辅助角公式的解说

辅助角公式的解说-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

高中数学疑难分析解说：

关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。公式如下：)sin(cos sin 2

2ϕααα++=

+b a b a 其中：a b =ϕtan 。 但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角ϕ的大小确定。下面就此公式的实际运用作如下解说。

一、 辅助角使用的准备

（1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后；

（2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。

二、 象限的确定

（1） 当a 、b 都是正数时，ϕ在第一象限！

（2） 当a 、b 都是负数时，ϕ在第三象限！

（3） 当a 是正数，b 是负数时，ϕ在第四象限！

（4） 当a 是负数，b 是正数时，ϕ在第二象限！

（5） 规律：x y a b ==

ϕtan ，利用x 、y 的正负确定象限。 三、

b a 22+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1）

b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。 （2） b a 22

+的大小与a 、b 顺序无关。 （3） 1||||==b a 时，

222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222

=+b a （5） 2||1||==b a ，时，52

2=+b a （6） 23||21||==b a ，时，122=+b a

（7） 36||33||==b a ，时，122=+b a

（8） 3||1||==b a ，时，222=+b a

三、ϕ角的大小确定

（1）

1=a b ，4πϕ=或45πϕ=（4

ππ+k ） （2）1-=a b ，43πϕ=或4πϕ-=（4ππ-k ） （3）33=a b ，6πϕ=或67πϕ=（6

ππ+k ） （4）

33-=a b ，65πϕ=或6πϕ-=（6ππ-k ） （5）3=a b ，3πϕ=或34πϕ=（3

ππ+k ） （6）3-=a b ，32πϕ=或3πϕ-=（3

ππ-k ） 四、例说辅助角的运用

（一）︒+︒75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析：

分析：先由诱导公式化为：︒+︒=︒+︒cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得：

2

6232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =⋅=︒⋅=︒+︒=︒+︒=︒+︒ （二）公式的灵活运用

（1）直接运用辅助角公式

︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(52cos5sin5

（2）化系数，利用两角和的三角函数变换

︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos52

2sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换

︒=︒-︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin52

2cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析

︒-︒5sin cos5的思考：

（1）利用辅助角公式

︒=︒--=︒-︒-=︒-︒-=︒-︒sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5）

（2）利用辅助角公式

︒=︒=︒+︒=︒+︒-=︒-︒sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5）

（3）利用两角和计算

︒=︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 2

25cos 22(25sin cos5（4）利用两角和计算

︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒40sin 2)5sin 45cos 5cos sin452)5sin 2

25cos 22(25sin cos5（