初中数学-方程整数解的探究
北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.2求解一元一次方程(第3课时)》说课稿
北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.2求解一元一次方程（第3课时）》说课稿一. 教材分析《北师大版七年级数学上册》第五章《一元一次方程》是学生学习初中数学的重要内容，而5.2节《求解一元一次方程（第3课时）》则是这一章节的重点和难点。
本节课主要让学生掌握一元一次方程的解法，并通过实际问题培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的运算，具备了一定的逻辑思维能力，但对于一元一次方程的解法还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，掌握一元一次方程的解法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元一次方程的解法，能够熟练地求解一元一次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元一次方程的解法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元一次方程的解法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发式教学的方法，引导学生主动探索、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助学生理解一元一次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习相关知识，引导学生进入新课的学习。
2.自主学习：让学生自主探究一元一次方程的解法，教师给予必要的引导和帮助。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法，互相学习，教师巡回指导。
4.讲解演示：教师讲解一元一次方程的解法，并通过实例演示解题过程。
5.练习巩固：学生独立完成练习题，检验所学知识，教师及时给予反馈。
6.总结提高：教师引导学生总结一元一次方程的解法，加深对知识的理解。
7.布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高解题能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出一元一次方程的解法。
主要包括以下内容：1.一元一次方程的一般形式：ax + b = 02.解法步骤：b.合并同类项八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
初中数学 不定方程及整数解
内容 基本要求略高要求较高要求我们曾经学过一元一次方程，例如235x +=-，解这个方程可得4x =-.如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如4x y +=就是一个二元一次方程.这个方程有无数多组解.比如13x y =⎧⎨=⎩，48x y =-⎧⎨=⎩， 6.52.5x y =⎧⎨=-⎩等．这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解．不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解. (1)不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m (常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. (2)不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.定理1：若二元一次不定方程ax by c +=，整数a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解． 定理2：若整数a ,b 互质，则方程1ax by +=有整数解，同时方程ax by c +=也有整数解.若()00x y ，是方程1ax by +=的一个整数解，则0cx ，0cy 是方程ax by c +=的一个整数解．定理3：整系数方程()ax by a b +=，有整数解． 定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容定理4：如果00x x y y =⎧⎨=⎩是满足整系数方程ax by c +=的一组整数解，则00x x buy y au =+⎧⎨=-⎩（其中u 为任意整数）也是满足上式的整数解．这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =⎧⎨=⎩，则此方程的所有整数解可表示为：4514x ky k =+⎧⎨=-⎩．中考要求例题精讲不定方程及整数解板块一不定方程的整数解【例1】求方程11157x y+=的整数解．【巩固】求3710725x y+=的整数解．【巩固】求方程的整数解：⑴721571x y+=；⑵103905x y-=．【例2】求719213x y+=的所有正整数解．【巩固】求方程5322x y+=的所有正整数解．【巩固】求62290x y+=的非负整数解．【例3】求23734x y z++=的整数解．【巩固】求92451000x y z+-=的整数解．【例4】求方程组5795235736x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的正整数解．【例5】求不定方程2()7x y xy+=+的整数解.【例6】 求方程22x y x xy y +=-+的整数解.【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程4423ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数(,,)a b c 的组数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对【例9】 求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数．【例10】 求方程2245169x xy y -+=的整数解.【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有a b <及1b c +=.板块二 证明不定方程无整数解【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）A.3150x y +=B.9111x y -=C.234x y -=⎧⎨D.231x y z ++=⎧⎨【例13】 证明方程22257x y -=无整数解.【例14】 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数,x y 使方程2232122x xy y +-=成立。
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知： 当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0， 则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5； 若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
一、知识要点1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解；⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。
⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。
3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。
5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。
二、例题选讲1.方程整数根的讨论例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。
解：设方程的两个实数根为、，则，所以。
因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。
评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。
这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( )A.1；B.2；C.±1；D.±2.分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得，或，或，或，所以－=±1。
例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。
解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。
①当时，，符合题意；②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。
初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文五篇
初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文五篇星星从不嫉妒太阳的灿烂辉煌，它在自己的岗位上尽力发光。
今天小编为大家带来的是初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文，希望可以帮助到大家。
初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文一教材分析:《解一元一次方程(一)合并同类项与移项》是义务教育教科书七年级数学上册第三章第二节的内容。
在此之前，学生已学会了有理数运算，掌握了单项式、多项式的有关概念及同类项、合并同类项，和等式性质，进一步将所学知识运用到解方程中。
这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
合并同类项与移项是解方程的基础，解方程它的移项根据是等式性质1、系数化为1它的根据是等式性质2，解方程是今后进一步学习不可缺少的知识。
因而，解方程是初中数学中必须要掌握的重点内容。
设计思路：《数学课程标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用了探究发现法和多媒体辅助教学法，在学生已有的知识储备基础上，利用课件，鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生始终处于积极探索的过程中，通过学生动手练习，动脑思考，完成教学任务。
其基本程序设计为：复习回顾、设问题导入探索规律、形成解法例题讲解、熟练运算巩固练习、内化升华回顾反思、进行小结达标测试、反馈情况作业布置、反馈情况。
教学目标：1、知识与技能：(1)通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步认识方程模型的重要性;(2)、掌握移项方法，学会解“a·+b=c·+d”的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想。
2、过程与方法：通过解形如“a·+b=c·+d”形式的方程，体验数学的建模思想。
3、情感、态度与价值观：通过合作探究，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解“a·+b=c·+d”类型的一元一次方程。
初中数学培优：二元一次方程的整数解
初中数学培优：二元一次方程的整数解【知识精读】1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2、二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法-9页精选文档
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0 ∴ ax 321-= ax 512-=∵ 原方程至少有一个整数根， ∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k 的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数， ∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
一元二次方程有整数解的条件
一元二次方程有整数解的条件一元二次方程是初中数学中的重要内容，它的解法和应用广泛存在于各个领域。
在解一元二次方程时，我们常常需要考虑方程是否有整数解。
那么，一元二次方程有整数解的条件是什么呢？一、判别式为完全平方数对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其判别式为 $D=b^2-4ac$。
当判别式为完全平方数时，方程就有整数解。
具体来说，如果 $D=m^2$，其中 $m$ 为整数，那么方程的解为 $x=\frac{-b\pm m}{2a}$。
例如，方程$x^2-6x+9=0$ 的判别式为 $D=6^2-4\times1\times9=0$，因此它有一个整数解 $x=3$。
二、系数的约数之积等于常数项的相反数如果一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数 $a$、$b$、$c$ 的约数之积等于常数项 $c$ 的相反数 $-c$，那么方程就有整数解。
具体来说，如果 $c$ 的约数之积为 $d_1d_2\cdots d_n$，那么 $a$、$b$、$c$ 的约数之积为 $a_1a_2\cdots a_m\cdot b_1b_2\cdots b_k\cdot d_1d_2\cdots d_n$，其中 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 是 $a$ 的正约数，$b_1,b_2,\cdots,b_k$ 是$b$ 的正约数。
例如，方程 $2x^2+5x-3=0$ 的系数 $a=2$，$b=5$，$c=-3$，$c$ 的约数为 $1$ 和 $3$，因此 $a$、$b$、$c$ 的约数之积为$2\times5\times1\times3=30$，满足条件，因此方程有整数解。
三、系数的最大公约数是常数项的约数如果一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数 $a$、$b$、$c$ 的最大公约数是常数项 $c$ 的约数，那么方程就有整数解。
具体来说，如果$\gcd(a,b,c)=d$，$c$ 的约数之一为 $d$，那么方程就有整数解。
初中数学 一元二次方程的公共根与整数根
,j'_'中中中中考要求内容基本要求略高要求 :1,1代例题精讲公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴A=b 2-4ac 为完全平方数；（2）-b+b 2-4ac=2ak 或一b-b 2-4ac=2ak ，其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a 、b 、c 均为有理数）方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.【例1】求k 的值，使得一元二次方程x 2+kx -1=0,x 2+x+（k-2）=0有相同的根，并求两个方程的根.【例2】1.设a ,b ,c 为AABC 的三边，且二次三项式12+2ax +b 2与x 2+2cx -b 2有一次公因式，证明:元二次方程的公共根与整数根一元二次 方程 一元二次 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方 方程的解因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 较高要求AABC一定是直角三角形.(北京数学竞赛试题)2.三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.⑴求证：a+b+c-0；⑵求03+b3+c3的值.abc【例3】试求满足方程x2-kx-7-0与x2-6x-(k+1)-0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例4】三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.(1)求证：a+b+c-0；(2)求a3+加+c3的值.abc【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)-0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根，求ab +ba的值.a-b+b-a【例6】k为什么实数时，关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数?【巩固】若关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例7】(2007年全国初中数学联合竞赛)1.已知a是正整数，如果关于％的方程%3+(a+17)%2+(38-a)%-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.2.若k为正整数，且关于k的方程(k2-1)%2-6(3k-1)%+72=0有两个相异正整数根，求k的值.(2000年全国联赛试题)3.关于％的二次方程(k2-6k+8)%2+(2k2-6k-4)%+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.4.当m为何整数时，方程2%2-5m+2m2=5有整数解.5.已知关于％的方程4%2-8n%-3n=2和%2-(n+3)%-2n2+2=0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例8】求所有有理数r，使得方程r%2+(r+1)%+(r-1)=0的所有根是整数.【例9】1已知关于％的方程%2+(a-6)%+a=0的两根都是整数，求a的值.6.已知k为常数，关于%的一元二次方程(k2-2k)%2+(4-6k)%+8=0的解都是整数，求k的值.【例11】已知p为质数，二次方程%2-2p%+p2-5p-1=0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值.【例12】(2007—2008清华附中初三第一次月考试题)1已知12<m<40,且关于%的二次方程%2-2(m+1)%+m2=0有两个整数根，求整数m.2.若一直角三角形两直角边的长，a、b(a丰b)均为整数，且满足[a+b=m+2[ab=4m试求这个直角三角形的三边长．【例13】关于％的方程ax2+2（a-3）x+（a—2）=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.【巩固】已知方程ax2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例14】（2008年西城区初三抽样试题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.【例15】（2007—2008清华附中初三第一次月考试题）已知12<m<40,且关于x的二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m.【巩固】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例16］当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解.【例17】已知方程ax2-Q a2-8a ）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例18］若关于x的方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例19】设方程mx2-(m-2)x+(m-3)=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解.【例20】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例21】①已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.②已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 【例22】(1999年全国联赛试题)已知b,c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值．【例23】(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)1.已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+2(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明.(1993年全国数学联赛试题)2.已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x,x12及x',x',且xx>0,x'x'>0.121212⑴求证：x<0,x<0,x'<0,x'<0；1212⑵求证：b-1W c W b+1；⑶求b,c所有可能的值.3.设p、q是两个奇整数，试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.(北京市数学竞赛)4.试证不论n是什么整数，方程x2-16nx+7s=0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．【例24】求方程a3b-ab3+2a2+2b2+4=0的所有整数解.【例25】1.已知a为整数，关于％,j的方程组「+>=(a+2*的所有解均为整数解，求a的值.[xy=(a2+1)x一2a3+24.求方程x +y=3的所有正整数解.x2一xy+y275.求所有的整数对(x,y)，使x3一x2y+xy2一y3=4x2一4xy+4y2+47.【例26】设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，求m的值.【例27】(2008年西城区初三抽样试题)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2一4mx+4m2一4m一5=0的根都是整数．【例28】(2007年全国联赛试题)a是正整数，关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例29】（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛）已知a,b是实数，关于％,y的方程组卜=x3-ax2-b x有整数解（％,丁），求0,b满足的关系式.I y=ax+b【例30】（2002年上海市初中数学竞赛）已知p为质数，使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两根都是整数，求出所有可能的p的值.【例31】（2000年全国联赛）设关于x的二次方程（k2-6k+8）x2+（2k2-6k-4）x+k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.【例32】b为何值时，方程x2-bx-2=0和x2-2x-b（b-1）=0有相同的整数根？并且求出它们的整数根?【例33】（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（a-1）x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有个.【例34】（1998年全国竞赛题）求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.【例35】(1996年全国联赛)方程(%—a)(x-8)—1=0有两个整数根，求a的值.【例36】(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.【例37】(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x—拒+1)x+/n-6=0有一个整数根，则n=【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，则整数a的值是.【例40】不解方程，证明方程x2-1997x+1997=0无整数根【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根，则常数a=【例42】（1996年四川竞赛题）已知方程％2+mx-m+1=0有两个不相等的正整数根，求m的值.【例43】（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两根都是整数? 【例44】设方程mx2-（m-2）x+（m-3）=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解. 【例45】（2007年全国初中数学联合竞赛）已知a是正整数，如果关于x的方程x3+Q+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例46］若k为正整数，且关于k的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个相异正整数根，求k的值.【例47】（2008年全国初中数学联赛）设a为质数，b,c为正整数，且满足9(2a+2b-c)2=509(4a+1022b-511c)求a(b+c)的值.b-c=2。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法.常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝y xy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解.例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3 ⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p 或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p 解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130.总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有p ＋q ＝－(k 2＋ak )，①pq ＝1 999＋k 2＋ak .②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53.③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53. 不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1)x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知：当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0；①当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c .②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0，则0＜b ＜10.③又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c.④由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5；若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解.例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ①又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x 由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0. 所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解. 例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0整数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 作切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则图1⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数.由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③ 消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1. 当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解， 所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k )(9－k )分为0与不为0讨论，得k 值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx 2－(m －2)x ＋m －3＝0有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m ＝0，则2x －3＝0，此时方程无整数解；当m ≠0时，考察△＝－3m 2＋8m ＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m 2＋8m ＋4≥0. 解得3724-≤m ≤3724+.+ 因为m 是整数，故只能取1，2，3.当m ＝1时，方程有解：－2和1；当m ＝2时，方程无整数解：当m ＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x 为何有理数时，代数式9x 2＋23x －2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n ，n ＋2，问题转化为：当n 为何值时，方程9x 2＋23x －2＝n (n ＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△ ＝232＋36(n 2＋2n ＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数). 移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4 设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49. 当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52. 注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x 符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根.判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0.分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k .消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化. 例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b ) 5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
方程整数解问题的求解思路
方程整数解问题的求解思路作者：沈文选来源：《数学金刊·初中版》2009年第11期在各级各类数学中,方程整数解的问题备受关注,它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合,涉及面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.一般地,在不定方程的求解中,不定方程有无数组解. 但是,若加上限制条件如整数解等,就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解,所以下面就介绍几种常用的不定方程整数解求解法.例1方程■+■=■的正整数解的组数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解答选D. 理由:由题设得xy=7(x+y),即(x-7)(y-7)=49.又由于49=1×49=49×1=7×7=(-7)×(-7)=(-1)×(-49)=(-49)×(-1).以上6种分解法中,只有前三种有正整数解,故得正整数解有3组.例2一个直角三角形边长都是整数,它的面积和周长的数值相等. 试确定这个直角三角形三边的长.解答设a,b分别为两条直角边长,则斜边长c=■.由于a,b,c均为正整数,所以a≠b.不妨设a>b,依题意有a+b+■=■,移项后两边平方并整理得■-a2b-ab2+2ab=0,即ab-4a-4b+8=0. 从而(a-4)·(b-4)=8=1×8=2×4. 由于a,b为正整数,a>b,则a-4=8,b-4=1,或a-4=4,b-4=2.解得a=12,b=5,c=13或a=8,b=6,c=10.所以,这个直角三角形三边的长为(12,5,13)或(8,6,10).例3 求方程■=■的所有整数解.解答以x为主元,将方程整理为3x2-(3y+7)x+(3y2-7y)=0.因x是整数,则Δ=[-(3y+7)]2-4×3(3y2-7y)≥0?圯■≤y≤■?圯整数y=0,1,2,3,4,5.将y的值分别代入原方程中计算知:只有y=4或5时,方程才有整数解,即x■=5,y■=4;x■=4,y■=5.例4求满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数x,y.解答以x为主元,原方程可变形为x2-(y+2)x+y2-2y=0,由Δ=[-(y+2)]2-4(y2-2y)=-3y2+12y+4=16-3(y-2)2≥0,所以(y-2)2≤■分别代入原方程得x=2,y=4;x=4,y=2;x=4,y=4.例5方程6xy+4x-9y-7=0的整数解(x,y)= __________.解答填(1,-1). 理由:用含y的式子表示x,得2x=■,分离整式得2x=3+■,因为2x为整数,则■为整数.故3y+2为1的约数,3y+2=±1,(这种思考方法就是倍数约数分析法)即y=-■(舍去)或y=-1. 当y=-1时,x=1.例6方程4x2-2xy-12x+5y+11=0有______组正整数解.解答填2 . 理由:方程可化为y=2x-1+■,由倍数约数分析法,知2x-5是6的约数. 因2x-5是奇数,且2x-5≥2-5=-3,故2x-5=±1或±3. 若2x-5=1,则(x,y)=(3,11);若2x-5=-1,则(x,y)=(2,-3);若2x-5=3,则(x,y)=(4,9);若2x-5=-3,则(x,y)=(1,-1). 共有两组正整数解.例7 方程m2-2mn+14n2=217的正整数解(m,n)=_________.解答填(13,3),(1,4),(7,4). 理由:原方程可化为(m-n)2+13n2=217. 因为(m-n)2+13n2≥13n2,所以n2≤■n为正整数,n可取1,2,3,4.当n=1时,(m-1)2=204,无整数解;当n=2时,(m-2)2=165,无整数解;当n=3时,(m-3)2=100,有整数解,m=13;当n=4时,(m-4)2=9,有整数解,m=1或7.故原方程的正整数解(m,n)=(13,3),(1,4),(7,4).例8已知m,n是正整数,且4n2+17n-15=2m(2m+1),求n的值.解答由于2n(2n+1)-(4n2+17n-15)=-15(n-1)≤0,所以,2n(2n+1)≤4n2+17n-15. ①又(4n2+17n-15)-(2n+4)(2n+5)= -(n+35)4n2+17n-15由①②知2n(2n+1)≤4n2+17n-15又4n2+17n-15=2m(2m+1)是两个相邻正整数之积,所以4n2+17n-15=2n(2n+1)或4n2+17n-15=(2n+1)(2n+2)或4n2+17n-15=(2n+2)(2n+3)或4n2+17n-15=(2n+3)(2n+4).分别解四个方程得n=1或n=■(舍去)或n=3或n=9.故n的值为1、3或9.例9满足方程y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y)=_________.解答填(1,1)和(-1,1). 理由:原方程可化为2(x2-y)2+(y2-1)2=0. 由非负数的性质,得x2-y=0,y2-1=0. 解得(x,y)=(1,1)或(-1,1).例10求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解答将原方程配方,得(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2. 只须注意到2的正整数分解,即可求得整数解为(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)及(2,2),共6组解.例11已知方程x2-1 999x+a=0有两个质数根,则常数a=______.解答填3 994. 理由:设方程的两个质数根为x■,x■(x■例12求方程2x2-5y2=7的整数解.解答移项得:2x2=5y2+7. ①①式左边为偶数,所以y为奇数.令y=2m+1(m为整数),代入①并整理得x2=10m2+10m+6. ②②式右边为偶数,所以x为偶数,令x=2n(n为整数),代入②并整理得2n2=5m(m+1)+3. ③③式中,m(m+1)是两个连续整数之积,为偶数,这时右边是奇数,而左边是偶数,矛盾.故原方程无整数解.例13试求满足方程2x+3y=z2的非负整数x,y,z.解答若y=0,则有(z+1)(z-1)=2x,由于(z+1)-(z-1)=2,所以只能有z-1=2,z+1=4,得z=3,可得x=3,所以求得方程的一组解(x,y,z)=(3,0,3).若y>0,下面分x为奇数与偶数两种情形考虑. 当x=2k+1(k≥0,k∈Z)时,在方程2x+3y=z2两边mod 3,得z2=2x(mod 3).①因为z2≡0,1(mod 3),22k+1≡2(mod 3),所以①式不可能成立,此时方程无非负整数解.当x=2k(k≥0,k∈Z)时,有3y=(z-2k)(z+2k),又(z+2k)-(z-2k)=2k+1,所以z-2k=1z+2k=3. 两式相减,得3y=2k+1+1.②易知k=0时,y=1,得到一组解为(x,y,z)=(0,1,2).当k≥1时,2k+1≡0(mod 4),所以在②式两端mod 4后知y为偶数,设y=2n(n≥0,n∈Z),则3n-1=2,3n+1=4.得n=1,y=2,得方程的一组解为(x,y,z)=(4,2,5).综上,方程有3组解:(x,y,z)=(3,0,3)(0,1,2)(4,2,5).。
中考数学 (9)二元一次方程的整数解
初中数学 （9）二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y yy y 2515101--=-- (1) , 设k k y(51=-是整数），则y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0,y 0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y=-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y kx 5399 （k 为整数）又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==2y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题一元一次方程是初中数学中的基础知识，它是解决实际问题的基础。
在解一元一次方程时，我们通常需要求出方程的解集，而当方程的系数和常数都是整数时，我们就需要考虑整数解的问题。
一、整数解的定义所谓整数解，就是指方程的解集中只包含整数。
例如，方程2x+1=5就有整数解x=2，因为x=2是方程的唯一解，且x是整数。
二、整数解的判定对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，我们可以通过以下方法来判定它是否有整数解：1. 如果a=0且b≠c，则方程无解；2. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解；4. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a。
三、整数解的求解对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，如果方程有整数解，我们可以通过以下方法来求解：1. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；2. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解。
四、整数解的应用一元一次方程的整数解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在商场促销活动中，我们常常会遇到“满减”优惠，即满一定金额后可以减去一定金额。
如果我们设购物金额为x元，优惠金额为y元，满减条件为x≥100且y=20，则可以列出一元一次方程x-20=100，解得x=120，即购物金额至少为120元才能享受优惠。
另外，一元一次方程的整数解还可以用于解决分配问题。
例如，某公司有100个任务需要分配给10个员工完成，每个员工完成的任务数不同，但总任务数必须为100。
如果我们设第i个员工完成的任务数为xi，则可以列出一元一次方程x1+x2+...+x10=100，其中xi为整数。
通过求解这个方程，我们可以得到每个员工应完成的任务数，从而实现任务的合理分配。
综上所述，一元一次方程的整数解问题是初中数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
论文：浅谈一元二次方程的整数根问题
此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期（总第272期、教研版）上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法：➊利用判别式：整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使方程的根为整数。
例1、设m 是整数，4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值。
解：已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数。
又∵4<m<40，∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。
代入已知方程，得：x=16,26或x=38,52.综上所述，所求m 的值为12，24。
➋利用韦达定理：利用韦达定理处理二次方程有两整数根，其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a消去其中的参数，得整数根x 1,x 2的一个不定方程，解这个不定方程可求得其整数根，从而可确定方程中参数的值，最后需验证所求的参数值满足⊿≥0。
例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。
解：设x 1,x 2是方程的正整数解，则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得：5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≤x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76 又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0∴k=76为所求。
初中数学——方程思想解题实例
例 2 (2012 南京)若反比例函数 y= k 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，则 k 的值可以 x
是（ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后 会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于 0.
∴AB=CD，∠B=∠C. 若四边形 ABQP 是等腰梯形．则 AB=PQ，∠B=∠PQB, ∴CD=PQ，∠C=∠PQB ∴CD∥PQ ∴四边形 PQCD 为平行四边形 ∴PD=CQ . 而 PD=AD-AP=10-t×1=10-t；CQ=t×3=3t,则 10-t=3t, 解得 t=2.5．
前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据 题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形 ABQP 能成为等腰梯形，则 PD=CQ，建立相关的等式，若能解出符合题意的值，则存在，然后再顺向写出过程
前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角 和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列 方程解决此类问题。
课堂练习： 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为_______. 2.等腰三角形两角的度数之比为 4:1，其内角的度数分别为_______. 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠A=_______． 4. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，将△BOC 绕点 C 按顺时针
知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手适当设定未知数把所研究的数学问题中已知和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化方便解题我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程二元一次方程组分式方程一元二次方程感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力
初中数学 什么是一元二次方程的整数解
初中数学什么是一元二次方程的整数解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
整数解是指能够使方程成立的整数值，即满足方程的x 值为整数。
要确定一元二次方程的整数解，我们可以使用以下方法：1. 因式分解法-如果一元二次方程可以被因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式，其中m和n都是整数，那么方程的整数解就是m和n。
-例如，方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，所以方程的整数解是2和3。
2. 求根公式法-如果一元二次方程无法通过因式分解来求解，我们可以使用求根公式来计算方程的解。
-一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
-在使用求根公式时，我们需要保证判别式D（即b² - 4ac）是完全平方数，这样才能得到实数解，其中a、b和c都是整数。
-如果判别式D是完全平方数，那么方程的解可以通过求根公式计算得到，并且解是整数解。
-例如，方程x² - 7x + 10 = 0，判别式D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9，9是完全平方数。
-通过求根公式计算得到x = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2，所以方程的两个解分别是5和2，都是整数。
3. 综合判断-除了以上两种方法，我们还可以综合使用因式分解和求根公式的思想来判断方程是否有整数解。
-如果方程无法通过因式分解且判别式D不是完全平方数，那么方程没有整数解。
-例如，方程x² - 6x + 8 = 0，无法因式分解，判别式D = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4，4不是完全平方数。
初中数学人教版八年级上册探究分式方程的解法
x2 1 0
1、已知分式
2x3 x2 1
,当
x
=±1 时,
分式无意义.
x(x 3)
2、分式
2(xx23)与
3 x2 3x
的最简
公分母是 2x(x 3) .
第二关：记忆力比拼
1、忆概念：什么是一元一次方程?
2知、数忆只的解含式法有子：一都个是x未整3x知式2 数， ，未x 5并知x1且数含的1有次未数
是解1：，去这分样母，的得方5程(x叫 2一) 元3(x一1次) 方15程。
去括号，得 5x 103x 3 15
移 项，得
5x 3x 15 310
合并同类项，得
2x 28
系数化为1，得
x 14
第三关：小试牛刀
分式方程：分母里含有 未知数的方程
整式方程：分母里不含有 未知数的方程
下列方程中，不是分式方程 的是（ C ）(A) 2 3
x x2 (B) 3 3
5 x2 (C) 7 2x 1
35 (D) 3 4
5x 1 x 5
x 1
3
x 1 (x 1)(x 2)
解：方程两边乘（ x 1）(x 2)， 得
x(x x2()x(x2)11)(x 3 2) 3
分式方程必须检验 !
归纳：解分式方程的一般步骤如下：
去分母
分式方程
整式方程
解整式方程
目
标
xa
a是分式方程的解
最简公分母 不为0
检验 最简公分母
a 不是分式方程的解
为0
解方程：
（1）
x 3 5
x5
பைடு நூலகம்
5 x
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故
a b c 或3
a b c 29
评注：从跟与系数关系中利用韦达定 理，然后把参数消去，得到的 是关于x1，x2的不定方程，而求 解这个对称的不定方程往往是 容易入手的。
方法六 巧用主元更换
例6：若关于 x 的方程 ax2 （ 2 a 3）x （a 13） 0 至少有一个整数根，求非负整数 a 的值。
方法四 巧用判别式法 例4： 关于x的方程 ax2 2(a 3)x (a 2) 0
至少有一个整数a 解，且 a 是整数，求 a 的值．
解： 当 a 0 时，原方程变成 6x 2 0 ，无整数解． 当 a 0 时，方程是一元二次方程， 它至少有一个整数根，
说明判别式 ＝4(a 3)2 4a(a 2)＝4(9 4a) ， 为完全平方数，从而 9 4a
解： 当 a 0
时，6x 13 0
，解得
x 13 6
当 a 0 时，由 ax2 （ 2 a 3）x （a 13） 0
化简得 因此
(x 1)2 a 6x 13
a 6x 13 1 (x 1)2
解得
因为 所以 得到
2 x 6
为x整数， x 1
的x值可取 -2，0，1，2，3，4，5，6。
综上所述，a的值为2，-4，-10。
评注： 因为整系数二次方程有整数 根，所以Δ必为完全平方数。既要用 判别式是平方数，又要用直接求根， 可通过恰当的引元、引入参数，利用 因式分解等有关知识求解，因此往往 是几种方法一同使用。
方法五 巧用韦达定理
例5 已知关于 x 的一元二次方程 x2 cx a 0
x y
x0 y0
bk ak
（ x0 , y0 可用观察法）
求二元一次方程的正整数解方法： ①、给出整数解的通解，再解x , y的 不等式组，确定k值 ②、用观察法直接写出。
评注: 分析方程的形式特点，
利用以上例题整除的概念， 先用观察得到一个特解，
，再用通解
x x0 bk
y
y0
ak
使问题简化。
方法三 巧用因式分解 1.方程 x4 2y x2 4x2 2y 5 0 的正整数解有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
解： 原方程可化为 x4 x2 (2y 4) (2y 5) 0
可得
x2 (2y 5) (x2 1) 0
Q x2 1 0
x2 2y 5
a 得值为 1，13。
评注：当一个方程按照常规意义求解比 较困难时，可通过观察方程的 结构特征，选择更换主元，使方 程次数和结构形式发生变化，从 韦达定理得出的 a 的两个关系式 中消去 a 也较困难，又因 a的次 数低于x的次数，故可将原方程
变形为关于a的一次方程。
的2个整数根恰好比方程 x2 ax b 0 的2个根都大1，求 a b c 的值。 （2011年全国初中，数学竞赛题）
解： 设方程 x2 ax b 0 的2个根分别为 x1 ， x2 ，其中 x1，x2 为 整数，且 x1 x2 ，则方程 x2 cx a 0 的2个根为 x1 1, x2 1 ，由题意可得
x k 215k 11k 2
∴ 原方程所有的整数解是
x 11k 2
y
1
5k
（k是整数）
评注：一般来说，可以先把方程的
根求出来(如果比较容易求的 话)，然后利用整数的性质以 及整除性理论，就比较容易 求解问题。
方法二 巧用公式求解
例2 设
ax by c
有整数解
x
y
x0 y0
则通解是
x1 x2 a, (x1 1)(x2 1) a
两式相加得 x1x2 2x1 2x2 1 0
即
(x1 2)(x2 2) 3
解得 又因为
x1 x2
1 ,
1
x1 x2
5 3
a (x1 x2),b x1x2,c (x1 1) (x2 1)
所以
a 0,b 1,c 2; a 8,b 15, c 6
中学方程整数解问题的解法探究
主要贡献
整数问题存在于
1
二次方程整数解问题
备受关注，它将古老的
数
整数理论与传统的初中
学
数学知识相结合，涉及
教
知识面宽、范围广，需
学
要灵活地运用相关概念、 中
性质、方法和技巧，综
ห้องสมุดไป่ตู้
合性强，对学生的能力
有较高的要求 。
2
考 试 中
3
数 学 课 外 活 动 中
4
数 学 竞 赛 中
因此 x为奇数,不妨设 x 2k 1 （k为自然数），
代入上式得
k2 k 1 2y2
因为与k 2 k 的奇偶性相同，所以 k2 k 1是奇数，
不能被偶数整除，因此 2y2 只能为1，从而 x 3, y 2
所以原方程只有一组解，故选A。
评注: 分析方程的形式特征，可采用 因式分解、求根公式等方法得 方程根，在结合整除性质和奇 偶性等进行求解。
方
巧用整除法
程
整
巧用公式求解
数
解
巧用因式分解
问
题
巧用判别式法
的
解
巧用韦达定理
法
巧用主元更换
方法一 巧用整除法 例1 求方程 5x 11y 1 的整数解。
解： x 111y 1 y 10 y 1 y 2y
(1)
5
5
5
1 y k(k 是整数），则
5
y 1 5k (2)
把（2）代入（1）得
是完全平方数． 令 9 4a n2
则n是正奇数。
且
n （3 否则
a 0），所以
9 n2 a
4
由求根公式得
2(a 3) 2n
3n
4(3 n)
x1,2
2a
1 a 1 9 n2
所以
x1
1
4 3
n
,
x2
1
4 3n
要使 x1为整数，而。n为正奇数，
只能n=1，从而 a 2
要使 x为2 整数，即n-3｜4，n可取1，5，7， 从而 a 2， 4，10