a小学数学奥赛4-3-6 燕尾定理.教师版

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．

O

F

E D

C

B

A

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==

S 3

S 1S 4S 2E

D

C

B

A

【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，

所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形

CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.

【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．

O F E

D

C

B

A

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△

::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】27:16

例题精讲

燕尾定理

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△

【答案】10:9

【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =

G

F E

D

C

B

A

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△ 【答案】5:2

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△

::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】15:8

【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?

35

30

4084

O F

E

D C

B

A

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得

::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33

(84)6344

ACO S x x =⨯+=+△，

再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3

(84):(4030)(6335):354

x x ++=+-解得56x =

:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△

所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=

【答案】315

【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交

于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

3332

1F E D

C B

A

A

B

C

D

E

F

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF ，

根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△,

设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以55

1212

DCEF ABC S S ==△

方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

33ABD ABC S S ==△△，

1121

2233

ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以

11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，

而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5

12

．

【答案】5

12

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积

.

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，