膨胀波与激波

激波角β ：斜激波波面与波前来流方向的夹角
arcsin 1
M
2
斜激波中气体参数的 基本关系式
基本方程式
连续方程：1V1n 2V2n
动量方程：
(1 V 1n)V 1t (2 V 2n)V 2t
p1p22V 22 n1V 12 n
能量方程：
cpT1V212n
cpT2
V22n 2
经过斜激波，气流平行于波面
膨胀波 与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
普朗特—迈耶流动
膨胀波的形成及其特点
AODsin A d A OsD in d ()
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
５、马赫线：直线，气流参数相 同
６、膨胀波束中的任一点速度： 气流方向
平面超声速喷管喷出流动
膨胀波的计算
超声速气流流过外凸壁
'Vn'Vt' VnVt 0
Vt Vt' V t V co (V s d)c V o d s)(
dV d 基本微分方程
V
M2 1
dV tgd
V
a02 a2
T0 T
压缩波在固壁上反射为压缩 波；
膨胀波的消失 应用
在超声速风洞的喷管设计中，在接近喷 管出口处，特别需要壁面投射到壁面上 的波的反射
例4-7 如图所示，设空气流的 1 1 .2 ,1 0 , 1
求 2 及 3 。
膨胀波的相交
膨胀波相交仍为膨胀 波；
两压缩波相交仍为压 缩波。
把超声速气流经过膨胀波系时连续的无数的无限微弱膨 胀，用若干有限数目但仍是很微弱的膨胀步骤来代替。
超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化。
把原来的连续膨胀分得愈细．数目愈多，计算出来的结 果就愈准确。
压缩波
膨胀波在直固壁上的反射
膨胀波在固壁上反射为膨胀 波，一般反射角r并不等于入 射角i；
1k1M2 2
VMa
da
k 1 MdM 2
a 1 k 1M 2
2
dV dMda V Ma
d M2 1dM
M(1 k 1M2) 2
dV
dM2
V 2M2(1k1M2)
2
dV d
V
M2 1
k k 1 1 t g 1 k k 1 1 (M 2 1 ) t g 1 M 2 1 C 1
(M)C1
普朗特-迈耶函数
可用反证法进行讨论（比如是否出现楔形真空区 等）
分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第三道波的性质
激波的形成及传播速度
基本概念
激波：气体受到强烈压缩后产生的强压缩波，也叫强间断 面（即两侧气体参数发生间断的面）。
参数变化：气流经过激波后，流速减小，相应的压强、温 度和密度均升高。
T2 p1
k 1 p1
T1
p2 k 1
p1 k 1
等熵关系和朗金－雨 贡纽关系
普朗特关系式
1V1n 2V2n
p1p22V 22 n1V 12 n
V1nV2n
p2
2V2n
p1
1V1n
k k 1 p 1 1 V 2 1 2 k k 1 p 2 2 V 2 2 2 k k 1 R 0 T 2 ( k k 1 1 )a * 2
1. 逆时针偏转，右伸膨胀波系 2. 套公式
21(M 2)(M 1)
3. 查表
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压 强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经 膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
p2 , 2 k1
p1
1 k1
VS
dp
VS
d
S
a
物体在大气运动的情形：激波减弱
当活塞运动速度＜Ｖs：激波减弱
活塞的运动速度与激波传播速度相同：稳定激波
弓形波
激波角
激波：强压缩波
斜激波的形成：当超声速气流流过内凹的曲壁时，曲壁上 的每一个点都相当于一个折点，而每一个折点都发出一道 微弱压缩波。如果把曲壁 逐渐靠近，极限情况下 与 重合， 这些微弱的压缩波聚集在一起，就形成一道斜激波。
的速度分量不变，而法向速度
分量减小，气流向着波面转折
激波前后参数关系用图
朗金-雨贡纽关系式
k 1 2 1
p2 p1
k 1 1 k 1 2
k 1 1
关系式与激波角无 关，适用于各种激 波
等熵关系与朗金-雨
k 1 p2 1 2 k 1 p1 1 k 1 p2
贡纽关系
k 1 p1
p2 [1 ( k 1) p2 ]
M22k2k1M M 1212ski22n11k21M M 1212csoi22ns1
正激波（β=90°）
M
2 2
M
2 1
k
2
1
2k k 1
M
2 1
1
当来流马赫数M1一定时，随着激波角β的增大，激 波后马赫数M2减小。
激波前后总压和熵的变化
p0101RT01
p0202RT02
T01 T02
Ma1P0 膨胀波角μ1
P2/P0Ma2 膨胀波角μ2
外折角v(Ma2)-v(Ma1)
马赫波极角Φ：气流从声速开始膨胀到某一Ｍ数时，膨胀 波束的扇形区所张的角度
Φ与马赫数有关
M 1 M 1 C 1
(M)
90
90(M)
膨胀波束扇形区所张的角度：
2 1
流线形状 连续方程：
r**V*rsinV
激波的形成
气体每受到一次压缩，声速便增大一次 后面产生的微弱压缩波的传播速度必定比前面的快 强压缩扰动波：由许多微弱压缩波在一定条件下累积而成。 激波形成：气体被压缩而产生的一系列压缩波聚集在一起，
就转化为一道激波
激波的形成
激波与弱压缩波的区别
激波是强压缩波，经过激波气流参数变化是突跃的； 气体经过激波受到突然地，强烈地压缩，必然在气体内部
例４－５ 如图所示，设Ｍ１＝１的直匀流 （θ１＝０°）绕外凸壁折转－５°，求气流的流线 形状。
弱压缩波
弱压缩波：流管截面积变小，气流速度或马赫数 降低，压强增大，且温度和密度也将随之增大
A ODsin A dA ODsin( d)
各压缩波的波角是逐渐加大；
M 1M 2M 3
123
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱
激波前后总压和熵的变化
s2s1cpln T T 0 02 1 Rlnp p0 02 1 Rlnp p0 02 1 0
激波强度越大，通过激波的总压损失越多 不可逆绝热流动：气体的熵增加，做功能力下
降
波阻：由激波存在而引起的阻力 物体作超声速运动时都会遇到波阻 波阻的大小决定于激波的强度，激波愈强，则波阻愈
大
波阻分析
经过斜激波气流的转折角
V1t V2t
V2n tg()1
V1n
tg
2
tg()1tgtgttgg
tg
M12sin21
[M12(k21sin2)1]tg
M1，δ→β：逐步试凑法
t3 g A2 t gBt g C 0
压缩波系的流动为等熵压缩过程； 激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超
音速级的叶栅剖面
例4-6 设有M1=2.21，p1=0.1×105 Pa的超声速气流， 经内凹曲壁内折了δ=28°。求压缩波后气流的数及wk.baidu.com压强，并求第一道和最后一道压缩波的波角μ1和 μ2 。
膨胀波的反射与相交
计算处理方法
rsin*V* 1
r*
V q(M)
1 1 [ 2 (1k1M2)k k] 1 1 q(M ) M k1 2
sin 1
M
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线
r [ 2 (1k1M2)]kk 11 r* k1 2
勾画流线的步骤
根据已知条件，确定要计算的膨胀波的数目； 计算每一区间的M数 计算每条膨胀波的r值 勾画流线
a V
a V
aV0 扰动不再往后传播
局限在以o点为 顶点的圆锥里
马赫锥 马赫角：受扰动区域 马赫面 马赫波
sin
o1c1 oo1
a V
1 M
sin 1 1
M
VnVsin a
亚音速直匀流流过机翼
无限小的折角
压缩波
超音速直匀流流过锥体和楔形物
弱压缩波：压强 ；密度 ；速度 膨胀波：压强 ；密度 ；速度
p2 p3 pa p4 pa p5 p6 pa
膨胀波与压缩波的相交
膨胀波A ′ B和压缩波AB 膨胀波BC和压缩波BC ′ 4区：方向一致，压强相等
a b
p3 p2
处理马赫波反射或相交问题的步骤
根据壁面折转情况，确定第一道是膨胀波还是压 缩波
分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第二道波的性质
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动 弱压缩波 膨胀波的反射与相交 激波的形成及传播速度 斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
弱扰动在气流中的传播
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般
会出现激波。
不可逆的耗散过程 不可逆的绝热过程：粘性、热传导 激波厚度：忽略（2.5×10-5）
激波的分类
正激波：气流方向与波面垂直，如图(a)； 斜激波：气流方向与波面不垂直，如图(b)； 曲线激波：波形为曲线形，如当超声速气流流过钝头物体
时，在物体前面往往产生脱体激波，这种激波就是曲线激 波，图(c)；
VS
VB
p2
1
p1
p2 1
p2 1
VS
p2p12 21 1
p1 p1
111
a1
2
p1
k112
V Bp2p 11 221 p1 1 p p1 21 1 1 2
激波强度增加， 传播速度也增加
弱激波：弱压缩波
p2 2 p1 1 p d dp Sa2, 1 2 1
激波增强：传播速度增大
k2 k1M12si2nkk 1 1
T2 T1
(1k21M2(12k(skin12)12)M )(k122ski1nM 212sin21)
T2 T1
T02 T01
1
k
1 2
M12
1
k
1 2
M
2 2
来流法向马赫数
正激波：强于斜激波
M1nM1sin
90
激波前后马赫数的关系式（激波前后总温不变）
V1nV2n a*2kk 11Vt2
p1
1
k2k1a*2
k2k1V12
p2
2
k2k1a*2
k2k1V22
普朗特关系式
正激波 Vt 0 V1V2 a*2 12 1
激波前后参数间的主要关系式
激波前后的密度比、压强比、温度比的关系式
2 (k1)M12sin2 1 2(k1)M12sin2
p2 p1
p0 1
p1
(
0 1 )k 1
p02
p2
(
02 2
)k
p02 02 p01 01
02(p02)1k(p1)1k 2 01 p01 p2 1
p0
2
(2
k
)k1(
p1
1
)k1
p01 1 p2
p02 [2(k(k1)1M)M12 s12isni2n2 ]kk1
p01
[k2k1M12
sin2
k k
1]k11 1
a b
pp0()
例4-8 如图所示，设空气流 的 1 1.2， 1 0 ， a b 1，求②、③、 ④区中气流的M数。
膨胀波在自由边界上的反射
自由边界：运动介质和其 它介质之间的切向（平行 于速度方向）交界面；
边界特性：接触面两边的 压强相等；
膨胀波在自由边界上反射 为压缩波；
压缩波在自由边界上反射 为膨胀波
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M)1
m
ax
( 2
k11) k1
右伸膨胀波
dV d
V M2 1
(M )1(M 1 ) C 2
v 与Ｍ 数之间的关系
21(M 2)(M 1)
2 1
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后的 最终马赫数。
造成强烈的摩擦和热传导，因此气流经过激波是绝能不等 熵流动； 激波的强弱与气流受压缩的程度（或扰动的强弱）有直接 关系。
激波的传播速度
A p 2 p 1 q m V S V B V S
q m 1 V SA 2 V S V B A
VB
2 1 2
VS
A p 1 p 2 A 1 V S V S V B V S
ＯＬ，气流加速，压强和密
度下降。
膨胀波的形成
外折线上的膨胀波
1
sin1
1 M1
2
sin1
1 M2
外凸曲线上的膨胀波示意图
M 1M 2M 3
123
有限折角
普朗特-迈耶流动：绕外钝角流 动
特点：
１、在壁面转折处产生膨胀波束： 马赫波
２、气流参数连续变化
３、绝热、等熵、膨胀
普朗特－迈耶流动
４、气流方向朝着离开波面的方 向（向外）转移，平行于壁面