《材料力学》第章%B应力状态和强度理论%B习

第七章 应力状态和强度理论 习题解
[习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

[习题7-1（a ）]
解：A 点处于单向压应力状态。

2244
12d F d F F A N A ππσ-=-==
[习题7-1（b ）]
解：A 点处于纯剪切应力状态。

331616
1d T d T W T P A ππτ-===
MPa mm mm N 618.798014.3108163
36=⨯⋅⨯⨯=
[习题7-1（b ）]
解：A 点处于纯剪切应力状态。

0=∑A
M
04.028.02.1=⨯--⨯B R )(333.1kN R B =
A σ
A τ
)(333.1kN R Q B A -=-=
MPa mm
N A Q A 417.01204013335.15.12-=⨯⨯-=⨯
=τ
B 点处于平面应力状态
MPa
m m m m m m N I y M z
B B 083.21204012
130103.0333.1436=⨯⨯⨯⋅⨯⨯==σMPa m m m m m m
N b I QS z z
B 312.0401204012
145)3040(13334
33
*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==
τ
[习题7-1（d ）]
解：A 点处于平面应力状态
MPa m m m m N W M z
A A 064.502014.332
1103.39333=⨯⨯⋅⨯==σ
MPa m m m m N W T P
A 064.502014.316
1106.78333
=⨯⨯⋅⨯==
τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540⨯的矩形。

在与轴线成0
45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。

试求试样所受的轴向拉力F 。

解：A
F
x =
σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2
x y
x τσστ+-=
A
F 20
45=
τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，
15020
45≤=
A
F
τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==⨯⨯==
[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。

由于实用的原因，图中的α角限于0
60
~0范围内。

作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。

现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3
，且这一拉杆
A τ
B τ
B
σA
τA σ
的强度由胶合缝强度控制。

为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：A
F
x =
σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=
A F A F A F ][22cos 1σα
≤+A F
][cos 2σα≤A
F
α
σ2cos ][A F ≤
α
σ2max,cos ][A
F N =
ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
][43
][2sin 2στατα=≤=
A F ασ2sin ][5.1A F ≤
α
σ2sin ][5.1max,A
F T =
α（
）
0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60
N F max,（A ][σ） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 T F max,（A ][σ）
47.754 4.386 2.334 1.732 1.562
1.523 1.523 1.732
最大荷载随角度变化曲线
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.0000
10
20
304050
60
斜面倾角(度)
Fmax,N,Fmax,T
Fmax,N
Fmax,T
最大荷载随角度变化曲线
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.0000
10
20
304050
60
斜面倾角(度)
Fmax,N,Fmax,T
Fmax,N
Fmax,T
由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当0
60=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：
A F ][732.1max σ=
[习题7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力][5.0][στ=，而M P a 7][=τ，MPa 14][=σ，则α值应取多大？若杆的横截面面积为2
1000
mm ，试确定其最大许可荷载。

解： 由上题计算得：α
σ2
max,cos ][A
F N =
ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
][5.0][2sin 2στατα=≤=
A F
α
σ2sin ][A F ≤
α
σ2sin ][max,A
F T =
α（0）
0.9
10
20
26.565051 30
40
50
60 N F max,（A ][σ）
1.000 1.031 1.132 1.250 1.333 1.704
2.420 4.000 T F max,（A ][σ）
31.836 2.924 1.556 1.250
1.155 1.015 1.015
1.155
由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当0
565051.26=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：kN N mm mm N A F 5.17175001000/1425.1][25.122max ==⨯⨯==σ
[习题7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面n m -上正应力及切应力的计算公式。

设截面n m -的法线与x 轴成α角如图所示（作图时可设||||x y σσ>）。

解：坐标面应力：X （x σ，0）；Y （y σ，0）
设n m -斜面的应力为M （ασ，ατ）。

X 、Y 点 作出如图所示的应力圆。

由图中的几何关系可知：
)(11N O O O NO --=-=ασ
)2cos 2
2|(|ασσσσσy
x y
x x --
-+
-=
)2cos 22
(ασσσσσy
x y
x x --
-+
--=
)2cos 2
22(
ασσσσσy
x y
x x --
-+--=
ασσσσ2cos 2
2
y
x y
x -+
+=
ασσατα2sin 2
2sin y
x OM -=
=
[习题7-6] 某建筑物地基中的一单元体如图所示，MPa y 2.0-=σ（压应力），
MP a
x 05.0-=σ（压应力）。

试用应力圆求法线与x 轴成顺时针0
60夹角且垂直于纸面的斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。

解：坐标面应力：X （-0.05，0）；Y （-0.2，0）
060-=α。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 05.0。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 1625.00
60-=-σ
MPa 065.00
60-=-τ
按习题7-5得到的公式计算如下：
ασσσσσα2cos 2
2
y
x y
x -+
+=
MPa 1625.0)120cos(2
2
.005.022.005.00600
-=-+-+--=
-σ
ασστα2sin 2
y
x -=
MPa 065.0)120sin(2
2
.005.00600
-=-+-=
-τ
作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。

[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力
MPa mm mm mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124
363=⨯⨯⋅⨯⨯⨯===σ
MPa m m m m m m N b
I QS z z 88.0801608012
160)4080(10104333*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ
（2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）
Y （0，0.88）
(3) 作应力圆求最大与最小主应力，
并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。

从图中按
比例尺量得：
MPa 66.101=σ
MPa 06.03-=σ
0075.4=α
[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a ）]
解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）0
60=α。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 250
120-=σ， MPa 260
120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；000=α。

[习题7-8（b ）]
解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）0
30=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 260
60-=σ ，MPa 150
60=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ；0045-=α。

[习题7-8（c ）]
解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）0
30=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 500
60-=σ ，00
60=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。

单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
1
σ3
σ
[习题7-8（d ）]
解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）0
0=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 400
45=σ ，100
45=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；'003539=α。

[习题7-9] 各单元体如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）主应力的数值；
（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-9（a ）]
解：坐标面应力：X （130，70）；Y （0，-70）。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 5.1601=σ,MPa 02=σ，MPa 5.303-=σ；'005623-=α。

单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
2σ
3
σ
[习题7-9（b ）]
解：坐标面应力：X （-140，-80）；Y （0，80）。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 40。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 0.361=σ,MPa 02=σ，MPa 1763-=σ；006.65=α。

[习题7-9（c ）]
解：坐标面应力：X （-20，-10）；Y （-50，10）。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 01=σ,MPa 25.162-=σ，MPa 75.533-=σ；001.16=α。

[习题7-9（d ）]
解：坐标面应力：X （80，30）；Y （160，-30）。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 1701=σ,MPa 702=σ，MPa 03=σ；006.71-=α。

单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。

试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。

平面应力状态下的两斜面应力
应力圆
解：两斜面上的坐标面应力为：
A （38，28），
B （114，-48）
由以上上两点作出的直线AB 是应力圆上的一条弦， 如图所示。

作AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C
点，则C 为应力圆的圆心。

设圆心坐标为C （0,x ） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：
2222)480()114()280()38(++-=-+-x x
解以上方程得：86=x 。

即圆心坐标为C （86，0） 应力圆的半径：
570.55)280()3886(22=-+-=r
主应力为：
MPa r x 57.14157.55861=+=+=σ MPa r x 43.3057.55862=-=-=σ
03=σ
（2）主方向角
（上斜面A 与中间主应力平面之间的夹角）
（上斜面A 与最大主应力平面之间的夹角）
（3）两截面间夹角：
[习题7-11] 某点处的应力如图所示，设αατσ,及y σ值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。

解：
0=∑X
0sin cos =+-ατασσααx (1)
0=∑Y
0cos sin =--ατασσααy (2)
(1)、（2）联立，可解得x σ和α。

至此，三个面的应力均为已知：X （x σ，0），Y （y σ，0）（x σ，y σ均为负值）；
α（αατσ,）。

由X ，Y 面的应力就可以作出应力圆。

[习题7-12] 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。

试示m m -上
c b a ,,三点处的主应力。

解：（1）求
a 点的主应力
)(7.3314666620011012
1
2201201211214333mm bh I z =⨯⨯-⨯⨯==∑
)(3336.301333110
7.331466663max mm y I W z z ===
MPa mm mm N W M z a 390.2123336.301333104.01603
6=⋅⨯⨯==σ
因a 点处于单向拉伸状态，故MPa 39.2121==ασσ，032==σσ。

（2）求b 点的主应力
MPa mm mm mm N I My z b 081.1937.33146666100104.01603
6=⨯⋅⨯⨯==σ
在m m -的左邻截面上，kN
Q 160=
MPa mm
mm mm N d I QS z z b 821.60107.33146666105)10120(101604
3
3*=⨯⨯⨯⨯⨯==τ 即坐标面应力为X （193.081,60.821）,Y(0,-60.821).
2
214)(2
12x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
MPa 64.210821.604081.1932
1
2081.19322=⨯++=
02=σ
2
234)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+--
+=
MPa 56.17821.604081.1932
1
2081.19322-=⨯+-=
（3）求c 点的主应力
0=c σ
MPa mm
mm mm N d I QS z z c 956.84107.33146666)501001*********(101604
3
3*=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==τ 即坐标面应力为X （0,84.956）,Y(0,-84.956).
2
214)(2
12x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
MPa 956.84956.8442
1
2=⨯=
02=σ
2
234)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+--
+=
MPa 956.84956.8442
1
2-=⨯-
= [习题7-13] 在一块钢板上先画上直径mm d 300=的圆，然后在板上加上应力，如图所示。

试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。

已知钢板的弹性模量GPa E 206=，28.0=ν。

解：坐标面应力X （70，21），Y （14，-21）
所画的圆变成椭圆，其中
（长轴）
（短轴）
[习题7-14] 已知一受力构件表面上某点处的MPa x 80=σ，MPa y 160-=σ，0=z σ，单元体的三个面上都没有切应力。

试求该点处的最大正应力和最大切应力。

解：最大正应力为MPa x 801==σσ。

最小正应力是MPa y 1603-==σσ。

最大切应力是)(1202
)
160(802
3
1max MPa =--=
-=σστ
[习题7-15] 单元体各面上的应力如图所示。

试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

[习题7-15（a ）]
解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，-40），Z （50，0）
由XY 平面内应力值作a 、b 点，连接a 、b 交轴得圆心C （50，0）
应力圆半径：
单元体图
应力圆
[习题7-15（b ）]
解：坐标面应力：X （60，40），Y （50，0），Z （0，-40）
由XZ 平面内应力作a 、b 点，连接a 、b 交轴于C 点，OC =30，故应力圆圆心C （30，0）
应力圆半径：
[习题7-15（c ）]
解：坐标面应力：X （-80，0），Y （0，-50），Z （0，50）
由YZ 平面内应力值作a 、b 点，圆心为O ，半径为50，作应力圆得
单元体图
应力圆
单元体图
应力圆
[习题7-16] 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。

试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A 点所代表的截面。

[习题7-16(a)]
解：该点处于三向应力状态：MPa 701=σ，MPa 502=σ，MPa 103=σ。

A 点所代表的截面平行于1σ的方向。

据此，可画出如图所示的单元体图和A 截的位置。

[习题7-16(b)]
解：该点处于三向应力状态：MPa 501=σ，MPa 102=σ，MPa 103-=σ。

A 点所代表的截面平行于3σ的方向。

据此，可画出如图所示的单元体图和A 截的位置。

应力圆
主单元体图与A 截面的位置
1σ
2σ
3σ
A
[习题7-17] 有一厚度为mm 6的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa 及55MPa 。

钢材的弹性常数为GPa E 210=，25.0=ν。

试求钢板厚度的减小值。

解：4
3
1044.2)55150(1021025.0)(-⨯-=+⨯=
+-
=MPa MPa MPa
E
y x z σσν
ε 钢板厚度的减小值为：
)(10464.11044.26||34mm z --⨯=⨯⨯==∆εδδ
[习题7-18] 边长为mm 20的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力kN F 14=作用。

已知3.0=ν，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。

试求立方体各个面上的正应力。

解：
（1）
（2）
联解式（1），（2）得
应力圆
主单元体图与A 截面的位置
1σ
2σ
3σ
A
030
[习题7-19] 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力kN F 20=时，测得试样中段B 点处与
其轴线成0
30方向的线应变为4301025.30-⨯=ε。

已知材料的弹性模量GPa E 210=，
试求泊松比ν。

解：平面应力状态下的广义虎克定律)(1
y x x E
νσσε-=适用于任意两互相垂直的y x ,方向，故有：)(1
0006030
30--=
νσσεE 。

钢杆处于单向拉应力状态： 拉杆横截面上的正应力 MPa 10010
2010203
=⨯⨯=σ
斜截面上的应力 ()
MPa 7530cos 2
30=σ=σ
()()MPa 2560cos 2
60=-=-
σσ
由广义虎克定律 []
6030
301
-νσ-σ=
εE []25751021011025.33
4⨯ν-⨯=
⨯-
解得： 27.0=ν
[习题7-20] D =120mm ，d =80mm 的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如图所示。

在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成方向的线应变为。

已知材料的
弹性常数
，
，试求扭转力偶矩。

解：
方向如图
[习题7-21] 在受集中力偶e M 作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k 点处沿0
45方向的线应变为045ε。

已知材料的弹性常数ν,E 和梁的横截面及长度尺寸l d a h b ,,,,。

试求集中力偶矩e M 。

解：支座反力：
l M R e A =
（↑）；l
M R e
B = （↓） K 截面的弯矩与剪力：
l aM a R M e A k =
=；l
M R Q e
A k == K 点的正应力与切应力：
0=σ；Al
M A Q e
k 235.1=⋅
=τ 故坐标面应力为：X （τ，0），Y （0，-τ）
Al
M e x y x y
z 234)(212
221==+-+
+=
ττσσσσσ
02=σ
Al
M e x y x y
z 234)(212
2
23-=-=+--
+=
ττσσσσσ ∞=--=
y
x x
σστα22tan 0
0045=α （最大正应力1σ的方向与x 正向的夹角），故
)(1
311450
νσσεε-=
=E
)1(23)]23(23[(10
45ννε+=--=
EAl
M Al M Al M E e e e
004545)
1(32)
1(32εννε+=
+=
Ebhl
EAl M e
[习题7-22] 一直径为mm 25的实心钢球承受静水压力，压强为MPa 14。

设钢球的GPa E 210=，3.0=ν。

试问其体积减小多少？
解：体积应变
=
[习题7-23] 已知图示单元体材料的弹性常数GPa E 200=，3.0=ν。

试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，40），Z （50，0） 在XY 面内，求出最大与最小应力：
2
2max 4)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
)(721.94)40(4)3070(2
1
2307022max MPa =-⨯+-++=
σ 2
2min 4)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+--
+= )(279.5)40(4)3070(2
1
2307022max MPa =-⨯+--+=
σ 故，)(721.941MPa =σ，MPa 502=σ，)(279.53MPa =σ。

单元体的形状改变能密度：
])()()[(61213232221σσσσσσν
-+-+-+=
E
v d ])721.94279.5()279.550()50721.94[(10
20063
.012223
-+-+-⨯⨯+=
3/99979.1201299979.0m m kN MPa ⋅==
[习题7-24] 从某铸铁构件内的危险点取出的单元体，各面上的应力分量如图所示。

已知铸
铁材料的泊松比25.0=ν，许用拉应力MPa t 30][=σ，许用压应力MPa c 90][=σ。

试按第一和第二强度理论校核其强度。

解：坐标面应力：X （15，15），Y （0，-15）
)(271.24154152
1215221MPa =⨯++=
σ 02=σ
)(271.9154152
1215223MPa -=⨯+-=
σ 第一强度理论：
因为 )(271.241MPa =σ，MPa t 30][=σ，即][1t σσ<， 所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。

第二强度理论：
因为 )(589.26)271.90(25.0271.24)(321MPa u =-⨯-=+-=σσνσσ，
MPa t 30][=σ，即][)(321t σσσνσ<+-，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a 所示，其截面尺寸见图b 。

已知钢材的许用应力为MPa 170][=σ，MPa 100][=τ 。

试校核梁内的最大正应力和最大切应力。

并按第四强度理论校核危险截面上的a 点的强度。

注：通常在计算a 点处的应力时，近似地按'
a 点的位置计算。

解： 左支座为A ，右支座为B ，左集中力作用点为C ，右集中力作用点为D 。

支座反力：)(710)840550550(2
1
kN R R B A =⨯++=
= （↑）
=
434331004.2)(204074667080023012
1
840240121m mm I z -⨯≈=⨯⨯-⨯⨯=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
)(8704402
1
355047102max m kN M ⋅=⨯⨯-⨯-⨯=
MPa m
m m N I y M z 1791004.210420108704
333max max max
=⨯⨯⨯⋅⨯==--σ
超过
的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a 的强度
超过
的3.53%，在工程上是允许的。

[习题7-26] 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力MPa 6501-=σ，MPa 7002-=σ，
MPa 9003-=σ（参看图7-7）。

若钢轨的许用应力MPa 250][=σ。

试按第三强度理论
与第四强度理论校核其强度。

解：按第三强度校核：
][)(250)900(65031σσσ==---=-MPa
符合第三强度理论所提出的强度条件，即安全。

])()()[(21
213232221σσσσσσ-+-+- ])650900()900700()700650[(2
1
222+-++-++-=
MPa MPa 250][)(129.229=<=σ
符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-27] 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A （图a ）处的应力状态如图b 所示。

当容器承受最大的内压力时，用应变计测得。

已知钢
材的弹性模量E=210GPa ，泊松比=0.3，许用应力。

试按第三强度理论校核
A 点的强度。

解：MPa E y x x 8.62)1037.73.01088.1(3
.01101.2)(1442
9
2=⨯⨯+⨯-⨯=+-=--νεενσ MPa E x y y 183)1088.13.01037.7(3
.01101.2)(1442
92=⨯⨯+⨯-⨯=+-=--νεενσ
，
，
根据第三强度理论：
超过
的7.64%，不能满足强度要求。

[习题7-28] 设有单元体如图所示，已知材料的许用拉应力为MPa t 60][=σ，许用压应力
为MPa c 180][=σ。

试按莫尔强度理论校核其强度。

解：坐标面应力：X （-70，-50），Y （0，50）。

()2
2
142
1
2x y x
y
x τσσ
σσσ+-+
+=
()2
21)50(4702
1270-⨯+-+-=
σ
)(03.2603.6135MPa =+-=
())(03.9603.6135)50(4702
1
2702
23MPa -=--=-⨯+---=
σ
莫尔强度理论的相当应力：
)(04.58)03.96(180
60
03.26][][31MPa c t rM =-⨯-=⋅-
=σσσσσ 因为 )(04.58MPa rM =σ，MPa t 60][=σ，即][t rM σσ<，
所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-29] 图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒，其内径mm D 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压力MPa p 5=，且两端受轴向压力kN F 100=作用。

材料的许用拉应力
MPa t 40][=σ，泊松比25.0=ν。

试按第二强度理论校核其强度。

解：在内压力作用下，任一点产生的应力为：
)(2510
2100
52MPa pD x =⨯⨯==
=δσσθ （径向） )(5.124'MPa pD
y ==
δ
σ （纵向） 但薄壁圆筒除在内压力作用下产生'
y σ之外，又在轴向压力 作用下产生压应力：
MPa Pa A F y
9.2810)100120(4
14
.3101006223
"-=⨯-⨯=-=-σ
在内压力与轴向压力共同作用下，薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力：
)(251MPa =σ )(52MPa p -==σ
MPa y y 4.169.285.12"'
3-=-=+=σσσ
用第二强度理论校核：
MPa MPa t r 40][4.30)4.165(25.025)(3212=<=---=+-=σσσνσσ
故，该薄壁容器满足强度要求。

[习题7-30] 在题7-29中试按莫尔强度理论进行强度校核。

材料的拉伸与压压缩许用应力分别为MPa t 40][=σ以及MPa c 160][=σ。

解：莫尔强度理论的相当应力：
)(1.29)4.16(160
40
25][][31MPa c t rM =-⨯-=⋅-
=σσσσσ
因为 )(1.29MPa rM =σ，MPa t 40][=σ，即][t rM σσ<， 所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-31] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F 及扭转力偶矩e M 共同作用，且Fd M e 10
1
=。

今测得圆杆表面k 点处沿图示方向的线应变5301033.140-⨯=ε。

已知杆直径mm d 10=，材料的弹性常数GPa E 200=，3.0=ν。

试求荷载F 和e M 。

若其许用应力MPa 160][=σ，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F 和e M 的大小：
e M 在k 点处产生的切应力为：
2
333max 5810161616d F
Fd d d M d T W T e P ππππττ-
=⋅-=-===
= F 在k 点处产生的正应力为：
24d F
A F πσ==
即：X （24d F π，258d F π-），Y （0，2
58d
F
π） 广义虎克定律：
)(1
000
6030
30-+=
νσσεE ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
)(10967.135)3415(60sin 5860cos 223
2
02022300
MPa F d
F d F d F d F -⨯=+=++=
ππππσ （F 以N 为单位，d 以mm 为单位，下同。

）
F d
F d F d F d F 32
20226010228.15)345()120sin(58)120cos(220
--⨯-=-=-+-+=
ππππσ
]10228.13.010967.13[10
2001
1033.14333
5F F ---⨯⨯-⨯⨯=⨯ ])228.13.0967.13(10
2001033.143
2
⨯-⨯=⨯-F F 52107993.61033.14--⨯=⨯
kN N F 108.2570.2107==
m N mm N mm N Fd M e ⋅=⋅=⨯⨯==108.2210810210810
1
101
按第四强度理论校核杆件的强度：
)(741.101014.3521088582
22MPa mm N
d F x -=⨯⨯⨯-=-
=πτ )(854.261014.32108442
22MPa mm N d F x =⨯⨯==πσ
()2
2
142
1
2
x y x
y
x τσσ
σσσ+-+
+=
())(622.30)741.10(4854.262
1
2854.262
21MPa =-⨯++=
σ
02=σ
())(768.3)741.10(4854.262
1
2854.262
23MPa -=-⨯+-=
σ
])()()[(21
213232221σσσσσσ-+-+- ])622.30768.3()768.30()0622.30[(2
1
222--+++-=
MPa MPa 160][)(669.32=<=σ
符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-32] 内径mm D 60=、壁厚mm 5.1=δ、两端封闭的薄壁圆筒，用来做内压力和扭转联合作用的试验。

要求内压力引起的最大正应力值等于扭转力偶矩所引起的横截面切应力值的2倍。

当内压力MPa p 10=时，筒壁的材料出现屈服现象，试求筒壁中的最大切应力及形状改变能密度。

已知材料的GPa E 210=，3.0=ν。

解：内压力引起的最大正应力：
)(1005
.1460
104MPa pD x =⨯⨯==
δσ （轴向应力）
)(20021MPa pD
y ==
=δ
σσ （环向应力） 径向应力0≈z σ
依题意：扭矩引起的切应力x τ为：x y τσ2=，MPa x 100=τ。

主应力：
()2
2
142
12
x y x
y
x τσσ
σσσ+-+
+=
())(803.261100420010021
2200100221MPa =⨯+-++=
σ ())(197.3810042001002
122001002
22MPa =⨯+--
+=σ
03=σ
筒壁中的最大切应力：
)(1319015.1302
803
.2612
3
1max MPa ≈==
-=
σστ 形状改变能密度：
])()()[(61213232221σσσσσσν
-+-+-+=
E
v d ])803.2610()0197.38()197.38803.261[(1021063.012
223
-+-+-⨯⨯+=3/124123808971.0m m kN MPa ⋅≈=。