维连续型随机变量X F(x)为随机变量X的分布
函数，若存在非负可积函数 f(x)，使得
F(x) P{X x}
x
f (t)dt ( x )
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F (x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
(x,y)
用来求待定常数的方法
y
曲线下x轴上
所围面积为1
连续型随机变量（X,Y）联合 概率密度函数f(x, y)的性质
(1) 非负性： f (x, y) 0;
(2) 规范性：
f (x, y)dxdy 1
F(， ).
f (x, y)
用来求待定 常数的方法
曲面下xoy平 面上所围体积
o
(x, y)
X
x
x
X
y
Y
(x, y)
推断：设D是xOy平面上的 一个区域,点( X ,Y )落在D内 的概率为
P{(X ,Y ) D}
f (x, y) d x d y.
D
二、联合概率密度函数的性质:
连续型随机变量X的概率密度函 数f(x)的性质
(1) f(x)≥0； (2) f(x)dx 1 F().
一、二维连续型随机变量的定义及联合概率密度 二、联合概率密度函数的性质
一、 二维连续型随机变量的定义及联合概率密度函数
一维连续型随机变量X F(x)为随机变量X的分布
函数，若存在非负可积函数 f(x)，使得
F(x) P{X x}
x
f (t)dt ( x )
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F (x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
(x,y)
用来求待定常数的方法
y
曲线下x轴上
所围面积为1
连续型随机变量（X,Y）联合 概率密度函数f(x, y)的性质
(1) 非负性： f (x, y) 0;
(2) 规范性：
f (x, y)dxdy 1
F(， ).
f (x, y)
用来求待定 常数的方法
曲面下xoy平 面上所围体积
o
(x, y)
X
x
x
X
y
Y
(x, y)
推断：设D是xOy平面上的 一个区域,点( X ,Y )落在D内 的概率为
P{(X ,Y ) D}
f (x, y) d x d y.
D
二、联合概率密度函数的性质:
连续型随机变量X的概率密度函 数f(x)的性质
(1) f(x)≥0； (2) f(x)dx 1 F().
概率论二维随机变量及其分布
FX(x) F(x, )
FY(y)
F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即
.
联合分布函数的性质 注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x 2 x 1 ,F ( x 2 ,y ) F ( x ,y 1 ), 对任意固定的 x, 当 y 2 y 1 ,F ( x ,y 2 ) F ( x ,y 1 ); （3）F(x,y)关于 x和 y均为右连续，即 F ( x , y ) F ( x 0 , y ) F ( x , y , ) F ( x , y 0 ).
FY(y)
F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即
.
联合分布函数的性质 注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x 2 x 1 ,F ( x 2 ,y ) F ( x ,y 1 ), 对任意固定的 x, 当 y 2 y 1 ,F ( x ,y 2 ) F ( x ,y 1 ); （3）F(x,y)关于 x和 y均为右连续，即 F ( x , y ) F ( x 0 , y ) F ( x , y , ) F ( x , y 0 ).
[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布
![[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布](https://img.taocdn.com/s3/m/d9eb504de518964bcf847c0c.png)
d c (c , d )的长度 P {c X d } b a (a , b )的长度
借助于几何度量指标(长度, 面积, 体积等)
计算概率, 可建立 “几何概型” .
例3.1.6 例3.1.7
电子科技大学
联合分布
五.二维正态分布 定义 二维随机变量( X ,Y )的联合概率密 度为
1 e 2 x x 0 FX (x ) 其他 0
1 e FY ( y ) 0
3 y
y0 其他
电子科技大学
联合分布
联合分布函数的性质
1.单调不减性 F(x, y)分别对x , y单调不减.
当x1 x2 , F ( x1 , y ) F ( x2 , y ), y R；
(X , Y )的联合概率密度.
电子科技大学
联合分布
密度性质 1) f ( x , y ) 0;
这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准
2) f ( x , y )dxdy 1.
3) 若f ( x , y )在( x , y )处连续, 则 F ( x, y) f ( x, y) xy 4) 若G R 2 , 有
电子科技大学
联合分布
三.联合概率密度
定义 二维随机变量( X , Y )的联合分布函
数为F(x , y)，如果存在非负的函数f (x , y)使
得对任意实数对(x , y)，有
F ( x, y )
y
x
f (u, v )dudv
称(X ,Y )是连续型随机变量，称f (x , y ) 为
联合分布函数为
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }
二维随机变量的概率分布和边缘分布表格
随机变量是统计学和概率论中的一个重要概念，它描述了在一定条件下可能发生的各种数值。
在随机变量中，二维随机变量是一种特殊的形式，它包含了两个变量而不是一个。
为了更好地理解二维随机变量的概念和特性，我们可以通过概率分布和边缘分布表格来进行详细的分析和讨论。
一、二维随机变量的概率分布1.1 概率分布的定义概率分布是描述随机变量各种取值可能性的概率大小的一种数学函数。
对于二维随机变量而言，概率分布可以通过一个二维表格来表示，其中行和列分别代表两个随机变量可能的取值，格子中的数值表示这两个变量同时取某个值的概率。
1.2 二维随机变量的联合分布对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布可以表示为P(X=x, Y=y)，表示X取值为x且Y取值为y的概率。
联合分布的表格可以清晰地展示X和Y之间的关系，以及它们各自可能的取值和概率大小。
1.3 二维随机变量的条件分布在给定Y的取值条件下，X的分布称为X在Y的条件下的分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布的关系来求得，它可以帮助我们更好地了解在不同条件下X的可能取值情况。
1.4 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布是指在给定一维随机变量的分布后，另一维随机变量的分布。
通过边缘分布表格，我们可以清楚地看到X和Y各自的取值和概率大小，从而更好地了解它们的分布特性。
二、二维随机变量的边缘分布2.1 边缘分布的定义对于二维随机变量(X, Y)，其边缘分布可以表示为P(X=x)和P(Y=y)，分别表示X和Y各自取某个值的概率。
边缘分布表格可以清晰地展示X和Y各自的分布情况。
2.2 边缘分布表格的内容边缘分布表格的横纵坐标分别表示X和Y可能的取值，表格中的数值表示各自的概率。
通过分析边缘分布表格，我们可以得到X和Y各自的取值范围和概率大小，以及它们之间的关系。
2.3 边缘分布与联合分布的关系通过边缘分布表格和联合分布表格的比较，我们可以看到它们之间的关系和差异。
边缘分布可以帮助我们更好地理解在单个随机变量的条件下，另一个随机变量的取值情况和概率大小。
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
注 (1) 以上结论必须在 X 与 Y 相互独立的前提下 才能成立, 否则无此结论 . (2) 结论可推广到 n 个相互独立随机变量的情况 .
即设 X 1 , X 2 , … , X n 是 n 个相互独立的
随机变量, 它们的分布函数分别为
FXi ( xi ) (i = 1, 2, , n ) , 则
X Z= 的分布函数为 Y
FZ ( z ) = P Z z =
=
从而有
x z y
f ( x, y ) dxdy
0
0
zy
f ( x, y ) dxdy +
zy
f ( x, y ) dxdy .
fZ (z) =
0
y f ( zy, y )dy +
0
( y ) f ( zy, y )dy
于是
FZ ( z ) =
z
f ( u y, y ) dudy
= f (u y, y )dy du , z
故 Z 的密度函数为
fZ (z) =
f ( z y, y )dy ,
由 X 与Y 的对称性知, f Z ( z )又可写成
z
z =1/y
0 zy 1 , 0 y 1 . 如图所示
1
O
1
y
于是有
(1) 0 z 1 时 , (2) z 1 时 ,
于是得
1 f Z ( z ) = ydy = ; 0 2 1 1 z f Z ( z ) = ydy = 2 . 0 2z
3-3二维连续型随机变量及其分布
1 1 x2 y 2 2 8
1 y [ x2 ] 2 2
2
，
1 故进而 1 1, 2 2 ，所以 ( X , Y ) ~ N (0,0,1, 4,0) ，且 k ． 4 •10
1．二维均匀分布 定义 3.2 设平面有界区域 D 的面积为 A ，如果二维随机变量
1 , ( x, y ) D, ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) A 0, ( x, y ) D, 就称 ( X , Y ) 服从区域 D 上（内） 的 均匀分布， 记为 ( X , Y ) ~ U ( D) ．
【1】 ( X , Y ) 落入某平面区域 G 内（上）的概率为
G D的面积 P{( X , Y ) G} P{( X , Y ) G D} 。 A 【 2】 ( X , Y ) ~ U ( D) ， 区域 G 为 D 的任意子区域， 则 P{( X , Y ) G} 1 与 G 的面积成正比， 比例系数为 ， 而与 G 的位置和形状无关． A
f ( x, y)
1 2 1 2 1 2
e
x , y ，
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数，且满足:
(3.1)
1 , 2 , 1 0, 2 0 ， 1 1 ，
f ( x, y)dxdy ．
D
【注】概率 P{( X , Y ) D}的数值等于以 D 为底，曲面 z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的体积．
结论 3.2
如果 L 为平面上任一曲线，则 P{( X , Y ) L} 0 ．
ke x , 0 y x, 例 3.1 设 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) ⑴ 求常数 其它. 0,
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思考：根据这个定义，上例中张三的身高X和 李四的体重Y能构成二维随机向量(X,Y)吗？
3.1 二维随机变量的概率分布
一、二维随机变量的分布函数 二、二维离散型随机变量及其分布 三、二维连续型随机变量及其分布
一、二维随机变量的分布函数
二维随机变量(X, Y)的性质不仅与X,Y有关,而且还依赖 于这两个随机变量的相互关系 . 为此，我们引入二维随机 变量的分布函数．
二维随机变量 ( X,Y) 的分布律也可用表格表示为：
有了二维离散 型随机变量的 分布律 pij , 就 能容易的得到
XY
x1 x2 ? xi ?
y1
y2 ?
p11
p12
?
p 2 1 p 22
?
pi1 pi 2 ?
??
yi ? p1 j ? p2 j ?} ?
定义1 设 ( X, Y )是二维随机变量, 对于任意实数 x, y,
称二元函数 F(x, y) ? P{X ? x,Y? y}
y
为二维随机变量 (X,Y)
( x, y) ?
的分布函数 , 或X和Y
X ? x,Y ? y
的联合分布函数 ．
O
x
借助右图 可知对于任意
的x1, y1, x2, y2(x1<x2, y1<y2),
Y y2
随机点 (X,Y) 落在矩形域
( x1 ? X ? x2 , y1 ? Y ? y2 ) 及点 (x2, y2) 的概率分别为
P{x1 ? X ? x2, y1 ? Y ? y2}
y1 O x1
x2 X
? F ( x2 , y2 ) ? F ( x1 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y1 )
例 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔
的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔 数和红笔数,求( X,Y )的分布律.
解 ( X,Y ) 所取的可能值是
( 0 , 0 ), ( 0 ,1 ), ( 1 , 0 ), ( 1 ,1 ), ( 0 , 2 ), ( 2 , 0 )
12
0
于是 (X,Y)的分布 律为（见右表）
1
1
1
1
4
16 16
16
16
三、二维连续型随机变量及其分布
与一维连续型随机变量的定义类似，我们引入
P{ X ? xi ,Y ?? yj }
pi j
(,xi yj )? G
(,xi yj )? G
? ? F ( x ,)y ?
P { X ? xi , Y ?? y j }
pi j
xi ? x , yj ? y
xi ? x ,yj? y
pi j ? F ( xi , y j ) ? F ( xi ? 0, y j ) ? F ( xi , yj ? 0) ? F ( xi ? 0, yj ? 0)
反过来, 满足上述性质的 F (x, y) 也必定是某个二维随 机变量的分布函数, 因此：
函数 F(x, y) 完整地描述了二维随机变量的概率分布
二、二维离散型随机变量及其分布
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或可列 多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量
设 ( X ,Y )所有可能取的值为 ( xi , y j ), i, j ? 1,2,? ,记
P{X ? x2 ,Y ? y2 }
? F(x2, y2)? F(x2 ? 0, y2) ? F(x2, y2 ? 0) ? F(x2 ? 0, y2 ? 0)
由上述解释及概率的定义，容易推得下述定理
定理1 分布函数 F (x, y) 具有下列性质： 1?（有界性） 对任意的实数 x, y, 有
0 ? F (,x y) ? 1, F (? ? , ? ? ) ? 1 F (? ? , y) ? F (,x ? ? ) ? F (? ? , ? ? ) ? 0
另一个随机变量 Y在 1 ~ X中等可能地取一整数值. 试求 (X,Y)
的分布律.
解 由乘法公式得
Y
X
1
2
34
P { X ? iY, ? j} ? ? P{ X ? iP} {Yj? X ? i} 1
1
0
4
00
11 ??
4i
(i ? 1, 2, 3, 4, j ? i)
2
1
1
8
8
0
0
1
1
1
3
12 12
P{ X ? xi , Y ? yj } ? pij , i, j ? 1,2,?
则称此为( X, Y ) 的分布律, 或X与 Y的联合分布律
同一维一样, 二维随机变量的分布律满足：
pi j 是某个二维随 机变量 (X,Y)的 分
布律
pij ? 0
??
? ? pij ? 1
i ?1 j?1
通常我们用分布律表示二维随机变量的概率分布.
2?（单调性）F (x, y) 是 x 和 y 的单调不减函数:
? y, 有F ( x1 , y) ? F ( x2 , y) ( x1 ? x2 ) ? x, 有F ( x, y1 ) ? F ( x, y2 ) ( y1 ? y2 ) 3?（右连续性）F (x, y) 关于 x 和 y 都是右连续的: ? x, y, 有F ( x ? 0, y) ? F ( x, y), F (x, y ? 0) ? F (x, y)
第三章 随机向量及其分布
3.1 二维随机变量的概率分布 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性
二维随机向量
同一维随机变量一样 , 为了把某些试验的结果数量化 , 有时需要用二维随机变量或二维随机向量 (X,Y)来描述．如
实例1 炮弹的弹着点 的位置 (X,Y)就是一个二维 随机变量.
故所求分布律为
P{ X ? iY, ? j}
?
C
i 3
C
j 2
C
2? 3
i?
j
C
2 8
(i ? j ? 2,,ij ? 0,1, 2)
XY 0
1
2
0 3 28 6 / 28 1 28
1 9 28 6 / 28 0
2 3 28 0
0
例1 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取值 ,
实例2 考查某一地区学龄前儿童的 发育情况, 则儿童的身高H和体重W就构 成二维随机变量(H,W).
定义：设E是一个随机试验，
样本空间S={e}；设X=X (e)
和Y=Y (e)是定义在S上的随
机变量，由它们构成的向量 (X,Y)叫做二维随机向量或二
e S
维随机变量。
y
?Xe? ?,Ye? ??
x