计算方法期末复习
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m n i
(2)
上式称为正规方程组或法方程组。
例题
• 例 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示
i
xi
0
1
2
3
4
5
0
1.000
0.2
1.221
0.4
1.492
0.6
1.822
0.8
2.226
1
2.718
yi
试用二次多项式拟合上述数据.
解：设所求的二次拟合多项式为
则有如下方程组
y a0 a1 x a2 x
计算方法期末复习
考试范围
• 课堂中重点讲述内容 • 课堂例题 • 作业习题
第一章 绪论
• 关于有效数字的位数问题
定义 若近似值x 的误差限是某一数位的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有n位，则 称x 有n 位有效数字
例
3.1415926535897932 ;
* 3.1415
f (115) 155 L2 (115) (115 121)(115 144) (115 100)(115 144) 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144)
(115 100)(115 121) 12 10.722 756 (144 100)(144 121)
n次拉格朗日插值基函数
k = 0, 1 ,⋯, n .
Lagrange插值余项定理
设节点 a x0 x1 xn b , f(x) 在 [a,b] 上具有 n+1阶导数，Ln(x)是其n次Lagrange插值多项式，
使得 则对 x [a, b], 存在 (a, b)，
误差估计
1 ( 3) R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ) 6 1 5 R2 ( x) x 2 ( x 100)(x 121)(x 144) 16 1 R2 (115) (115 100)(115 121)(115 144) 105 0.00163125 16
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作三次 Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6，作四 次Newton插值多项式. • 解 首先构造差商表
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 三次Newton插值多项式为 三阶差商
3 2 ∵ f ( x) x 8
5
二、 牛顿插值多项式
差商的计算-差商表
xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
三阶差商 四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )
1 ( x0 ) 0 (x ) 1 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 0
0 ( x0 ) 0 (x ) 0 0 1 0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0
1 ( x0 ) 0 (x ) 0 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 1
3/10
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
• 增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 6 6 1 -1/6 四次Newton插值多项为
• 所以二次拟合多项式为
y 1.006321428 0.862589295x 0.842410704x2
第三章、数值积分与数值微分
一、等距节点求积公式
梯形公式
b a
f ( x)dx
b
ba [ f (a) f (b)] T 2
Simpson公式 a
ba ab f ( x)dx f (a ) 4 f 2 f (b ) S 6
基函数求法：
求
0 ( x)
1 a 2 ( x0 x1 )
3
0 ( x1 ) 0 0 ( x1 ) 0
0 ( x) [a b( x x0 )](x x1 )
2
0 ( x0 ) 1
2 b ( x1 x0 )( x0 x1 ) 2
x x0 x x1 2 0 ( x ) (1 2 )( ) x1 x0 x0 x1
m
源自文库
2
线性拟合或直线拟合。
12
上式是关于 a0 , a1 ,an 的线性方程组，用矩阵 表示为
m 1 m x i i 0 m xin i 0
x
i 0 m i 0
m
i
xi2 xin 1
i 0 m
m x yi i 0 i a0 m0 m a xin 1 1 xi y i i 0 i 0 a m n m n x i y i xi2 n i 0 i 0
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1
（*）
两点三次Hermit插值
已知：
x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1
问： *有几位有效数字？请证明你的结论。
证明：
π* 0.31415 101 ,
| π * π | 0.0000926...... 0.0005 0.5*103 0. 5 1014
* 有4 位有效数字，
精确到小数点后第 3 位。
类似题目： 作业中习题一的一、二 题。
第二章 插值与拟合
• 拉格朗日插值
– N次拉格朗日插值多项式公式 – 余项
• 牛顿插值 • Hermit 插值 • 二次曲线拟合
一、 n次拉格朗日插值
已知: f(xi)=yi (i=0,1,…,n)
n 求 n 次插值多项式 Ln ( x) a0 a1x an x 使得
L n ( x i ) yi ,
（*）
两点三次Hermit插值（续1）5
直接设
H 3 ( x) ax 3 bx 2 cx d
待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆 Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使之满足 0 ( x0 ) 1 ( x ) 0 0 1 0 ( x0 ) 0 0 ( x1 ) 0
x x0 2 1 ( x ) ( x x1 )( ) x1 x0
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
四、拟合
三 多项式拟合
假设给定数据点 ( xi , y i ) (i=0,1,…,m)， 为所有次数不超过 n ( n m ) 的多项式构成的函数类，现求一,
两点三次Hermit插值（续2）
其中
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
都是次数为3的多项式
令H3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 0 ( x) y11 ( x)
则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )
2
3 2.2 a0 10.479 6 3 2 .2 1.8 a1 6.433 2.2 1.8 1.5664 a2 5.08612
• 解方程组得
a0 1.006321428, a1 0.862589295, a2 0.842410704
P n ( x)
ak x
k k 0
n
使得
I
m i 0
P n ( x i ) y i 2
(1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的
Pn (x) 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为
n a k x ik y i min i 0 k 0
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x), (a, b) (n 1)!
其中
n1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
例1：已知 插值法计算
100 10,
121 11,
144 12
115
，并估计误差。
三阶差商
四阶差商
3/10 -1/4
-11/120
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
三、 Hermit插值
已知：
x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1
• 解 利用三点二次Lagrange插值.记
f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2 12
则f(x)的二次Lagrange插值多项式为
L2 ( x) y0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
同理
x x1 x x0 2 1 ( x ) (1 2 )( ) x0 x1 x1 x0
设
0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
1 , a ( x0 x1 ) 2
由β'0(x0)=1 ，得
于是
同理有
x x1 2 0 ( x ) ( x x0 )( ) x0 x1
i 0, ... , n
结论:
n次拉格朗日插值多项式
Ln ( x )
lk(x )
l
k 0
n
lk ( x )
j 0 jk
n
(x xj ) ( xk x j )
k
( x) yk
(x x 0 )(x x k 1 ) (x x k 1 )(x x n ) (x k x 0 )(x k x k 1 ) (x k x k 1 )(x k x n )
(2)
上式称为正规方程组或法方程组。
例题
• 例 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示
i
xi
0
1
2
3
4
5
0
1.000
0.2
1.221
0.4
1.492
0.6
1.822
0.8
2.226
1
2.718
yi
试用二次多项式拟合上述数据.
解：设所求的二次拟合多项式为
则有如下方程组
y a0 a1 x a2 x
计算方法期末复习
考试范围
• 课堂中重点讲述内容 • 课堂例题 • 作业习题
第一章 绪论
• 关于有效数字的位数问题
定义 若近似值x 的误差限是某一数位的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有n位，则 称x 有n 位有效数字
例
3.1415926535897932 ;
* 3.1415
f (115) 155 L2 (115) (115 121)(115 144) (115 100)(115 144) 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144)
(115 100)(115 121) 12 10.722 756 (144 100)(144 121)
n次拉格朗日插值基函数
k = 0, 1 ,⋯, n .
Lagrange插值余项定理
设节点 a x0 x1 xn b , f(x) 在 [a,b] 上具有 n+1阶导数，Ln(x)是其n次Lagrange插值多项式，
使得 则对 x [a, b], 存在 (a, b)，
误差估计
1 ( 3) R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ) 6 1 5 R2 ( x) x 2 ( x 100)(x 121)(x 144) 16 1 R2 (115) (115 100)(115 121)(115 144) 105 0.00163125 16
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作三次 Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6，作四 次Newton插值多项式. • 解 首先构造差商表
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 三次Newton插值多项式为 三阶差商
3 2 ∵ f ( x) x 8
5
二、 牛顿插值多项式
差商的计算-差商表
xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
三阶差商 四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )
1 ( x0 ) 0 (x ) 1 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 0
0 ( x0 ) 0 (x ) 0 0 1 0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0
1 ( x0 ) 0 (x ) 0 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 1
3/10
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
• 增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 6 6 1 -1/6 四次Newton插值多项为
• 所以二次拟合多项式为
y 1.006321428 0.862589295x 0.842410704x2
第三章、数值积分与数值微分
一、等距节点求积公式
梯形公式
b a
f ( x)dx
b
ba [ f (a) f (b)] T 2
Simpson公式 a
ba ab f ( x)dx f (a ) 4 f 2 f (b ) S 6
基函数求法：
求
0 ( x)
1 a 2 ( x0 x1 )
3
0 ( x1 ) 0 0 ( x1 ) 0
0 ( x) [a b( x x0 )](x x1 )
2
0 ( x0 ) 1
2 b ( x1 x0 )( x0 x1 ) 2
x x0 x x1 2 0 ( x ) (1 2 )( ) x1 x0 x0 x1
m
源自文库
2
线性拟合或直线拟合。
12
上式是关于 a0 , a1 ,an 的线性方程组，用矩阵 表示为
m 1 m x i i 0 m xin i 0
x
i 0 m i 0
m
i
xi2 xin 1
i 0 m
m x yi i 0 i a0 m0 m a xin 1 1 xi y i i 0 i 0 a m n m n x i y i xi2 n i 0 i 0
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1
（*）
两点三次Hermit插值
已知：
x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1
问： *有几位有效数字？请证明你的结论。
证明：
π* 0.31415 101 ,
| π * π | 0.0000926...... 0.0005 0.5*103 0. 5 1014
* 有4 位有效数字，
精确到小数点后第 3 位。
类似题目： 作业中习题一的一、二 题。
第二章 插值与拟合
• 拉格朗日插值
– N次拉格朗日插值多项式公式 – 余项
• 牛顿插值 • Hermit 插值 • 二次曲线拟合
一、 n次拉格朗日插值
已知: f(xi)=yi (i=0,1,…,n)
n 求 n 次插值多项式 Ln ( x) a0 a1x an x 使得
L n ( x i ) yi ,
（*）
两点三次Hermit插值（续1）5
直接设
H 3 ( x) ax 3 bx 2 cx d
待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆 Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使之满足 0 ( x0 ) 1 ( x ) 0 0 1 0 ( x0 ) 0 0 ( x1 ) 0
x x0 2 1 ( x ) ( x x1 )( ) x1 x0
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
四、拟合
三 多项式拟合
假设给定数据点 ( xi , y i ) (i=0,1,…,m)， 为所有次数不超过 n ( n m ) 的多项式构成的函数类，现求一,
两点三次Hermit插值（续2）
其中
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
都是次数为3的多项式
令H3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 0 ( x) y11 ( x)
则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )
2
3 2.2 a0 10.479 6 3 2 .2 1.8 a1 6.433 2.2 1.8 1.5664 a2 5.08612
• 解方程组得
a0 1.006321428, a1 0.862589295, a2 0.842410704
P n ( x)
ak x
k k 0
n
使得
I
m i 0
P n ( x i ) y i 2
(1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的
Pn (x) 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为
n a k x ik y i min i 0 k 0
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x), (a, b) (n 1)!
其中
n1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
例1：已知 插值法计算
100 10,
121 11,
144 12
115
，并估计误差。
三阶差商
四阶差商
3/10 -1/4
-11/120
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
三、 Hermit插值
已知：
x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1
• 解 利用三点二次Lagrange插值.记
f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2 12
则f(x)的二次Lagrange插值多项式为
L2 ( x) y0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
同理
x x1 x x0 2 1 ( x ) (1 2 )( ) x0 x1 x1 x0
设
0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
1 , a ( x0 x1 ) 2
由β'0(x0)=1 ，得
于是
同理有
x x1 2 0 ( x ) ( x x0 )( ) x0 x1
i 0, ... , n
结论:
n次拉格朗日插值多项式
Ln ( x )
lk(x )
l
k 0
n
lk ( x )
j 0 jk
n
(x xj ) ( xk x j )
k
( x) yk
(x x 0 )(x x k 1 ) (x x k 1 )(x x n ) (x k x 0 )(x k x k 1 ) (x k x k 1 )(x k x n )