隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题
排列组合问题
排列组合问题，首先要弄清什么叫做完成事情，这件事是“分类”还是“分步”完成，要考虑“有序”或“无序”，即分清是排列还是组合，并掌握一些典型例题和特定的方法。
1．特元特位法：优先解决有特殊要求的元素或者位置，如组数问题中最高位的限制或者排队问题中有特殊要求的元素2．捆绑法：也称“大元法”，是相邻问题的常用方法，将相邻元素视为一个元素与其余元素进行排列，注意内部的顺序。
3．插空法：解决不相邻问题的常用方法，排列时让没有要求的元素先排列，然后不相邻的元素再插空。
4．隔板法：分相同元素的一种特殊方法，n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从n-1空中选m-1个空放入m-1板使之隔成m段，有种方法.5．间接法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.6．分类讨论法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
两种特殊的排列组合问题1．分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；2．错位排列：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,时的错位数各为1,2,9. 本周例题：1．已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少个？（2）若要求则不同的映射有多少个？（3）满足的映射有多少个？分析：（1）确定一个映射，需要确定的像（2）的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算（3）用间接法相对方便一些。
解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射（2）根据对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）（3）由（1）知所有的81个映射中，象集中没有“0”元素有个，所以象集中含有“0”的共有81-16=65个。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法〔不相邻〕、捆绑法〔相邻〕插板法〔m为空的数量〕【基此题型】有n个一样的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中""〞表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块"挡板〞，则将这10 个名额分割成七个局部，将第一、二、三、……七个局部所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则"挡板〞的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个一样元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的〔n-1〕个空中插入假设干个〔b〕个板,可以把n个元素分成〔b+1〕组的方法.应用插板法必须满足三个条件：〔1〕这n个元素必须互不相异〔2〕所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个一样的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况"问题的题干满足条件〔1〕〔2〕,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一节目单中原有6个节目,假设保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况"-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种【根本解题思路】将n个一样的元素排成一行，n个元素之间出现了〔n-1〕个空档，现在我们用〔m-1〕个"档板〞插入〔n-1〕个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素〔可能是1个、2个、3个、4个、….〕，这样不同的插入方法就对应着n个一样的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟"档板〞分配元素的方法称之为插板法。
排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求,应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位,从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合;然后排首位,从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合;最后排中间三个数,从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =.变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =.二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位,共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种?分析：相离问题即不相邻问题。
分两步.第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列,第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位)共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =.变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
四招巧做排列组合题
公务员考试行测辅导：四招巧做排列组合题排列组合问题作为数学运算中相对独立的一块，在公务员考试中的出场率颇高，题量一般在一到两道，这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。
【基本原理】加法原理：完成一件事,有N种不同的途径，而每种途径又有多种可能方法。
那么，完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来；乘法原理：完成一件事需要n个步骤，每一步分别有m1，m2，…，mn种做法。
那么完成这件事就需要:：m1×m2×…×mn种不同方法。
【排列与组合】排列：排列的字母表示是A(m，n)，表达的意思是从n个元素中取出m个元素，进行全排列(对m个元素进行排序)。
组合：组合的字母表示是C(m，n)，表达的意思是从n个元素中取m个元素，不进行排列(对m个元素不进行排序)。
公务员考试行测辅导：数学运算中的排列组合问题排列组合问题作为数学运算中相对独立的一块，在公务员考试中的出场率颇高，题量一般在一到两道，近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。
【基本原理】加法原理：完成一件事,有N种不同的途径，而每种途径又有多种可能方法。
那么，完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来；乘法原理：完成一件事需要n个步骤，每一步分别有m1，m2，…，mn种做法。
那么完成这件事就需要:：m1×m2×…×mn种不同方法。
【排列与组合】排列：从n个不同元素中，任取m( )个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合：从n个不同元素种取出m（）个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合【排列和组合的区别】组合是从n个不同的元素种选出m个元素,有多少种不同的选法。
只是把m个元素选出来,而不考虑选出来的这些元素的顺序；而排列不光要选出来,还要把选出来的元素按顺序排上,也就是要考虑选出元素的顺序。
排列组合常见问题
排列组合问题常见解法排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。
一、元素分析法在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
例1、安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。
不同的安排方法共有种（用数字作答）二、位置分析法在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。
例2 、题同例1三、间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。
例3、题同例1四、树图法又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。
适合限定条件在3个以上，排列组合问题。
例4、已知集合M={a，b，c} ，N={1，0,-1},在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？五、逐一插入法若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。
例5、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是。
（用数字作答）六、消序法若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。
例6、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）七、优序法若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。
排列组合应用题的常见解法
排列组合应用题的常见解法作者：杜剑骅来源：《读写算》2013年第01期排列组合问应用题高考中多以客观题出现，每年必考。
它们具有较强的灵活性和抽象性，故解题时要求我们认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工与处理。
本文说明几种常见的解法：一、直接法例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类计数原理。
没有人通过，有C0n种结果；1个人通过，有C01种结果，……；n个人通过，有Cnn种结果。
所以一共有C0n+C1n+…Cnn=2n种可能的结果。
解法2：用分步计数原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有种可能的结果。
二、间接法（排除法）例2.8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？解：无限制条件有A88种排法。
A与B或A与C在一起各有A22A77种排法，A、B、C 三人站在一起且A在中间有A22A66种排法，所以一共有A88-2A22A77+A22A66=21600种排法。
例3：以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：从8个点中取4个点，共有C48种方法，其中取出的4个点共面的有6+6=12种，所以符合条件的四面体的个数为个C48-12=58个。
三、特殊元素（位置）法例4：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选0，有A49个，个位不选0且万位不能选0，有C14C18C38个，所以一共可以得到A49+C14C18C38=13775个偶数。
例5：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有A14种排法。
再排乙，有A15种排法，再排其余的人，又有A66种排法，所以一共有A14A15A66=14400种排法。
四、查字典法例6：由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个无重复数字且比324105大的数？解：（1）查首位，有4×××××与5×××××，共有2A55个；（2）查头两位，有34××××与35××××两种，共有2A44个；（3）查头三位，有325×××一种，共A33个；（4）查头四位，有3245××，共A22个；（5）查头五位，仅324150一个，故共有2A55+2A44+A33+A22+1=297个。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
高中数学排列组合几种基本方法
例6 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、 C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有
A 条， 3 7
210
其中不过原点的直线有
A61条，A62 180
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
甲乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
几个元素必须相邻时，先捆绑成一 个元素，再与其它的进行排列.
共有2 120＝240种排法
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”
元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀♀ ♀ ♀♀♀
↑↑
↑
↑
↑↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
A.6
B.12
C.72
D.144
C 3. 5个人排成一排，其中甲、乙相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.42
C.48
D.56
34.. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
A.
C142
C84
C
4 4
种
B.3
C142 C 84
C
4 4
种
C.
C142
C
4 8
A33
种
D.
C142C84 A33
C44
种
直接法： 2
A 30 6
7.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里，每个盒子放一个小球.要 求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.
(完整版)排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n 1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。
所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。
解法2：用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：（1）乙取a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3129⨯+=()种分配方式。
二. 特殊元素（位置）优先例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选0，有P 94个，个位不选0且万位不能选0，有C C P 418183个，所以一共可以得到P C C P 9441818313775+=个偶数。
注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有P 41种排法。
排列组合进阶(捆绑法,插空法,隔板法)练习题
小学奥数(第022课)排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)练习题小学奥数(第022课) 排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)的相应练习题，大家可以练一练。
①心算(1)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，其中B与C必须相邻，共有( )多少种排法。
(2)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，如果B与C不能相邻，共有( )多少种排法。
(3)方程 x + y + z = 10 有( )组正整数解。
②1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字4，5不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种。
③有3名男生，4名女生排成一列，要求3名男生必须挨在一起，共有多少种排法。
④晚会有6个歌唱节目，3个小品节目，要求不能连续演出小品节目，那么共有多少种安排方法。
⑤男子乒乓球国家队张继科、马龙、许昕三人进行一次训练，刘教练拿出320个乒乓球分给三人，如果每人至少分100个乒乓球，那么共有多少种分法。
①心算(1)答案：12解析：捆绑法，把B和C当做一个整体，所以是A(3，3)×A(2，2)=6×2=12(种)(2)答案：12解析：插空法，A，D的排列A(2，2)，然后在A，D的3个空插入B和C，是A(3，2)。
所以答案是A(2，2)×A(3，2)=12(种)。
或者用4人总排列数A(4，4)减去BC相邻的排列数，24-12=12(种)。
(3)答案：36解析：隔板法，可以看成10个1，有9个空，隔2个板，所以是C(9，2)=36(种)②答案：72解析：根据题意，4与5不相邻，所以用插空法1，2，3共四个空。
答案是A(3，3)×A(4，2)=72(种)。
③答案：720解析：捆绑法A(5，5)×A(3，3)=720(种)。
④答案：151200解析：根据题意，不能连续演出小品节目，即不相邻，所以用插空法。
先排6个歌唱节目是A(6，6)，然后6个歌唱节目共7个空，插入3个小品节目(小品也是有顺序的)。
排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
排列组合常用几种基本方法
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C C 51
4
(51)(81)
11
条不同的路径.
.
7
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名 额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名 额,则不同的分配方案共有___种.
A到B只能上行或右行共
也有可多以少看条作不是同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A 11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
A
4 4
A
7 7
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，
再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子
至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有
.
11
巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则不同的投法 的种数是（ B ）
A. 34
B. 43
C. A43
D.
C
3 4
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出
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1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子�7�6要求每个盒子非空共有多少种放法�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:�7�6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA �7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按�7�6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: �7�63629C �7�71526C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123�6�710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。
总的解题原则是quot相邻问题捆绑法不邻问题插空法quot。
在实际公务员考试培训过程中我发现学员经常碰到这样的困惑就是一样类型的题目不过表达的形式有所变化就很难用已解过的题目的方法去解决它从而降低了学习效率。
下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式以实际例题详细讲解。
quot相邻问题quot 捆绑法即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时先整体考虑也就是将相邻元素视作一个大元素进行排序然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须站在相邻位置则有多少排队方法【解析】题目要求A和B两个人必须排在一起首先将A和B两个人quot捆绑quot 视其为quot一个人quot也即对quotABquot、C、D、Equot 四个人quot进行排列有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B 两人也要排序有种排法。
根据分步乘法原理总的排法有种。
例2 有8本不同的书其中数学书3本外语书2本其它学科书3本若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的3 排法共有多少种结果用数值表示解把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有A55种排法又3本数学书有A33种排法2本外语书有A22种排法根据分步计数原理共有排法A55A33A221440种. 【解析】把3本数学书quot捆绑quot在一起看成一本大书2本外语书也quot捆绑quot在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有种排法又3本数学书有种排法2本外语书有种排法根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意quot 捆绑quot起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是quot 先捆绑再排列quot。
6个球放进5个盒子有多少种不同的方法其实由抽屉原理可知必然有两个球在一起。
所以答案是C6 2X A55 其实就是6取2与5的阶乘的积1、有10本不同的书其中数学书4本外语书3本语文书3本。
若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的排法共有种。
2、5个人站成一排要求甲乙两人站在一起有多少种方法4 3、6个不同的球放到5个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球一共有多少种方法4、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目4个舞蹈节目要排在一起有多少不同的安排节目的顺序1、有ABCDE共5个人并排站在一起如果AB必须相邻并B在A的右边那么不同的排法有多少种2、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球彼此相邻有种方法3、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球互不相邻有种方法部分题目答案2、【解】P55×P55 3、【解】P44×P55 1、将袋子里面的所有球分成三组每组至少一个有种方法2、将袋子里面的所有球分成三组每组恰好三个有种方法3、将袋子里面的所有球分成至多三组每组至少一个有种方法5 4、将袋子中的五个红球排成一排若要求1号球不在第一个位置3号球不在第二个位置5号球不在第三个位置7号球不在第四个位置9号球不在第五个位置有种方法quot不邻问题quot插空法即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时先将其它元素排好再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置从而将问题解决的策略。
例3 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须不站在一起则有多少排队方法【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列有种排法若排成D C E则D、C、Equot中间quot和quot两端quot共有四个空位置也即是D C E 此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置有种插法。
由乘法原理共有排队方法。
例4 在一张节目单中原有6个节目若保持这些节目相对顺序不变再添加进去3个节目则所有不同的添加方法共有多少种【解析】直接解答较为麻烦可根据插空法去解题故可先用一个节目去插7个空位原来的6个节目排好后中间和两端共有7个空位有种方法再用另一个节目去插8个空位有种方法用最后一个节目去插9个空位有方法由乘法原理得所有不同的添加方法为504种。
例5 一条马路上有编号为1、2、�6�7�6�7、9的九盏路灯为了节约用电可以把其中的三盏关掉但不能同时关掉相邻的两盏或三盏则所有不同的关灯方法有多少种【解析】若直接解答须分类讨论情况较复杂。
故可把六盏亮着的灯看作六个元素然后用不亮的三盏灯去插7个空位共有种方法请您想想为什么不是因此所有不同的关灯方法有种。
【王永恒提示】运用插空法解决排列组合问题时一定要注意插空位置包括先排好元素quot中间空位quot和quot两端空位quot。
解题过程是quot先排列再插空quot。
例6 练习一张节目表上原有3个节目如果保持这3个节目的相对顺序不变再添加进去2个新节目有多少种安排方法国考2008-57 A20 B12 C6 D4 6 7 8 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题它联系实际生动有趣但题型多样思路灵活不易掌握实践证明掌握题型和解题方法识别模式熟练运用是解决排列组合应用题的有效途径下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排列. 例1. 五人并排站成一排如果必须相邻且在的右边那么不同的排法种数有9 A、60种B、48种C、36种D、24种解析把视为一人且固定在的右边则本题相当于4人的全排列种选. 2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行如果甲乙两个必须不相邻那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析除甲乙外其余5个排列数为种再用甲乙去插6个空位有种不同的排法种数是种选. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序可用缩小倍数的方法. 例3. 五人并排站成一排如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析在的右边与在的左边排法数相同所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半即种选. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上可先把某个元素按规定排入第二步再排另一个元素如此继续下去依次即可完成. 例4.将数字1234填入标号为1234的四个方格里每格填一个数则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析先把1填入方格中符合条件的有3种方法第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格又有三种方法第三步填余下的两个数字只有一种填法共有3×3×19种填法选. 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组可用逐步下量分组法. 例5.1有甲乙丙三项任务甲需2人承担乙丙各需一人承担从10人中选出4人承担这三项任务不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析先从10人中选出2人承担甲项任务再从剩下的8人中选1人承担乙项任务第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务不同的选法共有种选. 212名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查若每个路口4人则不同的分配方案有A、种B、种C、种D、种答案. 6.全员分配问题分组法: 例6.14名优秀学生全部保送到3所学校去每所学校至少去一名则不同的保送方案有多少种解析把四名学生分成3组有种方法再把三组学生分配到三所学校有种故共有种方法. 说明分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 10 25本不同的书全部分给4个学生每个学生至少一本不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种答案. 7.名额分配问题隔板法: 例710个三好学生名额分到7个班级每个班级至少一个名额有多少种不同分配方案解析10个名额分到7个班级就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆每堆至少一个可以在10个小球的9个空位中插入6块木板每一种插法对应着一种分配方案故共有不同的分配方案为种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设其中甲同学不到银川乙不到西宁共有多少种不同派遣方案解析因为甲乙有限制条件所以按照是否含有甲乙来分类有以下四种情况①若甲乙都不参加则有派遣方案种②若甲参加而乙不参加先安排甲有3种方法然后安排其余学生有方法所以共有③若乙参加而甲不参加同理也有种④若甲乙都参加则先安排甲乙有7种方法然后再安排其余8人到另外两个城市有种共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种. 9.多元问题分类法元素多取出的情况也多种可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数最后总计. 例91由数字012345组成没有重复数字的六位数其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种解析按题意个位数字只可能是01234共5种情况分别有个个合并总计300个选. 2从123…100这100个数中任取两个数使它们的乘积能被7整除这两个数的取法不计顺序共有多少种解析被取的两个数中至少有一个能被7整除时他们的乘积就能被7整除将这100个数组成的集合视为全集I能被7整除的数的集合记做共有14个元素不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素由此可知从中任取2个元素的取法有从中任取一个又从中任取一个共有两种情形共符合要求的取法有种. 3从123…100这100个数中任取两个数使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种解析将分成四个不相交的子集能被4整除的数集能被4除余1的数集能被4除余2的数集能被4除余3的数集易见这四个集合中每一个有25个元素从中任取两个数符合要从中各取一个数也符合要求从中任取两个数也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共有种. 10.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集可用集合中求元素个数公式. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛如果甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有多少种不同的参赛方案解析设全集6人中任取4人参赛的排列A甲跑第一棒的排列B乙跑第四11 棒的排列根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有种. 11.定位问题优先法某个或几个元素要排在指定位置可先排这个或几个元素再排其它的元素。