高二数学归纳推理和类比推理

利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.
解法2、构造法
1 1 取倒数得： 1 an 1 an
例2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两 条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将 圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段? 同时将圆分割成 11 部分?
n=1时, n=2时, n=3时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
n=1时, n=2时, n=3时, 归纳:
f (n) 2 1
n
n1 1, f (n) 2 f (n 1) 1, n 2
归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，
或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归
纳推理（简称归纳）. 部分 个别
整体 一般
归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法.
不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验 算，哥德巴赫猜想(a)都成立。
200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。 1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
归纳推理
世界近代三大数学难题之一
哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小 于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除 的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想 (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇 质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇 质数之和。更多资源xiti123.taobao.com
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且 an 1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
an 分别把n=1,2,3,4代入 an 1 得: 1 an 1 1 1 1 a2 , a3 , a4 , a5 2 3 4 5
1 归纳: a n n
1 ( n 2)( n 1) .(用n表示) 2
5 ,当
f (n) f (n 1) n 1 累加得: f (n) f (2) 2 3 4 ( n 1)
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为：
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
………
………
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的，称为陈氏定理(Chen„s Theorem).“任何 充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个 结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。
数论中最著名的世界难题之一
例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?
2
1
3
n=1时,
f (1) 1
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3
(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分 割成 n
2
1 2 条线段?同时将圆分割成 2 ( n n 2) 部分?
f (2) f (1) 2
f (3) f (2) 3 f (4) f (3) 4
………
f (n) f (n 1) n 累加得: f ( n) f (1) 2 3 4 n
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
等差数列 中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq
an am 2a n m
2
an am a
成等比数列
2 n m 2
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成等差数列
例1.(2003年新课程)在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾 股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关 系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的 三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直， 2 2 2 2 则 SBCD SABC SACD SADB .
例、数列{an}满足a1=1， an+1 =2an+1 ，求 通项公式an . 构造法 an+1 +1=2（an+1） 数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列
an 1 2
n
n
an 2 1
练习
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
n n 1个点.
世界近代三大数学难题之一
四色猜想
1852年，弗南西斯· 格思里搞地图着色工作时， 发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可 以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上 不同的颜色。” 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利 诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200 个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的 证明。 不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他 们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
⑥ a b a b a b 0 ⑥a b a b a b a b 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a22
⑦ | a | a12 a22 a32
利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
费马猜想
1637年，法国数学家费马提出： “将一个立 方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个 四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分 为两个同次的幂的和，这是不可能的.” 300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家， 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解， 德国也于1908年悬赏十万马克征解。 经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大 学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.
并猜想Sn的表达式.
2 1.已知数列{an}的前n项和Sn , a1 , 且 3 1 Sn 2 an (n 2). 计算S1 , S2 , S3 , S4 , Sn
练习
2 3 4 5 计算得: S1 , S 2 , S 3 , S4 3 4 5 6
利用平面向量的性质类比得空间向量的性质
平面向量
若 a (a1 , a2 ) ， b (b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
若a (a1 , a2 , a3 ) ， (b1 , b2 , b3 ) b
则
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ③ a (a1 , a2 )( R) ③ a (a1 , a2 , a3 )( R)
类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理.(简称:类比) 类比推理的几个特点
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测 正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础, 类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物 的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有 发现的功能.
猜想:
n1 Sn n 2
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明 了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发 明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些 已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 4.利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
④
⑤ a // b a1 b1 , a2 b2 ( R) ⑤ a // b a b , a b , a b ( R) 1 1 2 2 3 3
a b a1b1 a2b2
④ a b a1b1 a2b2 a3b3
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅 有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=
n>4时,f(n)=
f (3) f (2) 2 f (4) f (3) 3 f (5) f (4) 4
an an1 d（n 2)
an : an1 q n 2) （
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n1
an am (n m)d
an am q
n m
n(a1 an ) (q 1) na1 Sn 2 Sn a1 (1 q n ) 前n项和 n( n 1) 1 q (q 1) na1 d 2
设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与
②(x-c)2+(y-d)2=r2wenku.baidu.coma≠c或b≠d),
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）? 部分 整体
个别
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).