新版平面与平面垂直的判定、性质定理课件.ppt
合集下载
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
平面与平面垂直的判定和性质ppt课件
α A
D
β
B
C
完整版PPT课件
12
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
完整版PPT课件
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
完整版PPT课件
α A
D
B
C
β
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
A B A B。
请判断命题的真假。
完整版PPT课件
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
完整版PPT课件
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即Leabharlann αAB CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
1)求证：平面PAC平面PBC；
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
大
小
。
完整版PPT课件
9
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面相互垂直。
α A
D
B C
β
完整版PPT课件
2.3.2-平面与平面垂直的判定(上课用)PPT课件
12
例二面正角方B体1-AABAC1-DC—1的A大1B小1C为1D_14_中5_°_，_， 二面角B-AA1-D的大小为__9_0_°__， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
.
练13习
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出下列二面角的 平面角：
（1）二面角D′-AB-D和A′-AB-D；
(C)GF⊥△SEF所在平面
(D)GD⊥△SEF所在平面
G1
.
G3
F
D
E
G2
32
S
G3
F
D
G1
E
G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
.
33
例 过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,
连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC,则O是ABC的___外__心. 2).若PAPB,PBPC,PC PA,则O是ABC 的___垂__心. 练习：P79 B组2(2) 3).若PA PB PC,C 900,则O是AB边的___中___点.
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
.
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练26习
例3:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平 面 P A C 平 面 P B C .
二面 角A的O 平面=B=角 大A 小O 与B 点O在棱上的位置无
.O
l
A’
例二面正角方B体1-AABAC1-DC—1的A大1B小1C为1D_14_中5_°_，_， 二面角B-AA1-D的大小为__9_0_°__， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
.
练13习
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出下列二面角的 平面角：
（1）二面角D′-AB-D和A′-AB-D；
(C)GF⊥△SEF所在平面
(D)GD⊥△SEF所在平面
G1
.
G3
F
D
E
G2
32
S
G3
F
D
G1
E
G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
.
33
例 过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,
连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC,则O是ABC的___外__心. 2).若PAPB,PBPC,PC PA,则O是ABC 的___垂__心. 练习：P79 B组2(2) 3).若PA PB PC,C 900,则O是AB边的___中___点.
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
.
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练26习
例3:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平 面 P A C 平 面 P B C .
二面 角A的O 平面=B=角 大A 小O 与B 点O在棱上的位置无
.O
l
A’
平面与平面垂直的判定定理ppt课件
求证：平面A1C1FE⊥平面B1D
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
最新版整理ppt
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练16习
例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面 于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．
∵BC = 1，CD = 2， ∴ G F1BCC D121 2 BD 25 5
而EF = 1，在△EFG中 tanEGFEF 5 GF
最新版整理ppt
练11习
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二 面角. 求证: B C D , D BA 60 C 0
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
最新版整理ppt
1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
最新版整理ppt
3
在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如： 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成 适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
2[1].3_平面与平面垂直的性质_PPT课件
![2[1].3_平面与平面垂直的性质_PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ae30e52ab4daa58da0114a1d.png)
小 结
结 束
探究新知
教室的墙所在平面与地面 是什么关系？ 是什么关系？你能在墙上画一 条直线与地面垂直吗？ 条直线与地面垂直吗？
首页
上页
下页
小 结
结 束
首页
上页
下页
小 结
结 束
质
猜想： 猜想：
如果两个平面互相垂直， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
γ
首页
上页
下页
小 结
结 束
证
:
任取P∈a,过点P 任取P∈a,过点P作b⊥γ. P∈a,过点 ∵ α⊥γ.
a β α
P.
∴ b α， α， ∵ β⊥γ， ∴ b β， β，
b γ
故 由已知 所以
α∩β=b. α∩β=a， α∩β=a， a与b重合， 重合， α⊥γ.
所以
首页 上页 下页 小 结 结 束
上页 下页 小 结 结 束
巩固
判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么α 1.若α⊥β，那么α内的所有直 线都垂直于β 线都垂直于β。× 2.两平面互相垂直， 2.两平面互相垂直，分别在这两 两平面互相垂直 平面内的两直线互相垂直。 平面内的两直线互相垂直。×
β
α
3.两平面互相垂直， 3.两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂 两平面互相垂直 直的两直线一定分别与另一个平面垂直。 直的两直线一定分别与另一个平面垂直。 × 4.两平面互相垂直， 4.两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面 两平面互相垂直 内作交线的垂线，则此直线必垂直与另一个平面。 内作交线的垂线，则此直线必垂直与另一个平面。 √
平面与平面垂直的性质ppt课件
直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α C
B
β
D A
6
定理剖析
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2）为判定和作出线面垂直提供依据。
α
C B
β
D
A
7
概念巩固
判断下列命题的真假
1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。×
2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直
17
作业布置： 课本P82：习题B组第3题
18
19
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2
平面与平面垂直的性质
1
复习回顾
面面垂直的判定方法：
1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理： 要证两个平面垂直， 只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
2
探究新知
教室的黑板所在平面与地 面是什么关系？你能在黑板上 画一条直线与地面垂直吗？
直线PC与平面具有什么位置关系？
猜想：直线PC在平面内 已知：⊥β，∩β=AB， P∈ ，P C ⊥ β。
α
求证：PC
P
B
β
DC
A
10
α
P B
DC
A
已知：⊥β，∩β=AB， P∈，PC ⊥ β。
β 求证：PC
11
说明：（1）此题运用了“同一法”证明. （2）这个结论是面面垂直的另一个性质，它的作用是
a α
b’
β c’
γ bc
16
小结
1、这节课我们学习了哪些内容，我们是如何得到这些结论的？
α C
B
β
D A
6
定理剖析
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2）为判定和作出线面垂直提供依据。
α
C B
β
D
A
7
概念巩固
判断下列命题的真假
1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。×
2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直
17
作业布置： 课本P82：习题B组第3题
18
19
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2
平面与平面垂直的性质
1
复习回顾
面面垂直的判定方法：
1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理： 要证两个平面垂直， 只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
2
探究新知
教室的黑板所在平面与地 面是什么关系？你能在黑板上 画一条直线与地面垂直吗？
直线PC与平面具有什么位置关系？
猜想：直线PC在平面内 已知：⊥β，∩β=AB， P∈ ，P C ⊥ β。
α
求证：PC
P
B
β
DC
A
10
α
P B
DC
A
已知：⊥β，∩β=AB， P∈，PC ⊥ β。
β 求证：PC
11
说明：（1）此题运用了“同一法”证明. （2）这个结论是面面垂直的另一个性质，它的作用是
a α
b’
β c’
γ bc
16
小结
1、这节课我们学习了哪些内容，我们是如何得到这些结论的？
《平面与平面垂直》课件
平面与平面垂直的性质定理的推论
推论1
证明
如果一个直线与两个互相垂直的平面都垂 直，那么这条直线与这两个平面的交线也 垂直。
由于直线与两个平面都垂直，所以这条直 线与这两个平面的二面角都是直角。因此 ，这条直线与这两个平面的交线也垂直。
推论2
证明
如果一个直线与两个相交的平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线也平行 。
解答题
结合平面与平面的平行和垂直 关系，解答有关空间几何的问
题。
THANKS.
选择题
若平面与平面垂直，则它们的 法线之间的夹角是锐角、直角
还是钝角？
简答题
简述平面与平面垂直的判定定 理。
综合练习题
解答题
综合运用平面与平面垂直的性 质和判定定理，判断两个给定
平面是否垂直。
应用题
结合实际生活，举例说明平面 与平面垂直的应用场景。
证明题
证明一个给定平面与另一个已 知垂直的平面垂直。
《平面与平面垂直》 ppt课件
目 录
• 平面与平面垂直的定义 • 平面与平面垂直的性质 • 平面与平面垂直的判定定理 • 平面与平面垂直的应用 • 练习题
平面与平面垂直的
01
定义
平面与平面垂直的文字定义
平面与平面垂直
如果一个平面中的任意一条直线 都与另一个平面垂直，则这两个 平面互相垂直。
平面与直线垂直
平面与平面垂直的判定定理的符号表述
符号表示
设两个平面分别为α和β，交线为l。选取直线a、b在平面α内，且a、b相交于 点A。如果直线a、b都与平面β垂直，则表示为a⊥β，b⊥β。
符号表述的详细解释
在数学符号表示中，如果一个直线或平面与另一个平面垂直，则用符号⊥来表 示。因此，如果直线a和b都与平面β垂直，则表示为a⊥β和b⊥β。
两个平面垂直的判定和性质(一)课件
两个平面垂直的判定和性 质(一)ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精选
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
精选
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：l l
α β
αβ
l
B
A
线线 垂直
线面 垂直
精选
面面 垂直
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
叫做二面角 -l- 的平面角
精选
5．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o； 二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
A
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面。
符号表示：
AB
CD
AB
β
AB CD
A D
BE C
面面 垂直
线线 垂直
精选
线面 垂直
定理证明：
已知：
B为垂足
求证： AB
CD AB AB CD
A D
E
CB
精选
归纳小结：
10.4.(3)平面与平面 垂直的判定
精选
复习回顾
1．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面．
棱为l，两个面分别为、的
二面角记为 -l- ．
l
精选
二面角－AB－
A
二面角C－AB－ D
C
B
二
D
面
角
B
的
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
精选
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
P
C
A
O
B
精选
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直 →线面垂直 →面面垂直
P
C
A
O
B
精选
思考： 一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的一条直线，则α⊥β.（ ）×
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
A
B
C
E
D 精选
表
A
二面角－ l－
示
l
精选
l
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
Al Nhomakorabeal
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
精选
4．二面角的平面角
在二面角-l-的棱l上任
l
B
取一点O，如图，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂
O
A
直于棱 l 的射线OA、OB，射线
OA、OB组成∠AOB．则 AOB
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平 面与α垂直.
精选
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点， ABCD求证：(1) PC⊥平面BDE；
是正方形，
(2)平面PAC⊥BDE. P
D
A
O
精选
E C
B
面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平
O
精选
B
归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
精选
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
精选
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
内的两条直线，则α⊥β.（ ）×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内
的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）√ 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( √)
精选
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面 与平面α垂直. 2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直
3.过平面α的一条斜线，可作___一_个平 面与平面α垂直.
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
精选
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：l l
α β
αβ
l
B
A
线线 垂直
线面 垂直
精选
面面 垂直
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
叫做二面角 -l- 的平面角
精选
5．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o； 二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
A
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面。
符号表示：
AB
CD
AB
β
AB CD
A D
BE C
面面 垂直
线线 垂直
精选
线面 垂直
定理证明：
已知：
B为垂足
求证： AB
CD AB AB CD
A D
E
CB
精选
归纳小结：
10.4.(3)平面与平面 垂直的判定
精选
复习回顾
1．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面．
棱为l，两个面分别为、的
二面角记为 -l- ．
l
精选
二面角－AB－
A
二面角C－AB－ D
C
B
二
D
面
角
B
的
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
精选
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
P
C
A
O
B
精选
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直 →线面垂直 →面面垂直
P
C
A
O
B
精选
思考： 一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的一条直线，则α⊥β.（ ）×
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
A
B
C
E
D 精选
表
A
二面角－ l－
示
l
精选
l
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
Al Nhomakorabeal
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
精选
4．二面角的平面角
在二面角-l-的棱l上任
l
B
取一点O，如图，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂
O
A
直于棱 l 的射线OA、OB，射线
OA、OB组成∠AOB．则 AOB
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平 面与α垂直.
精选
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点， ABCD求证：(1) PC⊥平面BDE；
是正方形，
(2)平面PAC⊥BDE. P
D
A
O
精选
E C
B
面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平
O
精选
B
归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
精选
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
精选
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
内的两条直线，则α⊥β.（ ）×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内
的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）√ 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( √)
精选
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面 与平面α垂直. 2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直
3.过平面α的一条斜线，可作___一_个平 面与平面α垂直.