沪教版八年级上19.3 直角三角形 知识讲解 讲义
沪教版(五四制)八年级数学上册 19.3直角三角形之勾股定理讲义(无答案)
板块一：勾股定理及逆定理一、勾股定理及其逆定理a ）勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方，即222a b c +=；b ）逆定理：如果某个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、勾股数及常见特殊直角三角形的三边比a ）勾股数：在直角三角形中，高两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，则有222a b c +=。
满足该方程的正整数a 、b 、c 叫做勾股数。
常见的勾股数组有3、4、5；5、12、13；7、24、25.b ）特殊直角三角形的三边比：等腰直角三角形三边比为含有30︒角的直角三角形三边比为2.【例题1】 已知直角三角形的两条直角边长为 a 、b ，斜边长为c ，求证：222a b c +=.【例题2】 【基础、提高】求证：3、4、5是可以构成勾股数组的唯一一组连续正整数.【尖子】求证：222n n +、21n +、2221n n ++（n 正整数）是一组勾股数.第三讲 直角三角形之勾股定理【例题3】 【基础、提高】（1）在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，10BC =，8AC =，求DE 的长.AB C DE（2）ABC ∆中，20AB AC ==，32BC =，AD AC ⊥，AD 交BC 于D ，求BD 的长.ABC D【尖子】在ABC ∆，4AB AC ==，P 是BC 上异于B 、C 的一点，求2AP BP PC +的值.P AB C【例题4】 【基础、提高】已知90B D ∠=∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，2CD =，求四边形ABCD 的面积.ABC D【尖子】四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =，6CD =，求四边形ABCD 的面积. A BCD【例题5】 （1）已知，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB cm =，10BC cm =，求CE 的长F A BC DE（2）有一个直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？A BCDE（3）有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D的折痕将角A 翻折，使得点A 落在线段EF 的点H 上，折痕交AE 于点G ，求EG 的长.GH F A B CD E（4）将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 、MN 的长.NMF AB CDE【例题6】 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证：2221()4AD AB AC =+ NMAB CD【例题7】 在等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，D 、E 为斜边AB 上的点，且45DCE ∠=︒，求证：222DE AD BE =+.AB CD E【例题8】 在凸四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD DC =，求证：222BD AB BC =+AB CD板块二：勾股定理的应用在平面直角坐标系内，两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点()11,A x y 、()22,B x y ，那么A 、B 两点的距离：AB =【例题9】 有两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为1AC km =，3BD km =，3CD km =，现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W .D C BA【例题10】 平面直角坐标系内有两点(10)A ，，(30)B ，，请找出一点C ：①纵坐标是横坐标的两倍；②ABC∆是等彩三角形.【例题11】 已知距形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置时（如图一），易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图二，图三中的位置时，2PA 、2PB 、2PC 、2PD 又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图二证明结论.答：对图二的探究结论为 .对图三的探究结论为 .图一P D C B A 图二PD C B A 图三PDCB A【练习1】 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：（1）222111a b h +=；（2）a b c h +<+【练习2】 在ABC ∆中，AD 是边BC的中线，ABAD =AC =，求证：30ADB ∠=︒D CB A【练习3】 在D 是ABC ∆内一点，把ABD ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒得到CBE ∆，若4AD =，3BD =，5CD =，（1）判断DEC ∆的形状，并说明理由；（2）求ADB ∠的度数. E DC BA【练习4】 将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则求BE 和AF 的长.D'F E DC B A【练习5】 在R t ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，5AD =，BE =AB 长. E DCBA【练习6】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AM 是中线，MN AB ⊥，垂足为N ，求证： 222AN BN AC -=N MCB A【练习7】 铁路上A 、B 的两站相距25km ，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知15DA km =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站，使得C 、D 两村到E 的距离相等，则E 应建在距A 站多少千米处？D A CE B【练习8】 平面直角坐标系内有两点(1,0)A ，(1,0)B -，请找出一点C ：①纵坐标等于横坐标；②ABC ∆是等腰三角形.。
沪教版(五四制)八年级上册 19.3 动点产生的直角三角形综合 讲义【无答案】
动点产生的直角三角形我们数学中有一些解题思想，而分类讨论则是初中阶段最常用的，它主要用于对动态问题、不定问题的研究，对我们学好数学知识，处理实际问题有非常重要的意义。
解决这部分题型的一般思路就是找出所有可能性，然后逐一解决。
这类问题通常会在中考的填空题最后一题，解答题倒数第二题进行考察，所以要想冲刺高分，这部分内容必须掌握好。
一．知识梳理1.直角三角形性质回顾：角：直角三角形两锐角互余.边：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 其他：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30O，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30O .动点产生的直角三角形题型分类总结：1.证明某三角形为直角三角形；2.函数背景下的直角三角形问题；3.几何背景下的直角三角形问题；4.直角三角形的分类讨论问题.知识梳理2.直击中考“动点产生的直角三角形”题型解题方法与策略：●寻找题目中的已知量和特殊条件：●当直角不确定的时候，注意分类讨论；●此处常常借助勾股定理、锐角三角比和相似求解;●根据题意画出正确的图形也很关键.【试题来源】【题目】在直角坐标平面内，为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P .（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q求点Q 的坐标.【试题来源】【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。
（1） 求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；（2） 如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。
沪教版八年级数学上册教案：19-3勾股定理
考点二：勾股数的考察
例2．下面四组数中是勾股数的有（）．
（1）1.5，2.5，2（2） ， ，2（3）12，16，20（4）0.5，1. 2，1.3
A．1组B．2组C．3组D．4组
变式
以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A．2 B．4 C．2 D．
7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．
A． B． C．1 D．
8． 直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）
A．182 B．183 C．184 D．185
9．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，求CN的长
10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
4．下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等 三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．
A． cm2B．2 cm2C．3 cm2D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．
考点十：思维发散
例10.在 中, , 边上有2006个不同的点 ,
记 ,则 =_____.
变式
.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（ ）2+1=2 S 1=
沪教版(五四制)八年级上册19.3直角三角形的性质讲义【无答案】
直角三角形的性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲义的主要内容是探讨直角三角形这类特殊的三角形所具有的的一些特有的性质:直角三角形全等的HL判定定理，直角三角形的两个性质定理以及勾股定理。
我们要掌握这些定理，并且灵活地用这些定理去证明一些问题。
这节课的重难点是学会运用这些定理，解决问题。
这部分内容在中考中的考查一般是填空选择题或者是简单的证明题，难度一般不大，需牢牢掌握。
知识梳理1.直角三角形全等的判定如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为HL）知识梳理2.直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余定理2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
知识梳理3.勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
AB勾股定理的证明：勾股定理逆定理的证明用构造法。
直角平面坐标内两点间的距离1、设在数轴上点A 表示数A x ，点B 表示数B x ，则||A BAB x x =-2、设在平面直角坐标系中，点(,)A A A x y ，点(,)B B B x y ，则AB =【试题来源】【题目】如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AC=AD,AB 与CD 交于E ，求证：CE=DE ．【试题来源】【题目】如图所示，已知AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 与BE 相交于点F ， 求证：AF 平分∠BAC ．【试题来源】【题目】如图，已知：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD于H ，AD=BD ,AC=BH ,连结CH ，求证：∠ABC=∠BCH．bbbaECFBDA【试题来源】 【题目】D 为锐角△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若DE=DF ， 求证AB=AC【试题来源】【题目】知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长【试题来源】【题目】：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.【试题来源】【题目】已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC.求证：AB=BO.【试题来源】【题目】△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB ． 求证：AE=2CE ．【试题来源】【题目】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形全等的判定》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是沪教版数学八年级上册第19.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了三角形全等的判定方法的基础上进行学习的，目的是让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
本节内容主要包括两个方面：一是直角三角形全等的判定方法，二是直角三角形全等的应用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形全等的判定方法，但是对于直角三角形全等的判定方法可能还有一定的疑惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，体会直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。
2.能够运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和操作能力。
四. 教学重难点1.直角三角形全等的判定方法。
2.能够运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导等方式，引导学生观察、思考、操作，从而理解直角三角形全等的判定方法。
2.示范法：教师通过讲解、示范等方式，向学生展示如何运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
3.练习法：学生通过自主练习、合作交流等方式，巩固所学内容。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、直角三角形模型等。
2.准备相关的问题和练习题，以便在教学过程中进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾三角形全等的判定方法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，向学生展示直角三角形全等的判定方法，并讲解其原理。
3.操练（15分钟）教师提出相关问题，引导学生进行思考和操作，如：“两个直角三角形如何判断它们全等？”学生通过观察、操作，理解直角三角形全等的判定方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学内容。
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
1直角三角形性质(第1课时)课件-八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)
A E
DC
课堂小结
直角三角形的性质
１．直角三角形的两个锐角互余，两条直角边的平方
和等于斜边的平方。 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
角形，则图中∠1+∠2的度数是____9_0_°__.
第1题图
第2题图
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=__5_2_°____. 3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三
角形是__直__角__三__角__形__.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（ B ） A．40° B．50° C．60° D．70°中线等于斜边的一半来自CAB
D
例1.已知：在Rt△ABC中,ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。
求证：CD=
1 2
AB
证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC’
在△ADC’与△BDC中
｛AD=BD
（已知）
ADC’= BDC（对顶角相等）
C’D=CD
（已作）
∴ △ADC’ ≌ △BDC (SAS)
1 ∴CD＝ 2 AB
2
C
B
定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
符号语言表示：
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线或点D是AB的中点(已知)， ∴CD=AD=BD= 1 AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
2
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°,
CD斜边上AB的中线。
2.已知:如图，BD、CE分别是△ABC的高,M、N分别是 BC、DE的中 点,分别联结ME、MD.求证:MN⊥ED.
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形性质与判定》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形性质与判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形性质与判定》是沪教版数学八年级上册第19章第三节的内容。
本节内容主要让学生掌握直角三角形的性质，包括勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用，以及直角三角形的判定方法。
这些内容对于学生理解数学的内在联系，培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、三角形的基本概念，并具有一定的几何图形的观察和分析能力。
然而，对于直角三角形的性质和判定，学生可能还存在着一定的理解困难，特别是勾股定理的应用和锐角三角函数的概念。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步掌握直角三角形的性质和判定。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用。
2.学会运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、交流能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。
2.锐角三角函数的概念及其应用。
3.直角三角形的判定方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索直角三角形的性质和判定。
2.运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，增强学生的直观感受。
3.采用分组合作学习的方式，培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的相关教具和学具。
3.教学课件和教学设计文档。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习实数、三角形的基本概念，引导学生回顾已学过的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示直角三角形的图片，引导学生观察并思考直角三角形的特征。
然后，教师运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，让学生直观地感受和理解直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）教师学生进行分组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。
沪教版八年级数学上册教案：19-3直角三角形全等的判定
沪教版八年级数学上册教案：19-3直角三角形全等的判定知识精要：1、直角三角形全等的判定（1）斜边直角边定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称“HL”定理）．（2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．2、直角三角形的性质：（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余；（2）定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．3、勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方和等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．精解名题：1、要判定两个直角三角形全等，需要满足下列条件中的（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A ．6个；B ．5个；C ．4个；D ．3个．2、下列说法中，错误的是（ ）A ．三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用；B ．已知两个锐角不能确定一个直角三角形；C ．已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形；D ．已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形．3、如图，已知△ABC 为直角三角形，，若沿图中虚线剪去∠C ，则等于（）A ．；B ．；C ．；D ．． 4、如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的个数有（）①平分；②BC 长为；③△是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长． A． 1个； B ．25、如图，△ABC 中，，，AD 平分交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8 cm ；D ．10cm ．6、如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，，D 为AB 中点，有以下结论：①；②DE ⊥AC ；③；④．其中结论正确的是（）A B C。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期本章小结直角三角形复习课件
C
E
F
D
A
G
B
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
例4、如图，AB⊥BD于点B， CD⊥BD于点D，P是BD上一 点，且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
C
2、在Rt△ABC中， ∠C=90º CD是AB边上的高，若AC=4， BC=3，则CD=＿＿ 3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=10cm,则 CD=_____
A
D
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
D
A
解∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°
B
C
（在同一三角形中，等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
O
∴AC=DC/2（直角三角形中,30 角所对直角边是
斜边的一半）
∴AC=BD/2
例2、已知，如图，在△ABC中，D是BC边 上一点，DE ⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F, 且DE=DF,EF与AD交于点O.求证;AD ⊥EF.
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
AAS、ASA、SAS、SSS、HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
1、有四个三角形，分别满足下列条件： (1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为 3∶4∶5；(3) 三边之比为5∶12∶13；(4) 三边长分别为7、 24、25.其中直角三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
沪教版(上海)八年级上册数学 19.7-19.8 直角三角形全等的判定 直角三角形的性质 教案
19.7-19.8 直角三角形全等的判定直角三角形的性质教案【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ．∴在Rt△DBE 和Rt△DCF 中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL ）；∴EB=FC．总结 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．例2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.总结 从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.例3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.类型二、直角三角形性质的应用例4、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥C E，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．解：（1）∵点G是CE的中点，DG⊥C E，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠E DB=∠DC E+∠D E C=2∠DC E，∵DE=BE∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠DC E，∴∠AEC=3∠DCE=66°，则∠BCE=22°．。
2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题08 直角三角形复习(考点讲解)(教师版)
专题08 直角三角形（沪教版）【考点剖析】1.直角三角形全等的判定Rt ABC ∴∆2.直角三角形的性质定理及推论 3.勾股定理4.两点的距离公式①数轴上两点A 、B 分别表示实数m 、n ，则AB 的距离为||m n -.②如果直角坐标平面内有两点111222(,)(,)P x y P x y 、，那么12P P 、两点间的距离12PP =【典例分析】例题1 （浦东2017期末4）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ） A.4、7、9； B. 5、12、13； C. 6、8、10； D. 7、24、25. 【答案】A【解析】A 、因为222479+≠，故不是直角三角形，符合题意；B 、22251213+=，故是直角三角形；C 、2228610+=，故是直角三角形；D 、22272425+=，故是直角三角形；故选A.例题2 （金山2018期末16）如图 ：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB 的垂直平分线EF 分别交BC 、AB 于点E 、F ， ︒=∠65AEF ，那么=∠CAE ． 【答案】40︒.【解析】因为EF 垂直平分AB ，所以EA ＝EB ，所以B EAB ∠=∠，因为︒=∠65AEF ，所以25B EAB ∠=∠=︒，所以252550AEC ∠=︒+︒=︒，所以905040CAE ∠=︒-︒=︒.例题3 （黄浦2017期末16）若ABC ∆的三条边分别为5、12、13，则ABC ∆之最长边上的中线长为 . 【答案】132； 【解析】因为22251213+=，故ABC ∆为直角三角形，则ABC ∆的最长边（即斜边）上的中线长等于斜边的一半为132. 例题4 （金山2017期末18）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点D 在BC 边上，现将ABC ∆沿直线AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，那么AD ＝ cm.【答案】.【解析】设点C 落在AB 边上的点E 处，则DE ＝DC ，AE ＝AC ＝6，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝8－x ，因为AB10=，所以BE ＝4，所以8-x=5，得x ＝3，所以AD ===. 例题5 （浦东2017期末19）已知在ABC ∆中，AB ＝9，AC ＝10，BC ＝17，那么边AB 上的高等于 . 【答案】8【解析】如图，设AD ＝x ，CD ＝h ，则由勾股定理得2222100(9)289x h x h ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解之得68x h =⎧⎨=⎩.17109DCBA例题6 （普陀2017期末23）已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且MN DE ⊥，垂足为点N. （1）求证：ME ＝MD ；（2）如果BD 平分ABC ∠，求证：AC ＝4EN.【答案与解析】 （1）因为BD 、是边AC 上的高，所以90BDC ∠=︒，因为M 是BC 的中点，所以12DM BC =，同理12EM BC =，所以ME=MD. （2）因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，因为BD 是边AC 上的高，所以90ADB CDB ∠=∠=︒，在ABD CBD ∆∆和中，ABD CBD BD BD ADB CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ABD CBD ∆∆≌，所以AD=CD ，又CE 是边AB 上的高，所以CEA=90∠︒，所以AC=2ED ，因为ME=MD ， MN DE ⊥，所以ED=2 EN ，所以AC=4EN. 【真题训练】 一、选择题1．（金山2017期末5）下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边的是（ ）1； B. C. D. 【答案】A.【解析】因为2221+=，故可作为直角三角形的三边.所以选A.2．（宝山2017期末4）在90Rt ABC C ∆∠=︒中，，如果12BC AB =，那么（ ） A.30A ∠=︒； B. 45A ∠=︒； C. 60A ∠=︒； D. 36A ∠=︒. 【答案】A【解析】根据直角三角形的性质定理2的推论2：直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30度。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第19讲 勾股定理及两点间的距离公式(解析版)
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．勾股定理及两点间的距离公式知识结构模块一：勾股定理的证明及应用例题解析知识精讲内容分析【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________； （2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【答案】（1）2；（2）223．【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；（2）设x BC AC ==，则由勾股定理可得：2223=+x x ，解得：223=x ， ∴223=AC ． 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【答案】（1）349；（2）15．【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为323，则三角形的面积为349； （2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为15 【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边； （2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯；（3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【答案】（1）2；（2）24．【解析】（1）由题意有：()()()222321+=+++N N N ，解：2=N （负值舍去）；（2）可设直角三角形的三边长分别为N -2，N ，N +2 ∴()()22222+=+-N N N ，∴8=N∴三角形的周长为243=N【总结】考察勾股定理的应用．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长． 【答案】324+．【解析】∵∠ACB =90°，D 是斜边AB 的中点，∴AB AD CD BD 21===．∵∠B=60°，∴△BDC 是等边三角形，∴BC CD =．∵∠ACB =90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴4=AB ．∵AB AD CD BD 21===，∴2=CD ．∵∠ACB =90°，BC =2，4=AB ，∴322422=-=AC ，∴3243222+=++=++=AC CD AD C ADC △ 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【答案】17120．【解析】设9AC x AB x ==+，， ∵222CB AC AB +=，∴()222159+=+x x ，解得：8=x∴817AC AB ==，由等面积法可知：1712017158=÷⨯=÷⋅=AB BC AC CD ． 【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．A BCDBC D∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路， 请你求出这条小路的长（结果保留根号）． 【答案】3100100+．【解析】根据垂线段最短，过C 作垂线的垂线段是最短的． 过C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ． 由题意可知：︒=∠30CAB ，︒=∠75CBM ，∴︒=∠45BCA ．在Rt △ABE 中，︒=∠30CAB ，400=AB ，∴20021==AB BE ．∴由勾股定理可得：3200=AE在Rt △CBE 中，︒=∠45BCA ，200=BE ，∴200=CE ∴2002200+=+=CE AE AC在Rt △ACD 中，︒=∠30CAB ，3200200+=AC ，∴3100100+=CD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒? 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．A BCM M ND ME M APQ MNB在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积． 【答案】10．【解析】∵AB DC ∥，ACF DCA ∠=∠，∴CAF ACF ∠=∠，∴FC AF = 设x FC AF ==，则x FB -=8∵222CF BF BC =+，∴()22284x x =-+，解得：5=x∴10452121=⨯⨯=⋅⋅=CB AF S AFC △ 【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）． 【答案】10万元．【解析】延长AC 至点E ，使得CE =AC ，连接EB 交CD 于一点，，则此时铺设水管费用最低． 过E 作EF ∥CD ，交BD 延长线于F ∵四边形CEFD 是长方形，∴1==DF CEABCDEFABC D AB C D PEF∵34EF BF ==，，∴由勾股定理可得：5=BE 此时5==+=+BE BP EP PB AP ∴总费用为1025=⨯万元．【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：222+=BE CF EF ． 【答案】见解析【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC =90°，AB =AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠． ∵AB =AC ，BE =CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，． ∵︒=∠45EAF ， ∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒， ∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =， ∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+， 又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．ABC EFG2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形 【答案】C【解析】A 答案中：C A B ∠=∠+∠，且C A B ∠-︒=∠+∠180，∴︒=∠90C ，所以是直角三角形；B 答案中：222c b a -=，∴222b c a =+，所以是直角三角形；C 答案中：x A x C x B 5,4,3=∠=∠=∠，∴︒=++180543x x x ，∴︒=15x ，∴︒=∠75C ， ∴不是直角三角形；D 答案中：设543a m b m c m ===，，，∵222c b a +=，所以是直角三角形． 【总结】考察判断直角三角形的方法．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形． 【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；（2）由题意有：b a =或222c b a =+，∴三角形为等腰三角形或直角三角形． 【总结】考察勾股定理的应用．【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【答案】（1）24米；（2）15米．【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为1512922=+，则旗杆长为9+15=24米；（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为1581722=-． 【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例16】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++， 判断△ABC 的形状．【解析】∵222506810a b c a b c +++=++，∴()()()0543222=-+-+-c b a ，∴345a b c ===，，．∵222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【答案】（1）10=AE ；（2）15AE =．ABCDE E’【解析】（1）设25AE x BE x ==-，则，∴()222222152510ED x EC x =+=-+，，∵EC ED =，∴()2222102515+-=+x x ，∴10=x ，即10=AE ．（2）找出C 点关于AB 的对称点F ，联结DF 交AB 于点E '， 则此时的E '满足C 、D 两村到E 站的距离和最小， 设x BE x AE -==25，，∴()222222152510ED x EF x =+=-+，， ∵225252522=+=DF ，∴()2251025152222=+-++x x ，解得：15x =，∴15AE =【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【解析】连接AC∵AB =BC =2，∠B =90°，∴222222=+=AC ，︒=∠45BAC ． ∵2213AC AD CD ===，，，∴222CD AC AD =+， ∴︒=∠90DAC ，∴︒=∠+∠=∠135BAC DAC DAB ． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值． 【答案】5：3． 【解析】连接ED ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴ED AE = 设2==BC AB ，x ED AE ==，则x BE -=2∵222ED BD BE =+，∴()22212x x =+-，解得：45=x ． 则434522=-=-=x BE ， ABCD AB CD EF∴3:543:45:==BE AE ． 【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．【例20】 如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ． ∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC ∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC ∵CBD ABP ≌△△， ∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=， 22222PF BF PE BE BP +=+=， 22222PG CG CF PF CP +=+=， 22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，ABCDEFGHPBAP CD整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE =1， 解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=． 【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+． ∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．例题解析模块三：两点间的距离公式知识精讲AB CD【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ． 【答案】（1）10；（2）()30C ，． 【解析】（1）()()10125222=-+-=AB ；（2）设()0C x ，， ∵AC =BC ，∴()()22221522+-=+-x x ，3=x ，∴()30C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例24】 （1）已知A （x ，3）、B （3，x +1）之间的距离为5，则x 的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【答案】（1）16-=或x ；（2）()66P -，或()11P -，． 【解析】（1）由题意有：()()513322=--+-x x ，∴16-=或x ；（2）设()a a P -，，∴()()53222=+-+-a a ，∴16-=或a ，∴()66P -，或()11P -，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）()1C 或()1C -．【解析】（1）∵233322=+=AB ，60622=+=BC ，233322=+=AC ，∴222BC AC AB =+，AC AB =， ∴该三角形为等腰直角三角形； （2）()C a b ，，（3）∵4=AB ，∴()4322=-+=b a AC ，()4122=++=b a BC ，解得：a =±，1b =，∴()1C 或()1C -． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ． 【答案】()70P ，或()07P ，． 【解析】①当点P 在x 轴上时，设()0P x ，，∵P A =PB ，∴()()22223614+-=+-x x ，7=x ，∴()70P ，②当点P 在y 轴上时， 设()0P y ，，∵P A =PB ，∴()()22226341+-=+-y y ，7=y ，∴()07P ，∴满足条件的P 点的坐标为()70P ，或()07P ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P 在坐标轴上，注意分类讨论．【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【答案】845P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】由题意可知：()()22225263++=+-m m ，解得：58=m ，∴845P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在x 轴上是否存在点P ，使得PA PB +的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为172．【解析】找出A （2，3）关于x 轴对称的点为()23C -，，连接BC ，则PA PB +的值最小值为1728222=+=BC ． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【解析】设()0C x ，， 当CA =CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB =AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．【例30】 已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()11C -，或()42C -，． 【解析】由两点间距离公式，可得：22(42)15AB =-+=，22(4)(2)AC x x =-+-，22(12)(2)BC x x =---+-．当CA =CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，；当CB =AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，． 综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．随堂检测【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【答案】C【解析】只有C 答案满足勾股定理逆定理． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【答案】D【解析】∵587322=+=AB ，51222=+=BC ，616522=+=AC ，∴222BC AC AB ≠+，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________． 【答案】（1）2，22或22，；（2）13或119．【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边． 【总结】考察勾股定理的应用．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长． 【答案】3=CE ．【解析】由翻折性质，可知：10==AF AD ，∴622=-=AB AF BF ，∴4610=-=-=BF BC CF ． 设x DE EF x EC -===8，∵222EF CF CE =+，∴()22284x x -=+，解得：3=x ．∴3=CE ．A BCDEF【总结】考察勾股定理的应用．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积．【答案】2333．【解析】联结AC ，过C 作CE ⊥AD∵AB ⊥BC ，AB = 9，BC =12，∴15=AC ．∵CD =15，15=AC ，152，∴222CD AC AD +=， ∴ACD 为直角三角形．∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AD EC =+=⋅⋅+⋅⋅△△四边形111523339121522222=⨯⨯+⨯⨯=． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积． 【答案】6．【解析】延长AD 至E ，使得DF=AD ，联结CE∵CD BD =，CDE ADB ∠=∠，DF=AD ， ∴CDE ABD ≌△△，∴5==CE AB∵345AC AE CE ===，，，∴222CE AE AC =+， ∴︒=∠90DAC ，∴321=⋅⋅=AC AD S ADC △． ∵CD BD =，∴62==ADC ABC S S △△．【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．AB CDABDCE【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【答案】直角三角形．【解析】由题意可知：()[]()024222=+-+-ab c b a ，∴222c b a =+，∴这个三角形为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ． 【答案】20=PM ．【解析】设x MQ x PM -==27，，∵MB MA =，∴()2222242715+-=+x x ，解得：20=x ， ∴20=PM ．【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【答案】()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1304C ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】设()0C y ，，则24(8)AC y =+-，21(4)BC y =+-，22345AB =+=．当222AB BC AC =+时，则()()222222431428+=+-++-y y ， 解得：6666y y =+=-或，∴()066C +，或()066C -，； 当222BC AB AC =+时，则()()222222144328+-=+++-y y ，解得：219=y ， ∴1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，；当222AC AB BC =+时，则()()222222284314+-=+++-y y ，解得：413=y ， ∴1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴综上所述，满足条件的C 点的坐标为：()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，或 1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．ABQPM【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==，，是ABC ∆内一点，且312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【答案】135°．【解析】在过点C 作CD ⊥CM 于点C ，在CD 上截取一点D ，使得CD=CM ，连接BD∵︒=∠+∠90DCA ACM ，︒=∠+∠90BCM ACM ∴BCM DCA ∠=∠∵BC AC =，BCM DCA ∠=∠，CM CD = ∴BCM ACD ≌△△， ∴1==AD BM∵︒=∠90MCD ，CM CD =， ∴22=DM ，︒=∠45CDM ∵1223DA DM AM ===，，， ∴222AM DM DA =+， ∴︒=∠90ADM∴︒=∠+∠=∠135CDM ADM ADC ∵BCM ACD ≌△△， ∴︒=∠=∠135ADC BMC【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．ABCMD【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【解析】方法一：如图，△CDE ≌△ADE ，且B 、C 、D 在一条直线上，联结AE∵△CDE ≌△ADE ，∴CED ACB ∠=∠∵︒=∠+∠90CED ECD ，∴︒=∠+∠90CED ACB ，∴︒=∠90ACE∴梯形ABDE 的面积为()()22121221c ab b a b a +⨯=++整理得：222a b c +=，即得证．方法二、如图，由四个△ABC 拼成以下图形， 则四边形BCEG 和四边形ADFH 都为正方形∵四边形BCEG 的面积为2c ，∴四边形ADFH 的面积为()22214b a c ab +=+⨯，整理得：222a b c +=，即得证．【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C ． 【总结】考察三角形全等的判定．【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______． 【答案】22．【解析】根据勾股定理得A 的面积等于另外两正方形面积之差． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________． 【答案】2．【解析】222=1+1=2AB BC AC ++． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________． 【答案】()()33313B B ---，或，． 【解析】设()3B m -，，∵BA =10，∴()106522=++m ，解得：133-=或m ，∴()()33313B B ---，或，． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C与点E 重合，已知AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.课后作业5072A【答案】23=CD ． 【解析】由翻折性质，可得：3==AE AC ，∴2=BE ．设4CD DE x DB x ===-，则，∵222BD BE DE =+，∴()22242x x -=+，解得：23=x ，∴23=CD ． 【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是____________．【答案】直角三角形．【解析】∵12=++AC BC AB ，22AB BC AC AB BC +=-=，， 联立方程，解得：534AB BC AC ===，，． ∵222CB AC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D两点的距离为_______. 【答案】13-=AD 或13+．【解析】∵CD BD AC AB ==，，∴DA 垂直平分BC ．设DA 交BC 于E ，∵等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，∴1=AE∵DBC ∆为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：3=DE 当A 点在DBC ∆内部时，13-=AD ； 当A 点在DBC ∆外部时，13+=AD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．【作业8】 已知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________. 【答案】63．【解析】设AC 与PQ 相交于D由题意可得：︒=∠30BAO ，︒=∠30PAD ，1==AB AP ∵︒=∠90P ，︒=∠30PAD ，∴设2PD x AD x ==，ABCQPD∴()2221x x =+，解得：33=x ． ∴6321=⋅⋅=PD AP S APD △． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状. 【答案】直角三角形．【解析】P 点的运动路程为10厘米，则此时P 与D 重合；Q 点的运动路程为14厘米，此时BQ =4厘米． ∵534===BP PQ BQ ，，∴△BPQ 为直角三角形，且︒=∠90BQP ，即︒=∠90AQP ． ∴APQ ∆的形状为直角三角形．【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状. 解：222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B ) 222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.【答案】（1）C ；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等 腰三角形．【解析】C 步骤应该为：222220c a b a b =+-=或， 所以应为直角三角形或者等腰三角形．ABCDQP【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【解析】设其中的一段长为x cm ，则另一段长为()cm x -70∴()2225070=-+x x ，解得：4030或=x ．∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标. 【答案】()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】当点P 在y 轴上时，设()0P y ，， 当222AB BP AP =+，∴()22222246541+=+-++y y ，解得：15-=或y ， ∴()05P ，或()01P -，； 当222BP AB AP =+，∴()22222254461+-=+++y y ，解得：23-=y ，∴302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当222AP AB BP =+，∴()22222214654+=+++-y y ，解得：223=y ，∴2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 在x 轴上时，设()0P x ，， 当222AB BP AP =+，∴()()222222464501+=+-+++x x ，解得：15-=或x ， ∴()50P ，或()10P -， 当222BP AB AP =+，∴()()222222454601+-=++++x x ，解得：1-=x ，∴()10P -，当222AP AB BP =+，∴()()222222014645++=+++-x x ，解得：323=x ，∴2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为：()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，或 ()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．。
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形全等的判定》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是沪教版数学八年级上册19.3节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的全等判定，让学生在已有的知识基础上进一步深入理解全等的概念，并能够应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了全等图形的概念，并掌握了一些基本的全等判定方法。
但是，对于直角三角形的全等判定，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将已有的全等知识与直角三角形相结合，通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：如何运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入直角三角形全等的概念，让学生在实际情境中理解全等的含义。
2.互动教学法：引导学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学的全等判定方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括直角三角形全等的判定方法和相关练习题。
2.练习题：准备一些有关直角三角形全等的练习题，用于课堂练习和巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入直角三角形全等的概念，例如：“在三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=4，请问AC的长度是多少？”让学生思考并讨论，引出直角三角形全等的判定方法。
2.呈现（15分钟）讲解直角三角形全等的判定方法，包括HL（斜边-直角边）、SAS（边-角-边）和ASA（角-边-角）三种方法。
沪教版(五四学制)八年级数学上册教案：19.3直角三角形性质与判定
东方教育学科教师辅导讲义讲义编号SH14sxC2010班级编号：初二6人尖子（4）班年级：初二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期剩余天数课题直角三角形性质与判定授课时间：2014.11.29 10:05—11:55 备课时间：2014.11.25教学目标1、直角三角形全等条件的理解与应用，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、掌握直角三角形性质及其运用的过程中，能够有条理的思考并进行简单推理。
重点、难点直角三角形的判定与性质的应用考点及考试要求直角三角形的性质与判定的应用教学内容轨迹复习知识点回忆1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的。
2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是。
3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为，定长为的。
同步练习：1、经过点A且半径为a的圆的圆心的轨迹是。
2、到两相交直线m，n距离相等的点的轨迹是。
3、到直线m距离等于a的点的轨迹是。
4、底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹. 。
5、到两个定点A、B的距离相等的点的轨迹。
6、作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明）。
（1）经过已知点P和Q的圆的圆心的轨迹；（2）与已知直线AB的距离为3cm的点的轨迹。
. .直角三角形的性质和判定【一、知识要点复习】1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，两锐角；（2）在直角三角形中，斜边上的等于__________的；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么；（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么________ ___；2、直角三角形的判定：（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。
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直角三角形（提高）【学习目标】
1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边||，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
3. 能应用直角三角形的性质解题.
【要点梳理】
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知||，对于两个直角三角形||，满足一边一锐角对应相等||，或两直角边对应相等||，这两个直角三角形就全等了||。
这里用到的是“AAS”||，“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边||，直角边定理
在两个直角三角形中||，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的||，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等||，由于其中含有直角这个特殊条件||，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、
HL.证明两个直角三角形全等||，首先考虑用斜边、直角边定理||，再考虑用
一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三
角形这个条件||，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点三、直角三角形的性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论1：在直角三角形中||，如果一个锐角等于30°||，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
推论2：在直角三角形中||，如果一条直角边等于斜边的一半||，那么这条直角边所对的角等于30°.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”||，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一||，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等||，不全等的画“×”||，全等的注
明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
（2）一个锐角和斜边对应相等；（）
（3）两直角边对应相等；（）
（4）一条直角边和斜边对应相等．（）
【答案】（1）全等||，“AAS”；（2）全等||，“AAS”；（3）全等||，“SAS”；（4）全等||，“HL”. 【解析】理解题意||，画出图形||，根据全等三角形的判定来判断.
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
举一反三：
【变式】下列说法中||，正确的画“√”；错误的画“×”||，并举出反例画出图形.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
【答案】（1）√；
（2）×；在△ABC和△DBC中||，AB＝DB||，AE和DF是其中一边上的高||，AE ＝DF
（3）×. 在△ABC和△ABD中||，AB＝AB||，AD＝AC||，AH为第三边上的高||，
2、已知：如图||，DE⊥AC||，BF⊥AC||，AD＝BC||，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
【答案与解析】
证明：∵DE⊥AC||，BF⊥AC||，
∴在Rt△ADE与Rt△CBF中
∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）
∴AE＝CF||，DE＝BF
∴AE＋EF＝CF＋EF||，即AF＝CE
在Rt△CDE与Rt△ABF中||，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）
∴∠DCE＝∠BAF
∴AB∥DC.
【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF||，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进||，证出题目.
3、如图AB＝AC||，BD⊥AC于D||，CE⊥AB于E||，BD、CE相交于F．求证：AF 平分∠BAC．
【答案与解析】
证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)
∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)
【总结升华】若能证得AD ＝AE||，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角||，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF||，而
要证AD ＝AE||，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC||，由题意已知AB ＝AC||，∠BAC
是公共角||，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．条件和结论相互转化||，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.
举一反三：
【变式】已知||，如图||，AC 、BD 相交于O||，AC ＝BD||，∠C ＝∠D ＝90° .
求证：OC ＝OD.
【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°
∴△ABD 、△ACB 为直角三角形
在Rt △ABD 和Rt △BAC 中
AB BA BD AC
=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)
∴AD ＝BC
在△AOD 和△BOC 中
∴△AOD ≌△BOC(AAS)
∴OD ＝OC ．
类型二、直角三角形性质的应用
4、如图所示||，在等边△ABC 中||，AE ＝CD||，AD 、BE 相交于点P||，BQ ⊥AD 于Q||，
求证：BP ＝2PQ ．
【答案与解析】
证明：∵ △ABC 为等边三角形||，
∴ AC ＝BC ＝AB||，∠C ＝∠BAC ＝60°．
在△ACD 和△BAE 中||，
∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．
∴ ∠CAD ＝∠ABE ．
∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°||，
∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°||，
∴ ∠BPQ ＝60°．
∵ BQ ⊥AD||，
∴ ∠BQP ＝90°||，
∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°||，
∴ BP ＝2PQ ．
【总结升华】(1)从结论入手||，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地
用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法||，从结论入手找已知条件||，即BP＝2PQ⇒∠PBQ＝30°||，另一方面从已知条件找结论||，即由条件⇒△ACD≌△BAE⇒∠BPQ＝60°⇒∠PBQ＝30°||，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．。