排列组合问题的常见解法

高考数学排列组合问题的常见解法

排列、组合是高考必考题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，比较抽象，容易发生重复和遗漏现象。选择灵活的统计策略是正确解决排列组合问题的关键，下面通过典型问题，介绍几类常见解法。

一、位异则分

元素（或位置）“地位”不相同时，不可直接用排列、组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性莉分简单的几类，将各类排列组合类求出，再由加法原理求出总数。

例1 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的，比2030大的无重复数字的四位数可分以下三类：

解比2030大四位数可分以下三类：

第一类：3×××，4×××，5×××，有3A ；

第二类：21××，23××，24××，25××，有4A ；

第三类：203×，204×，205×，有4A ；

故比2003大四位数共有3A ＋4A ＋3A =237个。

二、至少就隔

对于“至少”型的组合问题，先转化成“至少一个”型的组合问题，再用n个隔板插在元素（或位置）间隙（不包括首尾）中，将元素（或位置）分成需要的（n+1）份，则比较快捷。

例2 6个人捐10本书，每人至少捐一本，有多少种不同的捐法？解由于10本书是没有区别的，将10本书排成一行，用5个隔板插在10本书的9个间隙中，共有C 种不同插法，下图是其中的一种插法（O表示书，∣表示隔板）：

OO∣O∣O∣O∣OO∣OOO

它表示第一个人捐2本（第一个隔板前的书）、第二个人捐1本

（一、二隔板之间的书）……第五个人捐2本（四、五个隔板之间的书）、第六个人捐3本（第五个隔板后的书）。

所以，有C =126种不同的捐法。

例3 从4个班选出10名学生参加数学奥林匹克竞赛，每班至少2人，共有多少选法？

解由于10个名额是没有区别的，每班至少2人，先每班分配1个，还有6个名额，则每班至少1人就行了。按例2的解法易知共有选法C =10种选法。

三、相邻则捆

若元素（或位置）相邻，则将它们“捆”在一起，看成一个元素进行计算，然后再交换相邻元素（或位置）算出总数——捆绑法。例4 5男3女站成一排照相，其中3个女孩要站在一起，共有多少种站法？

解先将三个女孩“捆”成一个元素，连同其余5人共6个元素，任意排列，再交换3个女孩的位置，故共有A ·A =4320种站法。

四、不邻就插

对于一些元素（或位置）不相邻的排列组合问题，应先将其它元素（或位置）先排好，再把不相邻元素（或位置）已排好的元素（或位置）之间（包括首尾两侧）——插空法。

例5 5男3女站成一排照相，其中3个女孩都不站在一起，共有多少种站法？

解先将5个男孩排好，将3个女孩插在5个男孩之间（包括首尾两侧）的6个空隙中，则有A ·A =14400种站法。

五、正难则反

当“正面进攻”很难找到解题途径或运算很繁时，可以先解决其对立面的情况，从而使正面问题得到解决。

例6 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（）种。

（A）150 （B）147 （C）144 （D）141

解从10个点中任意取出4个点的取法有C 种，而点面的取法

可分以下三类：

第一类：4个点恰在四面体的

同一面上，有4C 种； M

四边形的顶点（如图1中的平行四1

边形A1C1DE），有3种；

第三类：4个点恰为一条棱上的

三个点和相对棱的中点（如图1中的一

条棱上三点的MC1C和对棱中点E），有6种。

所以符合条件的取法有C －C －3－6=141，故选（D）。