高等数学 第8章

第八章 多元函数微分学及其应用
以前研究的函数都是只有一个自变量的一元函数，但在自 然科学和工程技术中的很多问题都要取决于多个因素，从而产 生了有几个自变量的函数，称为多元函数．多元函数的微分学 是在一元函数微分学的基础上发展起来的．由于多元函数是一 元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但又由于 自变量的增多，也会产生某些本质的差别．因此在学习多元函 数的理论时，既要注意到它与一元函数的联系，又要弄清它们 之间本质的差别。
dz fx(x ，y)x f y(x ，y)y
由于 dx x，dy y 所以函数z=f(x, y)的全微分可记作
dz fx(x ，y)dx f y(x ，y)dy
三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式， 如三元函数u=f(x, y, z)的全微分存在，则
du f dx f dy f dz x y z
设P0(x0, y0)是平面上一点，称点集
(x ，y) (x x0 )2 ( y y0 )2
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
不是极值 不确定
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函 数z=f(x, y)的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数fx’(x, y)，fy’ (x, y)，并解方程组
fx(x ，y) 0 ，
f
y(
x
，y)
0
.
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点(x0, y0)，求出二阶偏导数的值A，B， C。
凡能使fx’(x0, y0)=0，fy’ (x0, y0)=0。同时成立的点(x0, y0) 称为函数z=f(x, y)的驻点．
由定理1可知，可导函数的极值点必定是驻点，但函数 的驻点不一定是极值点。
定理2 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有连续 一阶与二阶偏导数，且(x0, y0)是一个驻点，即
解 z 2x sin 2 y x z 2x2 cos 2 y y
例7 已知理想气体的状态方程 pV RT (R为常量)，求
证
p V T 1
V T p
证明 因为
p
RT ，p V V
RT V2
V RT ，V R p T p
所以
T pV ，T V R p R
p V T RT R V RT 1 V T p V 2 p R pV
们称其为函数z=f(x, y)对自变量x的偏导函数，记作
z x
，f x
，zx，f
x(
x
，y
)
类似地，可以定义函数z=f(x, y)对自变量y的偏导 函数fy’(x, y)，记作
z y
，f y
，zy，f
y(
x
，y)
由偏导数的概念可知
fx(x0 ，y0 )
fx(x ，y) xx0 ，f y(x0 ，y0 ) y y0
例2 求函数 z x2 xy2 的全微分。
解 z 2x y2， x z 2xy y
两个偏导数都是连续的，所以全微分是存在的，即
dz (2x y2 )dx 2xydy
例3 求函数 z ex sin(x y) 的全微分。
解 因为 所以
z ex sin(x y) ex cos(x y)， x z ex cos(x y) y
表示二元函数定义域的方法一般有两种： （1）用自变量x，y满足的不等式或不等式组表示； （2）用xOy坐标平面上的平面点集表示。
例1 求函数z 1 x2 y2 的定义域。
解 由根式函数的要求可知，该函数 的定义域满足
x2 y2„ 1 所以，定义域为
D (x ，y) x2 y2„ 1
dz ex[sin(x y) cos(x y)]dx ex cos(x y)dy
例4 求函数 z x2 y 在点(1, 2)处的全微分。
解 因为 所以
z 2xy，z x2
x
y
z 4，z 1
x x1
y x1
y2
y2
dz 4dx dy
例5 要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高 为4米，厚度均为0.01米，求需用材料多少立方米？
例3 求 z x2 3xy y2 在点(1, 2)处的偏导数。
解 把y看作常量，得
把x看作常量，得
z 2x 3y x z 3x 2 y y
带入上面的结果，得
z 21 3 2 8，z 31 2 2 7
x x1
y x1
y2
y2
例4 求 z x y 的偏导数。
解 把y看作常量，得
f (x ，y) f (x0 ，y0 ) 则称函数在点(x0, y0)处有极大值f (x0, y0)； 如果都适合不等式
f (x ，y) f (x0 ，y0 ) 则称函数在点(x0, y0)处有极小值f (x0, y0)．极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
定理1 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处取得极值，且在该 点处的偏导数存在，则必有fx’(x0, y0)=0，fy’ (x0, y0)=0。
解 因为圆柱体体积 V π r2h
所以
由于
dV 2π rhr π r2h
r 2 ，h 4 ，r h 0.01，
V dV 2π 2 4 0.01 π 22 0.01 0.628
所以，需用材料约为0.628立方米。
第三节 多元函数的极值
一、二元函数的极值
1．极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义，对于该邻 域内异于(x0, y0)的点(x, y)，如果都适合不等式
f y(x ，y) xx0 y y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数，如三元函 数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为
fx(x ，y ，z)
lim
x0
f
(x x ，y ，z) x
f
(x ，y ，z)
由偏导数的定义可以知道，求多元函数对某个自变量的 偏导数时，只需把其余自变量看作常数，直接利用一元函 数的求导公式和求导法则来计算。
（3）根据 B2 AC 的符号，按照定理2结论判 定(x0, y0)是否为极值点，是极大点还是极小点。
（4）求出函数z=f(x, y)对应极值点(x0, y0)的函数值f (x0, y0)，即为极值。
例1 求 f (x ，y) x3 y3 3xy 的极值。
解 fx(x ，y) 3x2 3y，f y(x ，y) 3y2 3x
( z ) y y
2z y 2
zyy (x ，y)
f yy (x ，y)，
( z ) y x
2z xy
zxy (x ，y)
fxy (x ，y)，
( z ) x y
2z yx
zyx (x ，y)
f yx (x ，y)
其中，fxy (x ，y)，f yx (x ，y) 称为混合偏导数，它们是不
fx(x0 ，y0 ) 0，f y(x0 ，y0 ) 0
若A fxx (x0 ，y0 )，B fxy (x0 ，y0 )，C f yy (x0 ，y0 ) 则z=f(x, y)在点(x0, y0)取得极值的条件如表所示。
B2 AC 0
0 0
f (x0 ，y0 ) A 0是极大值 A 0是极小值
把x看作常量，得
z yx y1 x z x y ln x y
例5 求 r x2 y2 z2 的偏导数。
解 把y和z都看作常量，得
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
类似地，有
r
2y
y
y 2 x2 y2 z2 r
r
2z
z
z 2 x2 y2 z2 r
例6 求 z x2 sin 2 y 的偏导数。
在数学上，就是多元函数在其他自变量固定不变时， 函数随一个自变量变化的变化率问题，这就是偏导数。
偏导数的定义如下： 设函数 z f (x ，y) 在点(x0, y0)的某一邻域内有定义，当 y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量
f (x0 x, y0 ) f (x0 ，y0 )
第二节 高阶偏导数与全微分
一、高阶偏导数
定义1 如果二元函数z=f(x, y)的偏导数 z ，z 仍然可导， x y
那么它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数．按照对自 变量求导数次序不同，二元函数有下列四个二阶偏导数
( z ) x x
2z x2
zxx (x ，y)
fxx (x ，y)，
z lim f (x0 ，y0 y) f (x0 ，y0 )
y xx0
y 0
y
y y0
也可记为
f y
x x0
，zy
x x0 y y0
，f y(x0
，y0 )
y y0
如果函数z=f(x, y)在平面区域D内每一点(x, y)处
对x的偏导数fx’(x, y)都存在，那么这个偏导数显然将 随x，y取值不同而变化，即它仍是x，y的函数，我
即函数定义域的图形是以原点为圆心，半径为1的圆内及 圆周上点的全体，如图所示。
例2 求函数 z ln(x y) 的定义域。
解 函数的定义域为 x y 0
所以，定义域为
D (x ，y) x y 0
在几何上其图形为xOy平面上位于直线y=-x上方的半平面， 但不包括直线本身，如图阴影部分所示．