库伦土压力与朗肯土压力计算理论

2.1 土压力理论

土压力是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧向压力。土压力的计算是个比较复杂的问题。它随挡土墙可能位移的方向分为主动土压力、被动土压力和静止土压力。土压力的大小还与墙后填土的性质、墙背倾斜方向等因素有关。

2.1.1 库伦土压力[22]

1773年著名的法国学者库伦(C.A.Coulomb)提出了一种计算土压力的理论。这种理论是根据墙后所形成的滑动楔体静力平衡条件建立起来的，这种理论具有计算简单，适用范围广泛，且计算结果接近实际等优点，至今仍然被广泛使用于工程实践之中。其基本假定如下:

(l)墙后填土为理想散粒体(无粘聚力);

(2)墙后填土产生主动土压力或被动土压力时，填土形成滑动楔体，且滑动面为通过墙踵的平面;

(3)滑动楔体为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件 1、主动土压力公式：

21

2

a a E H K γ=

22

cos ()

sin()sin(cos cos()1-cos()cos()a K ϕαϕδϕβαδααδαβ-=

⎡⎤+⋅-⋅+⋅⎢⎥

+⋅-⎣⎦

式中：α—为墙背与铅直线夹角，逆时针为正值； K a —库仑主动土压力系数； β—填土表面与水平面所成坡角；

δ—墙后填土与墙背的摩擦角，由试验或规范确定。 2、被动土压力公式

21

2

p p E H K γ=

22

cos ()

sin()sin(cos cos()1-cos()cos()p K ϕαϕδϕβαδααδαβ+=

⎡⎤+⋅+⋅-⋅⎢⎥

-⋅-⎣⎦

式中：K p —为库仑被动土压力系数。

2.1.2 朗肯土压力[23]

朗肯土压力是英国学者朗肯在1857 年提出的一种经典的土压力理论，这种土压力理论是根据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论得出的土压力计算理论之一。这种土压力理论的计算方法比较简单，计算结果比较接近实际，至今仍然被广泛用于工程实践之中。其基本假定如下:

1).墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形； 2).墙后填土面水平且填土延伸到无限远处； 3).墙背直立、光滑。 1、主动土压力公式

无粘性土：

2(45-)

2

a Z t g ϕ

σγ=。

粘性土：

2

(45-)2

(45-)

2

2a Ztg Ctg ϕ

ϕ

σγ=-。

。

式中：C 一为土的粘聚力，

Z —计算点距离填土面的深度(m);

φ一内摩擦角 σa 一为主动土压力 γ—填土的重度

a b c

图2-1 朗肯土压力计算图

无粘性土：主动土压力强度与深度z 成正比，土压力分布图呈三角形（图2－1b ）。据此可以求出墙单位长度总主动土压力为：

2a 1

2

a E K H γ=

20a (45)2

K tg ϕ

=-

式中：K a －主动土压力系数 作用点位置在墙高的H/3处

粘性土：土压力分布图呈三角形（图2－1c ）,粘性土的土压力强度由二部分组成，一部分为由土的自重引起的土压力γzK a ，随深度z 呈三角形变化；另一部分为由粘聚力c 引起的土压力

，为一负值，不随深度变化。叠加的

结果如图2－1c 所示。由于墙面光滑，土对墙面产生的拉力会使土脱离墙，出现深度为z 0的裂隙。因此，略去这部分土压力后，实际土压力分布为三角形部分:

22

a 12-22a a C E K H CH K γγ

=+

作用点位置在墙高的（H-Z 0）/3处

其中a 点至填土表面的高度z 0称为临界深度： 由p a =0，求的

2a

C

Z K γ=

a

2、被动土压力 无粘性土：

P P ZK σγ=

粘性土：

2P P P

ZK C K σγ=+

a b c

图2-2 朗肯被动土压力计算图

无粘性土：被动土压力强度与深度z 成正比，土压力分布图呈三角形，墙单位长度总被动土压力

21

2

R P E H K γ=

20(45)2

P K tg ϕ

=+

式中:K p －被动土压力系数 σp －被动土压力 作用点位置在墙高的H/3处

粘性土：土压力分布图呈梯形（图2－2c ）,粘性土的土压力强度由二部分组

成，一部分为由土的自重引起的土压力γzK a ，随深度z 呈三角形变化；另一部分为由粘聚力c 引起的土压力

，为正值，不随深度变化。叠加的结果如

图2－2c 所示。土压力分布为梯形面积:

21

22

P P P

E H K CH K γ=+

作用点位置在梯形面积重心

2.1.3 规范土压力计算

按照规程JGJ120—99[24]，在计算及参数取值上采用直观、简单及偏于安全的方法，对于碎石土及砂土采用水土分算的形式，对于粉土及粘性土采用水土合算的形式，土的抗剪强度指标统一取为固结快剪指标且不考虑有效值的影响。

图2-3 水平荷载标准值计算简图

1、水平荷载标准值的计算

支护结构荷载标准值e ajk 应按当地可靠经验确定，当无经验时可按下列规定计算： （1）对于碎石土及砂土： 当计算点位于地下水位以上时：

e ajk =σ

ajk

K ajk —2c ik

ai K

当计算点位于地下水位以下时：

ajk e =ajk σK ai —2ik c ai K +[(i z —wa h )—（m j —h wa ）wa ηK ai ]

w γ

式中：K ai —第i 层的主动土压力系数；

ajk σ—作用于深度z j 处的竖应力标准值；

ik c —三轴试验（当有可靠经验时可采用直接剪切试验）确定第i 层 固结不排水（快）剪粘聚力标准值；