浙江省2018届高考考试逐类透析平面向量

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高三数学-2018年全国各地高考试题分类解析(平面向量),

2018年全国高考数学试题分类汇编——平面向量1.（全国卷Ⅰ理第15题）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =2. （全国卷I 文第12题）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点3.(湖南卷文第9题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ理第8题，文第9题）已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于（）A ．2B ．21 C ．－3 D ．－315．（全国卷Ⅱ理第10题，文第11题）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 A ．（－2，4） B ．（－30，25） C ．（10，－5） D ．（5，－10）6. （全国卷III 理第14题，文第14题）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____. 7．（浙江卷理第10题）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（） (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )8．（浙江卷文第8题）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( ) (A) {2，3} (B) {－1，6} (C) {2} (D) {6}9.（北京卷理第3题，文第4题）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°10.（广东卷第12题）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为_________．11.[ 湖北卷理第13题，文第3题（选择题） ]已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 12．（重庆卷理第4题）已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与的夹角为（）A ．54arccos2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-13．（重庆卷文第4题）设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2）14.（福建卷理第3题）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（）A ．5B ．－5C ．23D ．23-15．（福建卷文第14题）在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 .16.（山东卷理第7题，文第8题）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D17.（江苏卷第18题）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是________。

专题12 平面向量 2018年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析

2018届透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题12 平面向量【主题考法】本热点考查形式为择题或填空题，主要考查平面向量的概念与向量的线性运算、平面向量基本定理与平面向量的数量积的概念、运算法则及性质，考查利用平面向量的知识计算向量的夹角、长度及最值或范围问题，考查分运算求解能力、数形结合思想，以向量为工具和载体与其他知识交汇命题的也是命题的一个方向，难度为基础题或中档题，分值为5分. 【主题考前回扣】 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. 5．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 7.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.【易错点提醒】1.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行． 2．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律4.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系. 【主题考向】考向一平面向量的概念与线性运算【解决法宝】1．对平面向量的线性运算问题，若已知向量的坐标或易建立坐标系，常用坐标法，否则利用三角形法则和平行四边形法则处理向量的线性运算，一般地，共起点的向量利用平行四边形法则，差用三角形法则.当M 是BC 的中点，AM =)(21AC AB +应作为公式记住. 2．对向量共线问题，要熟记平面向量共线的充要条件，①b a //（0≠a ）⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=；②已知),(11y x a =，),(22y x b =，则b a //⇔01221=-y x y x ，处理选择合适的方法.例1【西北师大附中2018届二模】已知向量()2,1a =, (),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（）A. 2-B. ２C. 2±D. ４【分析】求出向量a b +与a b -的坐标，利用向量共线的充要条件的坐标形式列出关于x 的方程，即可求出x 的值.【解析】由()2,1a =， (),1b x =，则()2,2a b x +=+， ()2,0a b x -=-，因为a b +与a b -共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ．考向二平面向量基本定理【解决法宝】平面向量的线性表示，常选择已知不共线的向量为基底，常从未知向量开始，逐步构造三角形，最终用已知向量表示出来，即直接法；也可用待定系数法，即所要表示的向量用基底表示出来，用两种不同逐步构造三角形的方法所要表示的向量表示出来，再利用平面向量基本定理即可列出关于参数的方程，解出参数，即可所要表示向量的表示形式，其中回路法是解题的常用方法，回路即向量从一点出发，通过一个的图形又回到起点的那个通路，构成一个回路.回路法的关键是利用条件，将我们关心的两个向量列成比例式，关联题设条件，最后将向量分解成共线形式，问题迎刃而解.例2 【陕西榆林市2018届一模】已知AB 与AC的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈ ，且0AM BC = ，则λμ的值为．【分析】建立直角坐标系，用坐标法及0AM BC = 列出关于μλ,的方程，解出μλ,的值，即可求出λμ的值.例3【山东省菏泽市2018届一模】已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD=3DC ，点E 为AD 的中点，，则=_________.【答分析】通过构造三角形，利用向量加法的三角形法则逐步将未知向量用已知向量表示出来. 【解析】如图：.又，所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.考向三平面向量的数量积【解决法宝】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用∙a b|a |计算. 3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 4.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.5.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a |=2211x y +来求解.例4【安徽黄山市一高2018届一模】若非零向量,a b满足223a b = ,且()()32a b a b -⊥+ ,则a 与b 的夹角为（）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【分析】利用向量垂直的充要条件，计算出a 与b 的数量积与a 、b模的关系，再利用向量夹角公式，即可求出向量a 与b的夹角.【解析】()()()()22223232=03203a b a b a b a b a b a b a b b -⊥+⇒-⋅+⇒--⋅=⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r r所以22223cos ,,.2422||||3b a b a b a b a b b π⋅<>===⇒<>=r r r r r r r r r r 选A. 考向四向量与其他知识的交汇【解题法宝】对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.例5【山东省聊城市2018届一模】在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【分析】以BC 边的中点为原点，BC 上的中线为y 轴建立坐标系，设P(x,y)，将PA PB PA PC ⋅+⋅用x,y 表示出来，再求出其范围.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．设点P 的坐标为(),x y ，则()(),2,,PA x y PO x y =--=--，故()()22222PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y⋅+⋅=⋅+=⋅=+-()222122x y ⎡⎤=+--≥-⎣⎦，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为2-．选C ．【主题集训】1.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届三模】在ABC ∆中，若4AB AC AP += ，则CP＝（）A. 3144AB AC -B. 3144AB AC -+C. 1344AB AC -D. 1344AB AC -+【答案】C【解析】由题意得4AB AC AP += =()4AB CP + ，解得CP ＝1344AB AC -，选C.2. 【河北省衡水中学2018届七调】已知向量()2,3a =， ()1,2b =- ，若ma b + 与2a b - 垂直，则实数m 的值为（）A. 65-B. 65C. 910D. 910- 【答案】B。

浙江2018年高考数学二轮专题复习第一部分专题二第三讲平面向量

1向量运算形式多样，其中利用几何意义是重要的一种形式，解题需要一定的灵活性，如果可以建立坐标系，则向量运算
问题可以转化为实数运算问题. 2向量等式两边平方也是向量运算常用的方法之一，根据向
量性质 a2＝|a|2，将向量运算问题转化为实数运算问题.
三、预测押题不能少
1．(1)已知 P 是△ABC 所在平面内一点，若―A→P ＝34―B→C －23―B→A ，
＝－3＋313λ－23＋23λ×4＝131λ－5＝－4，解得 λ＝131.
法二：以点 A 为坐标原点，―A→B 的方向为 x 轴正方向，
建立平面直角坐标系，不妨假设点 C 在第一象限，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则 A(0,0)，B(3,0)，C(1， 3)．
由―B→D ＝2―D→C ，得 D53，233，由―A→E ＝λ―A→C －―A→B ，得 E(λ－3， 3λ)，
―→ ·CA
＝|
―→ OB
―→ |·| CA
|cos∠
AOB<0，∴I1<I2，同理得，I2>I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，
∴OB<BG＝GD<OD，而OA<AF＝FC<OC，
∴|―O→A |·|―O→B |<|―O→C |·|―O→D |，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，
∴―O→A ·―O→B >―O→C ·―O→D ，即I1>I3，∴I3<I1<I2. [答案] C
二、经典例题领悟好
[例2] (1)(2017·浙江高考)如图，已知平面四
边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝
3，AC与BD交于点O.记I1＝
―→ OA

浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲

第02节平面向量基本定理及坐标表示【考纲解读】【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．对点练习：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ-＝________．【答案】32-2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a x y i j ＝＋，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)若1122()()A x y B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－． 3．平面向量的坐标运算(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，； (2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，． (3)设1122()()A x yB x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，221221|()A x x y B y ＝－(－|)对点练习：【2017湖南郴州一测】ABCD Y 中，(1,2)AB =u u u r ，(1,4)AD =-u u u r，则AC =u u u r （）A ．(3,3)-B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D【解析】试题分析：AC =u u u r (0,6)AB AD +=u u u r u u u r,故选D.3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 对点练习：【2017广西名校摸底】已知函数322+=-x y 的图象是由函数x y 2=的图象按向量a 平移而得到的，又b a ∥，则=b （）A ．)3,2(--B ．)2,3(-C ．)3,2(-D ．)2,3( 【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 平面向量基本定理及其应用【2017·杭州测试】如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【解析】∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【触类旁通】【变式一】如图，已知AP uuu r ＝43AB uuu r ，用OA uu u r ，OB uuu r 表示OP uuu r ，则OP uuu r等于( )A.13OA uu u r －43OB uuu rB.13OA uu u r ＋43OB uuu rC.－13OA uu u r ＋43OB uuu rD.－13OA uu ur －43OB uuu r 【答案】C【解析】OP uuu r ＝OA uu u r ＋AP uuu r ＝OA uu u r ＋43AB uuu r ＝OA uu u r ＋43 (OB uuu r －OA uu u r )＝－13OA uu ur ＋43OB uuu r ，选C.考点2 平面向量的坐标运算【2-1】已知向量()()()1,3,1,2,2,4AB BC AD =-=--=u u u r u u u r u u u r，则CD =u u u r （）A ．()4,1-B ．()0,9C ．()2,1-D ．()2,9 【答案】D【2-2】已知向量(,),(1,2)a x y b ==-r r ，且(1,3)a b +=r r ，则|2|a b -r r等于（）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=r r ,(1,2)b =-r ,故(2,1)a =r ,所以2(4,3)a b -=-r r,故22|2|435a b -=+=r r ,故应选D. 【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【触类旁通】【变式一】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r=()5,7，故选A.【变式二】【2017河北武邑三调】在矩形ABCD 中，()()1,3,,2AB AC k =-=-u u u r u u u r，则实数k =（）A ．5-B ．4- C. 23D ．4 【答案】D【解析】(1,1)1304CB AB AC k AB CB k k =-=--⇒•=-+=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D.考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．223-【答案】A【3-2】设向量a r =()21x ,-，b r =()14x ,+，则“3x =”是“a r //b r”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3x =时，()2,2a =r ，()4,4b =r ，此时//a b r r ；当//a b r r时，()()11248x x -+=⨯=，解得3x =±.所以“3x =”是“//a b r r”的充分而不必要条件.【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种：（1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】【变式一】已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==v v ，且//a b v v，则tan θ=（） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b v v ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（） A ．3 B ．3 C ．D ．2 【答案】C 【解析】考点4 平面向量共线的应用【4-1】设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 【解析】(1,1)AB a =-u u u r ，(,1)BC b a =--u u u r，若A 、B 、C 三点共线，//AB BC u u u r u u u r ，由向量共线定理得()()111a b a -⨯=⨯--，21a b ∴+=，故()12124244248b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭．【4-2】如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u r u u u r,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m的值为( )A ．1B ．31C ．19D ．3 【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】【变式一】设两个向量()222,cos ,,sin 2μλλθμθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭a b ，其中,,R λμθ∈．若2=a b ，则λμ的最小值为______．【答案】6- 【解析】值为值为6-.【变式二】【2017山西大学附中二模】在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+u u u v u u u v u u u v ，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．【答案】[]1,1-2sin cos 24πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦[]21,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD 的边长为1，则1E 0C 11D 01A 002（，），（，），（，），（，）．设P cos sin (1,1)AC θθ∴=u u u r （，）， .又向量,AP DE AC μλ+=由题意得 00cos 10sin 12πθθθ≤≤∴≤≤≤≤，，，∴当cos 1θ=时，同时，sin 0θ=时，λμ+取最小值为21. 温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2018届浙江省高考试题逐类透析――简单的线性规划#精选.

五、不等式（二）简单的线性规划一、高考考什么？[考试说明]3．了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题。

[知识梳理]1.步骤：（1）作出可行区域；（2）确定最优解（一般在端点）2.常见的几何意义[全面解读]线性规划问题应该抓住两个前提，一个是简单，一个是线性，因此线性规划问题注定不会很难，但线性规划问题又是高考的必考内容，掌握基本题型和一些表达式的几何意义是必须的。

[难度系数] ★★☆☆☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（5）设z x y =-,式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则z 的最小值为( ) A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3[2005年]（7）设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )[2006年]（4）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（）A ．2．4 C ．2 D ．2[2007年]（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是．[2008年]（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于___________。

[2009年]（13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪-≤+⎨⎪-≥⎩，，则，的最小值是__________.[2010年]（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2[2011年]（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（）A ．14B ．16C ．17D ．19[2013年]（13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ，由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，

2018年全国高考文科数学分类汇编----平面向量

2018年全国高考文科数学分类汇编——平面向量1.（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）AA．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．2. （天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）CA．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．3. （上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ﹣3 ．【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴； ∴a=b +2，或b=a +2；且； ∴；当a=b +2时，； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．4. （全国3卷）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．5. （全国2卷）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）B A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ． 6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（）AA ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣ =﹣×（+）=﹣，故选：A ．7.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．8. （北京）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m=﹣1．【解答】解：向量=（1，0），=（﹣1，m）．m﹣=（m+1，﹣m）．∵⊥（m﹣），∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．。

2018年高考浙江卷第9题(平面向量)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年高考浙江卷第9题(平面向量)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年高考浙江卷第9题】已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是 A ．3−1 B ．3+1C ．2D ．2−3解法一：【答案】A 【解析】∵222430,441b e b b e b e -⋅+=-⋅+=即：，2(2)1b e ∴-=，以e 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标，如图yxaO1EBABA 的最小值为31-，即的最小值为31-。

终点在以F 为圆心，F 到a 终边所在直线距离为3min3 1.a b∴-=-点评：运用向量的乘法运算，联系2(2)1b e -=的几何意义，建立坐标系，转化为点到直线的距离问题。

解法二：点评：将向量坐标化，数量化转换为方程，联系方程的几何意义，化为点到直线的距离问题。

链接【2017高考新课标2理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2- B ．32- C ．43- D ．1- 解法一：（几何法）：如图所示，2PB PC PD +=（D 为BC 中点），则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅，即求PD PA ⋅最大值，又3232PA PD AD +==⨯=，则2233224PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-．故选B ．点评：利用向量运算的几何意义，进行构图，再运用图象的几何特征和基本不等式求出最值。

解法二：（解析法）：如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()0,3A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，点评：将向量坐标化，数量化转换为代数式，再运用配方法，求出最小值。

2018年高考浙江卷数学答案解析

2018 年一般高等学校招生全国一致考试数学（浙江卷）选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知全集 U1,2,3,4,5 ， A1,3 ，则 C U A（）．A ．B ． 1,3C ． 2,4,5D ． 1,2,3,4,5【答案】： C【分析】：∵全集 U1,2,3,4,5 ， A1,3∴ A 的补集 C U A 2,4,5∴正确答案为 C22．双曲线xy 2 1 的焦点坐标是（）．3A ． ( 2,0) ， (2,0)B ． ( 2,0) ， (2,0)C ． (0,2) ， (0,2)D ． (0, 2) ， (0,2)【答案】： B【分析】：双曲线x 2 y 2 1 ，此中 a 2 3 ， b 2 13∴ c 2a 2b 23 1 4∴双曲线的焦点坐标为 ( 2,0) 和 (2,0)∴正确答案是 B3．某几何体的三视图以下图（单位： cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3 ）是（）．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】： C【分析】：由三视图可知，原图以下：V S底 h 【注意有文字】(1 2)2262∴正确答案为C4．复数2（ i为虚数单位）的共轭复数是（）．1iA．1 i B．1 i C．1 i D．1 i 【答案】： B【分析】：22(1 i )2(1i )i 1i (1i )(1 i )121i∴其共轭复数为 1i∴正确答案为 B5．函数y 2 x sin2x 的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】： D【分析】：函数 y2x sin 2x 是奇函数，其函数图象对于原点对称∴清除 A, B选项又∵当 x ( ,0) 时，函数有零点x2∴正确答案为D6．已知平面，直线m，n知足m，n，则“ m∥n”是“ m∥”的（）．A．充足不用要条件B．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件【答案】： A【分析】：∵ m， n， m ∥n 能够推出 m ∥∴“ m ∥n ”是“ m ∥ ”的充足条件又∵ m， n ， m ∥ 不可以推出 m ∥n∴“ m ∥n ”不是“ m ∥ ”的必需条件综上“ m ∥n ”是“ m ∥”的充足不用要条件∴正确答案是 A7．设 0p 1 ，随机变量的散布列1P1 p122则当 p 在 (0,1) 内增大时，（）．A ．D( )减小B ．D( )增大C ． D( ) 先减小后增大D ． D ( ) 先增大后减小【答案】： D【分析】： E( ) 1 p11 2p 1 p2 22212p1 21 2D ( )p11p221p2p22222p1p41 21p22∴ p 在 (0,1) 上增大时， D ( ) 先增大后减小∴正确答案为 D2p28．已知四棱锥S ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE与 BC 所成的角为1 ，SE与平面ABCD所成的角为 2 ，二面角S AB C 的平面角为 3 ，则（）．A．1≤2≤3B．3≤2≤1C．1≤3≤2D．2≤3≤1【答案】： D【分析】：∵线线角大于或等于线面角，二面角大于或等于线面角∴1≥2，3≥2∴正确答案是D9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角为π，向量b知足3b24e b30 ，则 a b 的最小值是（）．A．31B．31C．2D．2 3【答案】： Ar r r3r r r r【分析】： b 4e b( b e)(b3e)r r( x, y)设 e (1,0)， b∴ ( x1)(x3)y20∴ ( x2)2y21r r uuur uuurOA 时最短，如图 a b BA而BA在OAr r uuur uuur uuur31此时 a b BA OA OB∴正确答案是 A10．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1a2 a3 a4ln( a1a2 a3 ) ，若 a11 ，则（）．A．a1a3， a2a4B．a1a3， a2a4C．a1a3， a2a4D．a1a3， a2a4【答案】： B【分析】：若 q0 ，则 a1a2a3a4a1 a2a31∴ a1a2a3a4ln( a1a2a3a4 )ln(a1a2a3 )∴ ln( a1a2a3 )0∴ a1a2a3a4a1 (1 q q2q3 ) 0∴ q410q 1∴a2 0∴ a1a1q2a3， a2a2q 2a4∴正确答案是B非选择题部分二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．11．我国古代数学著作《张丘建算经》中记录百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五．鸡母一，值钱三．鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁．母．雏各几何”设鸡翁，鸡母，鸡x y z100，当 z81时，x雏个数分别为x ，，z，则1__________ ， __________ ．y 3 y y5x z 1003【答案】： x 8， y 11【分析】：将 zx y19 81 代入，得3 y735xx8∴11yx y≥012．若x，y知足拘束条件 2 x y≤6 ，则 z x 3 y 的最小值是__________ ，最大值是x y≥2__________．【答案】： 2 ； 8【分析】：经过不等式组，画出可行域，如图：∴A(2,2) , B(4, 2)∴ z x 3 y 的最小值是 2 ，最大值是 813．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a7 ， b 2 ， A60 ，则 sinB __________，c__________．【答案】：21；37【分析】：∵ a7 ， b 2 ， A60，∴sin A 3 2∵a bsin A sin B∴ sin B 21 7∴ sin C sin( A B)32717321 272714∴c a221sin C sin A3∴ c 31814．二项式3x的睁开式的常数项是__________ ．2 x【答案】： 71r【分析】：由通项公式 T r 1C8r(3 x )8r，2x∴求常数项可得：8 r， 3( r ) 0∴ r 2∴常数项是 C 82174x 4≥15．已知R ，函数2 时，不等式 f ( x)0 的解集是f ( x)2，当x 4 x 3 x__________．若函数 f (x) 恰有 2个零点，则的取值范围是 __________ ．【答案】： 1 x 4 ； 1 ≤3 或4【分析】当x 4x22 时， f ( x)24x 3 x，图象以下：x 2则 f ( x) 0 的解集为 1x 4若函数 f (x) 恰有 2 个零点：① 二次函数有两个零点，一次函数没有零点，则 4 ； ②二次函数有一个零点，一次函数有一个零点，则1 ≤3；综上可得 1≤3或416．从，3， 5，7，9中任取 2个数字，一共能够构成 __________ 个没有重复数字的四位1数．（用数字作答）【答案】： 1260【分析】：分两种状况：① 包括 0 的四位数： C 52 C 31 ( A 44 A 33 ) 540 ; ②不包括 0 的四位数： C 52 C 32 A 44720∴一共有 1260 种．17．已知点 P (0,1) ，椭圆x2y2uuur uuurm(m 1) 上两点 A ，B 知足 AP 2 PB 则当 m __________4时，点 B 横坐标的绝对值最大．【答案】： 5【分析】：设直线 AB : y kx 12xy 2 my kx 1∴ x 2k 2 x 2 2kx1 m 04∴x 1x 28k 4 4m4k 2，x 1x 24k 21 1uuur uuur ∵ AP 2PB∴ x 12x 2∴ x 116k 2 ，x 28k 2 1 4k1 4 k∴ 32k 2(1 m)(1 4k 2 )若 B 的横坐标的绝对值最大，则x 28 8 ≥2 ，1 4k 214 kk当且仅当 k1时， m5 ．2三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．18．（此题满分 14 分）已知角的极点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P3, 4．55（Ⅰ）求 sin(π) 的值．（Ⅱ）若角知足sin()5，求 cos 的值．134 4【分析】： (1) sin52523455cos35sin()4sin5 (2) ∵ sin(5)13∴ cos()12 13①当 cos()12 时，13cos cos()cos()cos sin() sin123541351355665②当 cos()12 时，13cos12354 135135 1665综上： cos56或16．656519． ( 此题满分15 分 ) 如图，已知多面体ABCAB C ，A1A，B B，CC均垂直于平面ABC ，1 1111∠ABC=120 ， A1A=4， C1C 1 ， AB BC B1B2 ．（Ⅰ）证明：AB1平面 A1 B1C1．（Ⅱ）求直线AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．【分析】： (1) 过B1作B1E AA1于点E过 C1作 C1F BB1于点FB1E AB 2AE BB1 2AE21∴A1B1A1 E2B1E 2 2 2AB1BB12AB222AA14∴A1B12 AB12 AA12∴AB1 A1 B1又 C1F BC 2, B1F 1∴ B1C1C1F 2B1F 25AC 23∴ AC1AC 2CC1213222∴ A1B1B1C1AC1∴AB1 B1C1∵B1C1平面 A2 B1C1A1B1平面A1B1C1∴AB1平面 A1 B1C1(2)以 A为原点，AC为 y 轴，AA1为z轴成立空间直角坐标系则： A(0,0,0)A1 (0,0,4)B(1, 3,0)B1 (1, 3,2)C1 (0,2 3,1)uuuur∴AC1 (0,2 3,1)uuuurAB1(1, 3,2)uuurAA1(0,0,4)r设 n ( x, y,z) 的法向量x3y2z0r4z0(3,1,0)∴ nuuur r uuur r AC nsin AC n uuur rAC n2 32 133913∴正弦值是39 ．1320． ( 此题满分15 分 ) 已知等比数列 a n的公比 q 1，且a3a4a528， a4 2 是 a3， a5的等差中项，数列b n知足b11，数列(b n 1 b n ) a n的前n项和为2n ．2n（Ⅰ）求 q 的值．（Ⅱ）求数列 b n的通项公式．【分析】：(1)∵ a3 a4 a5 28 ，2(a42)a3a5∴ a3a3 q a3 q2282a3q4a3a3q 2∴ a3 4 ，q2n 1∴a n 2 ， q 2(2) 设S n为 (b n 1 b n )a n的前n项和即 S n 2n2n(b n 1 b n ) a n S n S n 1 (n 2) ∴(b 2 b 1 ) a 1 S 1 3(n 1)∴ (b n 1 b n ) a n 4n 1∴ b1b4n 1n n2n 1b n b n 14n 52 n 2Mb 2 b 1320累加得： bb37 L4 n 1n 1120 21 2n 1令 T n 3 74n120 21 L2n 113 7L4n 54n1T n2122 2n 12 n2∴ T n144n 72n1∴ b4n71 15n2n 1∴ b 154n 3n2n221． ( 此题满分 15 分 ) 如图，已知点 P 是 y 轴左边（不含 y 轴）一点，抛物线 C : y 2 4 x 上存在不一样的两点A ，B 知足 PA ， PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴．（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x 2y 21(x 0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．4【分析】：（Ⅰ）设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 )M ( x m , y m ) ， P(x p , y p )y2 4 x(1)∴11y2 4 x(2)22(1)(2) 得：( y1y2 )( y1y2 ) 4( x1 x2 )∴y1y24y242 x1x2y1 2 y m y m又∵ E(x1x p y1y p) 2,2x2x p y2y pF (2,2)E ,F 在抛物线上( y1y p ) 24( x1x p )∴4222 y1 y p y p 28( x1x p )y1∵ y124x1∴ 2 y2 y p y p2 4 x18x p(3)同理2y2 y p y p2 4 x28x p(4) (3)(4)2y p (y1y2 )4( x1x2 )∴y1y22 x1x2y p∴22y m y p∴y m y p∴ PM y 轴（Ⅱ）S VPAB 1x p y1 y2 x m21y 2y212x p y1y2281( y1y2 )2 - 2 y1 y2 - 8 x p( y y)2- 4 y y 281212y12 2 y1 y p y p2y 2y22 2 y2 y p y p2y2由第（Ⅰ）问可知1 2 x p，22x p4242可知 y1y2 2 y p，y1y28 x0y023 2( y p23∴ S4x p ) 224又∵ x p y p2 1 ，x p1,0 4∴ S6 2 x p2x p 1∴△PAB 面积的取值范围是61510 2,422．（此题满分15 分）已知函数 f ( x)x ln x ．（Ⅰ）若 f ( x) 在x x1， x2 ( x1x2 ) 处倒数相等，证明： f (x1 ) f ( x2 ) 8 8ln 2．（Ⅱ）若 a≤3 4ln2 ，证明：对于随意 k 0 ，直线y kx a 与曲线 y f (x) 有独一公共点．【分析】：（Ⅰ） f (x)x ln x111x 2f ( x)x x 2 x2当 x≥4 时， f ( x)单一递加0 x 4 时， f (x) 单一递减∵ f (x1 )f(x2 )∴x12x222x1 2 x2∴ x1 x22( x1x2 )∴ x1 x24( x1x2 2 x1x2 )x1x2 8x1 x24(x1 x2 ) 8 x1x2 ( x1 x2 )∴x1 x2 16 x1 x2∴x1 x2 16∵ f (x1 ) f (x 2 )x1x2ln x1ln x21 x 1 x 2ln( x 1 x 2 )2令 x 1 x 2t 16 f ( x 1 ) f ( x 2 ) g (t )g(t) 1 t ln t 22t 4 g (t)2t当 t 4 时， g (t) 单一递加 ∴ g(t) g (16) 8 8ln 2∴ f ( x 1 ) f ( x 2 ) 8 8ln 2（Ⅱ）设函数 g( x)x1 1 2kxx 2ln x kx ，则 g ( x)xk2 x2 x①当1 16k ≤0 时，即 k ≥116此时 g ( x)0 恒成立则 g( x) 在, 单一递减∴ x ln x kx a 只有一个实数根②当 1 16k0时，即 01k16设 x 1 ， x 2 为 g (x) 0 的两个根∴ g( x) 在 (0, x 1 ) 单一递减，在 ( x 1 , x 2 ) 单一递加，在 (x 2 , ) 单一递减∵ g( x 1 )x 1 ln x 1 kx 12kx 1x 1 2 0 ∴ g( x 1 )x 1 ln x 1 1 ， a ≤3 4ln22∴x 111 16k14k, k 0,16∴x 12,4令 x 1 t则 g(t)t ln t 212t4g (t)2t∴g(t ) 在 2,4 上单一递减∴ g(t ) g 4 3 2ln 2∴ a≤3 4ln2 时，x ln x kx a 只有一个实数根综合得证。

专题05 平面向量-2018届浙江省高三数学优质金卷考卷分项(解析版)

第五章平面向量
一．基础题组
1.【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在四边形中，点分别是边的中点，设， .若，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
点睛：本题是道向量综合题目，难度较大，主要在向量之间的转化上较为复杂，从一个结果出发，不断进行向量间的转化得到结果，注意当遇到题目中“点分别是边的中点”需要计算出，这样方便继续计算.
15.【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】已知在中, , , ，且是的外心，则 ___， _____________
9.【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知三角形，，，，点为三角形的内心，记，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
，即
，即
∴
点睛：平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势；点是平面上任意一点，点是内心的充要条件是： .
【解析】以为原点，以所在直线轴建立坐标系，设，则有，，得，又点在内，满足的关系式为，取不满足，，排除选项，取，不满足，排除选项，又，正确，故选B.
【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）A1 BC ．2D ．21.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a bCD -=-=.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）(A) 2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得333,2E λλ⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且3331,22AE λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，333,2BE λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=+⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC+ D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （）A ．4B ．3C ．2D ．0 5．【答案】B 【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，所以选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ，由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭，易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，所以()1,2D ．所以()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。

2018年高考数学真题试卷(浙江卷)含逐题详解

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试卷卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前,请务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试卷卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试卷卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则若事件A ,B 相互独立,则若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上,下底面积,表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一,选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则A ．B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．双曲线的焦点坐标是A ．,0)B ．(−2,0),(2,0)C ．)D ．(0,−2),(0,2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积（单位：cm 3）是()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=121()3V S S h =12,S S h V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R =π343V R =πR =UA ∅221 3=x y -A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α,直线m ,n 满足m α,n α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1,随机变量ξ的分布列是则当p 在（0,1）内增大时. A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点（不含端点）,设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S −AB −C 的平面角为θ3,则俯视图正视图21i-||2x ⊄⊂A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知a,b,e是平面向量,e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是A1B+1 C．2 D．210．已知成等比数列,且．若,则A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二,填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

从浙江省高考数学一道向量选择题说起高考数学从向量说题共张

A. 3 ? 1
B. 3 ? 1
C.2 D.2 ? 3
本题表述简洁，选项对称优美，符合浙江卷特色。此题的难点
和切入点就是如何对已知条件
2
b ? 4e ?b ? 3 ? 0
进行转化与表征。
3
命题立意：
1、本题以平面向量在圆中的应用为载体，考查向量的模的最值问题;
2、考查了学生向量三角形法则，坐标运算，数量积等基本知识的综合运用;
3、体现了代数问题几何化，数形结合，函数与方程等数学思想.
4
学生的解题障碍分析：
2
b ? 4e ?b ? 3 ? 0
1、若选用坐标法，字母多、计算繁琐； 2、无法抓住式子的特征，进行整理变形 .
5
二、解法分析，碰撞火花
解法1：利用几何意义
(b ? e) ?(b ? 3e) ? 0
点 B在以点 E 为圆心，1为半径的
-
y]2
?
3
y2
24
当(1?
x)
|
? a
|?
y 2
时，则|
? a
?
? b
|min
?
3 y2 4
14
解法8：基底法
? b2
?
? 4e
? ?b
?
3
?
0
? (xa
?
? ye)
2
?
? 4e
?(
? xa
?Leabharlann ? ye)?3
?
0
x2
|
? a
|2
?(y?
2)2
?
x(y ?
2)
|
? a
|?
1
x

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义：第五

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝( ) A.(－1，－12) B.(－1，12) C.(1，－12)D.(1，12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12)，故选B. 答案 B3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A. 答案 A4.如右图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( ) A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)，＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B5.已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A.－23B.43C.12D.13解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.答案 A6.(2017·诸暨市调研)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23B.43C.－3D.0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 答案 D7.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( ) A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－PA →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2，7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21). 答案 B8.(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C二、填空题9.已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 解析因为(x ，1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3. 答案－310.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________.解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 1211.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________. 解析因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案 1212.在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示.解析如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案－23e 1＋512e 213.(2017·丽水月考)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 分别为________； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，则实数k ＝________；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，则d 的坐标为________.解析 (1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3).答案 (1)59，89 (2)－1613(3)(3，－1)或(5，3)能力提升题组(建议用时：15分钟)14.(2017·长沙调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则( ) A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A15.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A.2B.52C.3D.4解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即m n＝3，故选C. 答案 C16.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________.解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4). 答案 (－2，－4)17.(2017·金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动.若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________；最小值为________.解析以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2；当α＝0或2π3时，x ＋y 取得最小值1. 答案 2 118.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________. 解析建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.答案 494。

2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件：第五

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( ) )
(3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示 x1 y1 成x ＝y .( 2 2 )
解析 (1)如图所示， → → → → → → EB＋FC＝(EC－BC)＋(FB＋BC) → → 1 → 1→ 1 → → → ＝EC＋FB＝ AC＋ AB＝ (AC＋AB)＝AD. 2 2 2 → → (2)设BP＝kBN，k∈R. → → → → → → → → 因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB) 1 → → → → k→ ＝AB＋k 4AC－AB ＝(1－k)AB＋ AC， 4 k 2 → → 2→ 且AP＝mAB＋ AC，所以 1－k＝m，＝， 11 4 11 8 3 解得 k＝11，m＝11. 3 答案 (1)A (2)11
→ → → → 解析根据题意得AB＝(3，1)，∴BC＝AC－AB＝ (－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选 A.
答案 A
4.(2016· 全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，
则m＝________.
解析因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
λ1e1＋λ2e2 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________. 内的任意向量a，________ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底. 2.平面向量的正交分解互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 把一个向量分解为两个________