电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第3章习题解答

第3章习题解答

3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：

(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；

(3)()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθϕθϕ=。

解：已知空间的电位分布，由E Φ=-∇和2

0/Φρε∇=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。

(1) ()2x E e Ax B Φ=-∇=-+ 0202εερA -=Φ∇-= (2) ()

x y z E A e yz e xz e xy Φ=-∇=-++ 020=Φ∇-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=-∇=-+++⎣⎦

20004sin sin 3sin Bz

Bz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫

=-∇=-+

-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θϕΦθϕθϕϕ=-∇=-+-

200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θϕϕρεΦεθϕθθ⎛⎫

=-∇=-+

- ⎪⎝

⎭

3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。

试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为

22001111100

()()22S S d R d R d ρρ

Φεε=

+-=- 下顶面在球心产生的电位为

22

002222200

()()22S S d R d R d ρρΦεε=

+-=- 侧面在球心产生的电位为

030

014π4πS S S

S

R

R

ρρΦεε=

=

⎰

式中2

12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为

1230

S R ρΦΦΦΦε=++=

3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时，

201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。

解：由电场切向分量连续的边界条件可得

1t 2t E E =⇒ 000520510x y z D D εε<=⨯=-⨯ 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n

D D =⇒ 050z z D <=

于是有

0001005050x y z z D e e e εε<=-+

3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为

()0πcos x

x d

ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层

之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。

解：由对称性可知

0y z

ΦΦ∂∂==∂∂，即22222

2222d d x y z x ΦΦΦΦΦ∂∂∂∇=++=∂∂∂。设各区域中的电位和电场强度分别为1Φ，2Φ，3Φ和1E ，2E

，3E 。由电位所满足的微分方程

2012d πcos d x x d ρΦε⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

222

d 0d x Φ= 232d 0d x Φ= 解得

011d πsin d πd x C x d ρΦε⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭ 22d d C x

Φ=

33d d C x Φ= 201112πcos πd x C x D d ρΦε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

222C x D Φ=+ 333C x D Φ=+

由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为

d x =时 12ΦΦ= 12

d d d d x x

ΦΦε

ε= d x -=时 13ΦΦ= 310

d d d d x x

ΦΦ

εε= 又根据对称性可知，在0=x 的平面上，电场强度是为零的，即0=x 时，1

d 0d x

Φ=。最后再选择零电位参考点使得0=x 时，()100Φ=。联立解得

0321===C C C 2

012

π

d D ρε=- 202322πd D D ρε==-。 只要利用d d x

E e x

Φ

=-∇Φ=-就可以得到 d x -<时， 2032

2πd ρΦε=- 3

3d 0d x E e x

Φ=-= d x d ≤≤-时 2200122

πcos ππd x d d ρρΦεε⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 011d πsin d πx x d x E e e x d ρΦε⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

d x >时， 2

022

2πd ρΦε=- 22d 0d x E e x

Φ=-= ✶ 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 ✶ 根据对称性只需求出0>x 的解，即1Φ和23ΦΦ=。

3.10 位于0x =和x d =处的两个无限大导电平面间充满了()01x d ρρ=+的体电荷。若将0x =处的导电平

板接地，而将x d =处的导电平板加上电压0U 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。

解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，且满足

一维泊松方程