点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点

),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN =⋅.

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,122

222222

1221 b y a x b

y a x )2()1(-，得.022

22

122

22

1=---b

y

y a x x

.22

12121212a

b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,0

0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

.2200a

b x y k MN

=⋅∴ 同理可证，在双曲线122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，

点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00b

a x y k MN =⋅.

典题妙解

例1 已知双曲线13

:2

2

=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；

（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,12

2

==b a 焦点在y 轴上.

设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3

121=⋅--x y x y ，

整理得：.03232

2

=+--y x y x

∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x

（2） P 恰为弦AB 的中点，

∴由2200b

a x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32

=AB k

∴直线l 的方程为)2(3

2

1-=

-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:2

2

=-y x C 与点).2,1(P

（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.

解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=

由⎩⎨

⎧=--+=.

22,

22

2y x k kx y 得.064)2(2)2(2

222=+-+---k k x k k x k

直线l 与C 有两个公共点，

∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.

0)64)(2(4)2(4,022

2222 k k k k k k

解之得：k ＜

2

3

且.2±≠k ∴k 的取值范围是).2

3

,2()2,2()2,( ---∞

（2）双曲线的标准方程为.2,1,12

222

2

==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由22

00a

b x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k

由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，

∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y

（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由22

00a

b x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k

由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，

∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.

例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:2

2=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O

为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：在双曲线1:2

2

=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .

,OB OA OP +=

由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛2,2y x . 由222

2a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y

x y x y x y

，

整理得：.042

2

=+-x y x

配方得：

14

4)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是

14

4)2(2

2=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.

例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322

-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准

线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；

（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直

线4:'

+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）由2

4y =-得)3

2(322-

=x y ，