微分几何练习题库及参考答案已修改

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+r r r ． 2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0

lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ． 3．已知{}4

2r()d =1,2,3t t -⎰r ， {}64

r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r ，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r r r r {}3,9,5-.

4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r ．

5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212

t a c +r r ． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .

11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠r r r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.

12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则

4

()d f g dt dt ⋅=⎰r r 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r 在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r 在0t =点的切向量为{}0,,a a ．

15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为{}0,,a b ．

16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111

-=--

=-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x .

18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.

19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.

20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.

21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .

22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2,sin u t v t ==，则

dr d t =r {}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r ，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d t ϕθ=r {}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠r r r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．

26．平面{}r(,),,0u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．

27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r 第一基本量是

22cosh 0,cosh E u F G u ===，．

28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是

2

.

29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．

30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．

31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 ．

32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是

22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或．

33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是

(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r 或．

34.λ是主曲率的充要条件是0E L F M F M

G N λλλλ--=--． 35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是

2

2d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M v E F G F u G v M u N v L M N

-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则

n n dn k dr k =-r r ，其中是沿方向(d)的法曲率．

37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P

点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率．

39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．

41．正交网时测地线的方程为

d ds du ds dv ds

θθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .

二、单项选择题

1．已知{}(),,t t r t e t e -=r ，则r (0)''r 为（ A ）．

A. {}1,0,1；

B. {}1,0,1-；

C. {}0,1,1；

D. {}1,0,1-.

2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r 为（ C ）．

A. ta λr ；

B. a λr ；

C. t e a λr ；

D. e a λr . 其中a r 为常向量．

3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．

A ．切线与固定方向成固定角；

B ．副法线与固定方向成固定角；

C ．主法线与固定方向垂直；

D ．副法线与固定方向垂直．

4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）

A ．至少有两个；

B ．只有一个；

C ．只有两个；

D ．可能没有.