费马点及其证明.
初中费马点定理证明过程
初中费马点定理证明过程！马尔可夫费马点定理是一个古老而有趣的定理，它说：“在正n边形中，定点A1到A2，A2到A3......An-1到An，An到A1摆放n个数字1，2....n。
如果不论如何把这些数字摆放，这任何每个外角的数之和都与所有n个数的乘积相等。
它是德国数学家费马发现的一种几何现象，他的名字就是维护这个定理的。
证明费马点定理，可以从简单的形式出发，如n=3,假设有ABC三个定点，在每个顶点上摆放1，2，3这三个数字，那么外角的数相加的和是6，而这三个顶点所摆放的数字的乘积是6，证明定理成立。
接下来我们要证明，在多边形，如正六边形中，定点A1到A2，A2到A3......An-1到An，An到A1摆放n个数字1，2....n，不论如何把这些数字摆放，每个外角的数之和都与所有n个数的乘积相等。
首先，我们将每个顶点上的数字记为x1，x2，x3......xn，那么外角的算术和S1=x1+x2+...+xn，而数字的乘积P1=x1*x2*....*xn；另外，我们分别讨论以A1，A2……An为顶点分别作外角的情形，以A1为标准，角x1作外角，S1-x1=x2+x3+..+xn(1)，P1/x1=x2*x3*...*xn(2)，由于(1)=(2)，则外角A1的数字和等于该点摆放的数字的乘积。
接着以A2为标准，角x2作外角，S1-x2=x1+x3+x4+....+xn(3)，P1/x2=x1*x3*..*xn(4)，由于(3)=(4)，则外角A2的数字和等于该点摆放的数字的乘积。
以此类推，可以发现，当以任一顶点为标准，外角的数字和等于其他数字的乘积，因此，在任意n多边形中，任意定点摆放n个数字，每个外角的数字和等于所有数字的乘积，即为费马点定理。
以上便是费马点定理的证明过程。
费马点定理虽然简单，但却深刻地解释了多边形的特殊结构。
它的发现使数学又发展了一步，也深深启发了后世的数学家们。
费马点问题
费马点问题若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”。
三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于120°，则费马点与各定点连线夹角均为120°；2、三角形有一角大于或等于120°，则费马点为这个角顶点。
一般情况下中学研究费马点情况属于第一种，证明方式如下：例：如图，△ABC中，∠BAC=30°，AB=3，AC=4，P为三角形内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
证明方式如下：如图，将△APB绕A逆时针转60°至△AP’B’，则PB=P’B’，△APP’为等边三角形，AP=PP’，即AP+BP+CP=CP+PP’+P’B’，其中C和B’为定点，通过化折为直，最小值为线段CB’的长。
当取最小值时，∠APC=∠AP’B’=120°，可反推得∠APB=∠BPC=∠APC=120°。
最后∠CAB’=90°，利用勾股定理可解得CB’=5这就是费马点问题的一般解法，利用构造旋转全等将线段转移，且旋转角度一定是60°。
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P为△ABC内部一点，P A+PB+PC 最小值为24，求2BC。
例2.如图，△ABC中，AB=5，AC=3，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
在上述问题中，P 与各点连线系数均为1，那如果系数不为1时，是否还能用同样方式求解呢。
如图，△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =30°，P 为平面内一点，求CP AP BP 23++最小值对于这题，一般解题思路可以为结合常见费马点解题方法，同时构造出AP 3和2CP ，由此可以考虑到结合含30°角直角三角形，因此有了如下辅助线构造：将△APC 绕A 逆时针旋转60°然后放大2倍，则可构造出2CP ，同时△APP ’为30°角直角三角形，有PP ’=AP 3，则CP AP BP 23++=BP +PP ’+P ’C ’，其中B 和C ’为定点，则四点共线时最短，接下来就是勾股运算了。
三角形费马点的证明
三角形费马点的证明费马点是指在一个三角形中，使得从该点到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
现在我们来证明费马点的存在性和唯一性。
我们先来看费马点的存在性。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，我们要证明存在一个点P，使得PA + PB + PC的和最小。
假设P点不在三角形内，而在三角形的外部某个位置。
我们可以通过以下步骤来构造一个在三角形内的点P'，使得P'A + P'B + P'C 的和小于PA + PB + PC的和。
我们将三角形ABC的边AB和边AC的中垂线分别延长至点D和E。
然后，我们以D为圆心，AB的长度为半径作一个圆，以E为圆心，AC的长度为半径作一个圆。
这两个圆将会在点F相交。
现在，我们来比较两个三角形PAB和P'AF。
根据三角形的性质，我们知道P'AF的边长之和小于PAB的边长之和，即P'A + AF < PA + AB。
同理，我们可以比较三角形PAC和P'AE，以及三角形PBC和P'BF。
根据上述比较过程，我们可以得出以下结论：P'A + AF < PA + ABP'B + BF < PB + BCP'C + CE < PC + CA现在，我们将点F作为新的点P'，根据上述不等式可以得出以下结论：P'A + P'B + P'C = P'A + AF + P'B + BF + P'C + CE < PA + AB + PB + BC + PC + CA = PA + PB + PC因此，P'点满足P'A + P'B + P'C的和小于PA + PB + PC的和，这与假设矛盾。
所以，我们可以得出结论：费马点一定存在于三角形的内部。
接下来，我们来证明费马点的唯一性。
假设存在两个费马点P和Q，我们要证明P和Q重合。
费马点结论及其详细证明过程
费马点结论及其详细证明过程
费马点定理（Fermat's Point Theorem）是指，当一个三角形的边都是整数时，它的内切圆必然有一个圆心位于三角形的三个顶点上。
证明过程：
假设ABC是一个边长都为整数的三角形，O是内切圆的圆心，令AB=a, AC=b, BC=c，
（1）由三角形外接圆的性质可知，三条边的中点到圆心的距离之和等于三条边的长度的一半，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=R$$
（2）根据勾股定理，三条边的中点到圆心的距离之和也等于圆心到三个顶点的距离之和，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=OA+OB+OC$ $
将（1）、（2）式代入得：
$$R=OA+OB+OC$$
又有 $OA^2+OB^2=a^2$ 、$OB^2+OC^2=b^2$ 、
$OC^2+OA^2=c^2$
将此三式相加得：
$$OA^2+OB^2+OC^2=a^2+b^2+c^2$$
将此式与（3）式相减得：
$$OA+OB+OC=\sqrt{a^2+b^2+c^2-
2(a^2+b^2+c^2)}=0$$
可知OA=OB=OC=0，即圆心O位于三角形ABC的三个顶点上。
证毕。
费马点定理最短距离证明过程
费马点定理最短距离证明过程
费马点定理是一个基本几何定理，它指出如果有一个点，该点到平面上三角形的三个顶点的距离之和最短，那么这个点就是三角形的
费马点。
证明过程如下：
假设我们有一个平面上的三角形ABC。
要找到费马点F，我们可
以从点F开始，画三个线段FA，FB，FC，它们分别连接F和三角形的三个顶点A、B、C。
我们要证明的是，如果F是最短路径的起点，那么F就是费马点。
观察三角形中的两个角：∠AFB和∠BFC。
这两个角加起来等于
∠ABC。
因为我们假设F是最短路径的起点，所以AF + FB小于或等于AC + CB，FB + FC小于或等于AB + AC。
我们可以把AF和CB相加，FB和AC相加，FC和AB相加，得到：AF + FB + CB ≤ AC + CB + AB + AC - AF
FB + FC + AC ≤ AB + AC + AB + CB - FC
FC + AF + AB ≤ CB + AB + CB + AC - AF
如果我们将这三个式子相加，可以得到：
2(AF + FB + FC) ≤ 2(AB + AC + CB)
也就是说：
AF + F B + FC ≤ AB + AC + CB
这表明，如果F是最短路径的起点，则AF + FB + FC等于三角
形三个顶点之间的距离和。
当且仅当∠AFB、∠BFC和∠CFA的内角为120度时，这个不等式是恒成立的。
这种情况下，点F就是费马点。
所以，只要确保三角形内所有角的度数小于或等于120度，F就是费马点。
费马点证明
费马点定义在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC 有最小值,则E为费马点。
费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC 以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1 <A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
费马点性质：(1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
费马点
费马点一.费马点的发现者费马(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。
”二.费马点的定义在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
三.费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
四.费马点的证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC 以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC＝P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE____________．PEDCBA ABCPABCPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABC内一点，则P A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝P是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则PA＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB＝，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋(＋2x)2＝)2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′EF P′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA【答案】1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABC内一点，则P A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC缩小到原来的，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12(A ＋2PB＋PC )，将△APC扩大到原来的C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
费马点公式
费马点公式
费马点公式是一个重要的数学定理，它指出，任何一个多项式方程都有至少一个实数根。
它是由著名的德国数学家费马在1799年提出的，他是第一个证明这个定理的人。
费马点公式的公式如下：
若P(x)是一个n次多项式，则P(x)有至少一个实数根，且满足：
x1+x2+x3+...+xn=-b/a
其中，a和b分别是P(x)的系数。
费马点公式的证明是由反证法完成的，即假设P(x)没有实数根，则P(x)的系数a和b必须满足：
a*(x1+x2+x3+...+xn)+b=0
但是，由于P(x)没有实数根，所以x1+x2+x3+...+xn不可能等于0，因此，
a*(x1+x2+x3+...+xn)+b不可能等于0，这与假设矛盾，因此，P(x)必须有至少一个实数根。
费马点公式的应用非常广泛，它可以用来解决多项式方程，也可以用来解决一些复杂的数学问题。
它的发现也为数学发展做出了重要贡献，使得数学变得更加完善。
费马点
在一个三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。
即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”。
目录1简介2费马点定义3费马点的判定4证明5费马点作法1简介皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。
费马点之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。
他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。
费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。
贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。
托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。
2费马点定义(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
3费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。
费马点-的两证明方法
费马点的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个角的顶点；如果三个角都在120度以，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。
但为了严谨，还是说一下2、当有一个角大于等于120度时候对三角形任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点3、当所有角都小于120°时做出△ABC一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A*d同理有2S△DP'F≤P'B*d2S△EP'D≤P'C*d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+P C≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所以P是费马点虽然不知道费马点在那里，我们先假设他在某个位置，做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个角都小于120度的时候。
费马点的两证明方法
费马点的两证明方法费马点是指一个三角形内的一点，满足从该点出发，到三角形的三个顶点的线段之和最小。
费马点也可以称为斯托纳点或费马点。
下面将介绍两种费马点的证明方法。
方法一：使用垂线定理来证明费马点证明费马点的方法之一是使用垂线定理。
垂线定理指出，从一个点到与一条直线垂直的两点的距离之和最小。
因此，通过构造以费马点为顶点的两条垂线，可以证明费马点的存在性。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
首先，将边AB、BC和CA的中垂线分别延长，分别延长到点D、E和F上。
根据垂线定理，可以知道P到BC的中垂线所在直线的距离最小，因此P和D应当重合。
同样地，P也应当重合于E和F。
这样，可以得到三条线段PD、PE和PF的和是最小的。
接下来，我们需要证明PD、PE和PF相交于一个点。
如果三条线段的和最小，那么它们应当相交在一个点上。
假设线段PD和PE相交于点G，线段PD和PF相交于点H。
那么，根据三角形的性质，可以知道三角形PGC是等边三角形，三角形PHB也是等边三角形。
因此，G和H应当重合于转角C和B，即点G、H、B、C是共线的。
同样地，可以得到点G、H、C、A也是共线的。
因此，可以得知P应当在直线AC和BC所在的延长线上。
综上所述，我们证明了费马点存在于直线AC和BC所在的延长线的交点上。
方法二：使用无理数几何证明费马点证明费马点的第二种方法是使用无理数几何。
无理数几何是一种集合代数学的分支，它研究的是实数域上的代数无理数几何结构。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
为了证明费马点的存在性，我们首先需要构造一个与费马点相对的点Q。
点Q应当满足条件：∠AQB=∠CQB=120°，即角AQB和角CQB都应当等于120°。
接下来，我们需要证明三角形AQB是等边三角形。
为了证明这一点，我们可以使用割线定理。
割线定理指出，如果一个凸多边形的每两个相邻顶点之间的距离形成一个无理数序列，那么该多边形就是等边多边形。
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2。
如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3。
费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理.性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°,所以费马点是三力平衡的点.例1：已知:△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明:∵△ABH是等边三角形。
G是其重心.∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH。
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP。
∵AH=BH=AB=12。
∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°。
∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形，∠GHB=30°.∴∠PHD=30°，.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；(SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD，且同在一条直线上.∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD。
∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点.也就是重心。
例2：已知:△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC最小证明:将△BGC逆时针旋转60°，连GP，DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD，BC=DC，∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°，∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形.∵∠AGC=120°，∠CGP=60°。
费马点及其证明.
费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合证明(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
浅谈三角形的费马点法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．1．三角形的费马点费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国数学家、物理学家。
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费马点定义
在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国数学家、物理学家。
生于博蒙德罗曼。
其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。
本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。
他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。
他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。
他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。
费马还研究了对方程ax2+1=Y2整数解的问题。
得出了求导数所有约数的系统方法。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。
1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。
”1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。
这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
几何光学已有悠久的发展历史。
公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。
公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。
托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。
公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。
最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。
费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。
费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。
可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。
费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。
由于费马原理的确立，几何光学发展到了费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。
费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.
引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点即为所求P 点。
证明：如下图所示。
连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60°∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。
∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或在线段DG上或在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。
较为完善的程度。