无穷递缩等比数列的和
无穷等比数列各项的和-沪教版精品PPT教学课件
图3
解 (1 ) ： 每个图形 在中 后的 一一 个 条 条 图 线
N 1 3 ,N n 4 N n 1 (n 2 ) N n34n 1 .n ( N *)
2020/12/6
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例5： 设 图 中 的 等 边 三 的 角 边 形 长1， 为 并 分 别 将 图(1)(2)(3)中 的 图 形 依 次M记 1,M作2,M3, (1)求Mn中 的 边N数n;(2)求Mn中 每 条 边 的T长 n; 度 (3)求Mn的 周 长 Ln;(4)求Mn所 围 成 的 面 An;积 (5)求 周 长 和 面 积 的 . 极 限
把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段，为边向外作 等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4, …)
2020/12/6
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例5： 设 图 中 的 等 边 三 的 角 边 形 长1， 为 并 分 别 将 图(1)(2)(3)中 的 图 形 依 次M记 1,M作2,M3, (1)求Mn中 的 边N数n;(2)求Mn中 每 条 边 的T长 n; 度 (3)求Mn的 周 长 Ln;(4)求Mn所 围 成 的 面 An;积 (5)求 周 长 和 面 积 的 . 极 限
边长Tn T1 1
3
12
48 …
11 3 T1 3
11 3 T2 32
1 1…
3 T3 33
增加的 每个小 三角形 的面积
A1
A1
A1
9
92
93
…
曲线所围 A 1
面积
2020/12/3
A4
A2
12
A1 92
A3
48
A1 93
…
Nn
3 4n1 N n1
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数)称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数)等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
n趋于无穷时等比数列前n项和公式
n趋于无穷时等比数列前n项和公式随着n越来越大，等比数列的前n项和会逐渐趋近于一个固定的值。
这个值被称为等比数列的无穷和，是一个对该数列总和的估计。
下面我们来看一下，当n趋于无穷时，等比数列前n项和的公式以及它的推导过程。
1. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：S_n = a(1-q^n)/(1-q)其中a为等比数列的首项，q为等比数列的公比，n为求和的项数。
当n趋于无穷时，公式的分母1-q不等于0，因此该公式也适用于等比数列的无穷和。
等比数列的无穷和公式为：S_∞ = a/(1-q)2. 推导过程等比数列的定义是每一项与它前一项的比值都相等。
因此，我们可以将等比数列表示为：a, aq, aq^2, aq^3, ...其中a为首项，q为公比。
我们可以通过对等式两侧乘以公比q来得到下一个数列项，如下所示：aq, aq^2, aq^3, aq^4, ...注意，乘以公比q相当于将前一项乘以q。
因此，我们可以将等式两侧的数列合并如下：a, aq, aq^2, aq^3, (1)aq, aq^2, aq^3, aq^4, (2)如果我们将式子(1)减去式子(2)，我们可以得到S_n - qS_n = a - aq^n+1这个式子可以通过移项得到等比数列前n项和公式，如下所示：S_n = a(1-q^n)/(1-q)当n趋于无穷时，q的n次方会趋近于0，因此等式右侧的分数将趋近于1/(1-q), 公式就变成了等比数列的无穷和公式：S_∞ = a/(1-q)以上是等比数列前n项和公式的推导过程。
总结等比数列前n项和公式为S_n = a(1-q^n)/(1-q)。
当n趋于无穷时，等比数列的前n项和会趋近于一个固定的值，它被称为等比数列的无穷和，公式为S_∞ = a/(1-q)。
以上是等比数列前n项和公式的推导过程，希望能对大家有一些帮助。
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数)称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数)等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
无穷递降等比数列求和公式
无穷递降等比数列求和公式
一个无穷递降等比数列的通项公式为：
an = a1 * r^(n-1)
其中an表示第n项，a1表示第1项，r表示公比。
公比r的值小于1，这保证了数列是递降的。
那么，我们来计算一个无穷递降等比数列的和。
首先，我们假设数列的第一项为a1，公比为r。
根据等比数列的通项公式，我们可以得到前n项的和Sn为：
Sn=a1+a1*r+a1*r^2+...+a1*r^(n-1)
接下来，我们将Sn乘以公比r：
r*Sn=a1*r+a1*r^2+a1*r^3+...+a1*r^n
然后，我们两式相减：
Sn-r*Sn=a1-a1*r^n
化简得到：
Sn*(1-r)=a1*(1-r^n)
因为公比r小于1，所以r^n会趋近于0。
当n趋近于无穷大时，r^n 几乎为0。
因此，上式可以进一步化简为：
Sn=a1/(1-r)
这就是一个无穷递降等比数列求和的公式。
使用此公式，我们可以不
必计算无穷多项的和，只需要给定第一项的值a1和公比r，就可以得到
数列的和。
需要注意的是，由于数列是无穷递降的，所以公比r的绝对值必须小
于1，否则数列会变成无穷增大的等比数列。
举例来说，我们计算一个无穷递降等比数列的和。
假设第一项a1=2，公比r=0.5、代入公式我们得到：
Sn=2/(1-0.5)=2/0.5=4
所以，这个数列的和为4
总结起来，无穷递降等比数列的求和公式是Sn=a1/(1-r)，其中a1
表示第一项，r表示公比。
这个公式可以帮助我们计算无穷递降等比数列
的和，而不需要计算无穷多项。
无穷等比递缩数列求和公式
无穷等比递缩数列求和公式在咱们从小到大的数学学习之旅中，有一个特别有趣的家伙，那就是无穷等比递缩数列求和公式。
先来说说啥是无穷等比递缩数列哈。
简单讲，就是一个数列，它既是等比数列，而且公比的绝对值还小于 1 。
比如说，有这么个数列：1/2 ， 1/4 ， 1/8 ， 1/16 ......这就是一个公比为 1/2 的无穷等比递缩数列。
那这个求和公式到底是啥呢？它就是 S = a₁ / (1 - q) ，这里的 a₁是数列的首项， q 是公比。
还记得我上高中那会，有一次数学课，老师在黑板上写下了一个无穷等比递缩数列，让我们自己推导求和公式。
我当时那叫一个抓耳挠腮啊！看着那一堆数字，脑子就像浆糊一样。
但是，我咬着牙，不停地在草稿纸上写写画画。
旁边的同桌也和我一样，眉头紧皱，嘴里还不停地嘟囔着：“这到底咋整啊！”就在我几乎要放弃的时候，突然灵光一闪，想到了之前学过的等比数列的通项公式，然后一步一步地推导，嘿，还真让我给弄出来了！那种成就感，简直爆棚！咱们再来说说这个公式的用处。
它在很多实际问题中都能派上大用场呢！比如说，在计算无限复利的问题上，如果每年的利率是固定的，而且是复利计算，就可以用这个公式来算出最终的本息和。
还有在物理学中，研究一些衰减的现象，像阻尼振动啥的，也能用到。
而且哦，这个公式还能帮助我们更好地理解极限的概念。
当数列的项数趋近于无穷大时，和会趋近于一个定值，这多神奇啊！再举个例子，假设一个工厂生产的产品，每年的次品率都在降低，第一年次品率是 10% ，以后每年次品率都是前一年的一半。
那如果一直这样下去，从长远来看，平均次品率就可以用这个无穷等比递缩数列求和公式来算。
总之，无穷等比递缩数列求和公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们好好琢磨，多做几道题，就能发现它其实挺好玩的，用处还特别大！希望大家在学习数学的道路上，都能和这个公式成为好朋友，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣！。
八年级数学等比数列求和知识点
八年级数学等比数列求和知识点
等比数列求和知识点等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q 1)
任意两项am，an的关系为an=amq^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2==akan-k+1，k{1,2,,n}
(4)等比中项：aqap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是同构的。
等比中项定义：从第二项起，每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。
(5)无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列的前n 项和，
当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。
高二数学无穷递降等比数列求和公式_公式总结
高二数学无穷递降等比数列求和公式_公式总结
除了课堂上的学习外，平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径，本文为大家提供了高二数学无穷递降等比数列求和公式，祝大家阅读愉快。
无穷递减等比数列
a,aq,aq^2aq^n
其中，n趋近于正无穷，q1
注意：
(1)我们把|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n的极限，即S=
S=a/(1-q)
算法
想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式
设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时
Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)
将这个式子两边同时乘以公比q，得
qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n
两式相减，得
(1-q)Sn=a1-a1q^n
所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)
对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式
S=a/(1-q)
小编为大家整理的高二数学无穷递降等比数列求和公式就到这里了，希望同学们认真阅读，祝大家学业有成。
等比数列无穷级数求和公式
无穷等比数列求和公式
无穷等比数列求和公式：Sn=（a1-an×q）/（1-q）。
我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在。
S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn 当n→∞的极限，即S=a/（1-q）。
无穷等比数列的公比要求要是绝对值小于1的数，这样当n趋向无穷时候q^n趋向于0，等比数列就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q，每相邻的两项比值相等，比如1，2，4，8，16，后项与前项的比值都是2。
每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
若通项公式变形为an=a1/q*q^n（n∈N*），当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n, an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
an是n的一次数函（d≠0）或常数函数（d=0），（n，an）排在一条直线上，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。
人教A版高中数学必修五学教案集数列求无穷递缩等比数列的和,
第二十教时教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。
过程： 一、例题：例一、已知等比数列 ,21,81,41,21n ，求这个数列的前n 项和；并求当∞→n时，这个和的极限。
解：公比 21=q , n n nn q q a S 211211])21(1[211)1(1-=--=--= 101)21(1)211(lim lim lim =-=-=-=∴∞→∞→∞→n n n n n n S 解释：“无穷递缩等比数列”1︒ 当∞→n 时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n 项）2︒ 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3︒ 数列{a n }本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n 项和是qq a S n n --=1)1(1当∞→n 时， )1(11)1(lim lim lim lim 11n n n n n n n q q aq q a S S -⋅-=--==∞→∞→∞→∞→ qa S -=∴11其意义与有限和是不一样的 例二、求无穷数列 ,0003.0,003.0,03.0,3.0各项和。
解：1013.003.0,1033.01====q a 31931011103==-=∴S例三、化下列循环小数为分数： 例四、1．⋅⋅31.2 2．⋅⋅1231.1解：1．991329913210011100132100001310013231.2=+=-+=+++=⋅⋅ 2．333441999013201101110000131.11032110321103211.11231.131074==-+=++++=⋅⋅小结法则： 1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。
高中数学无穷递降等比数列求和公式
高中数学无穷递降等比数列求和公式无穷递减等比数列a,aq,aq^2……aq^n其中，n趋近于正无穷，q<1注意：(1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存有，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存有的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)等比数列求和公式算法想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式S=a/(1-q)高中数学选择题解题方法一、直接法直接从题设的条件出发，使用相关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。
二、特例法包括选择符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。
这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率极大的方法。
三、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地表现，降低思维难度，是解决数学问题的有力策略。
四、估值判断有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，对数值实行估算，或者对位置实行估计，就能够避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
五、排除法(代入检验法)充分使用选择题中的单选的特征，即有且只有一个准确选项这个信息，通过度析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的的一种解法。
最新课件-无穷等比数列各项的和 推荐
33 16
( 4)n1 9
An
An1
33 16
( 4)n1 9
334
A2 A1
16
9
A3
A2
33 16
(4)2 9
A4
A3
33 16
(4)3 9
An
A1
33 16
4 [1 (4)n1] 99
1 4
9
An
2
3 5
33 20
( 4 )n1 9
An
An1
33 16
( 4)n1 9
(5)由Ln
3
… Mn
图3
边数 Nn N1 3 34 12 124 48 484 192 …
增加三角 形的个数
边长Tn T1 1
3
12
48
…
1 3
T1
1 3
1 3
T2
1 32
1 3
T3
1 33
…
增加的 每个小 三角形 的面积
A1
A1
A1
9
92
93
…
曲线所围 A1
面积
A2
A1
3
A1 9
A3
A4
A2
所有正方形的周长：l 4 a1 1q
4 1 8 4 2. 1 2 2
所有正方形的面积：S
a12 1 q2
1 1 1
2.
2
例4：如图，在RtABC内有一系列的正方形，
它们的边长依次为a1, a2,, an ,, 若AB a, BC 2a,
求所有正方形的面积的和.
A
解： a a1 a1
把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段，为边向外作 等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4, …)
无穷等比数列各项的和
数学数列的知识点必看
数学数列的知识点必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲练的。
下面是小编给大家整理的一些数学数列的知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
高中数学无穷递降等比数列求和公式无穷递减等比数列a,aq,aq^2……aq^n其中，n趋近于正无穷，q<1注意：(1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)等比数列求和公式算法想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式S=a/(1-q)高中数学选择题解题方法一、直接法直接从题设的条件出发，运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。
二、特例法包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。
这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
三、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，降低思维难度，是解决数学问题的有力策略。
四、估值判断有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式是指，当首项为a1、项数为n、公
比为q的无穷递缩等比数列的和为：Sn=a1*(1–q^n)/(1–q)。
下面以一道竞赛题来证明这个公式：
某学校的体育考试有三道习题，A、B、C三人参加考试，在抽签后，A、B、C依次抽取了第一题、第二题、第三题，当A、B、C又各自完成
了三道习题后，最终获得了20分、28分、36分的成绩，那么他们三
人总共获得的分数之和是多少？
要解答这道题，需要把分数视为一个无穷递缩等比数列，其中首
项a1的值为20，公比q的值为8，项数n的值为3。
根据公式，A、B、C三人总共获得的分数之和为 Sn = 20 * (1-8^3)/(1-8) = 20 * 1/7
= 20 * 7/7 = 140 分。
因此，A、B、C三人总共获得的分数之和是140分。
以上题目证明了用无穷递缩等比数列求和公式的正确性，即：
S=a1*(1–q^n)/(1–q)。
无穷等比数列各项的和
6 5
n 1
, (n N )
*
则 lim (a1 a2 an ) (
（法2 an an1 ）
n
6 5
n1
5 5 bn 5 an , 则5bn bn1 6 bn1 1 5(bn 1)
a1 1 q .( q 1)
即无穷递缩等比数列各 项的和公式为 S
例1 ：化下列循环小数为分 数：
(1)0. 29
(2)0.431
( 3)0. 9
解： )0.29 0.292929 (1
0.29 0.29 0.01 0.29 (0.01) 0.29 (0.01)
)(
1 2
1 3
) (
2005
lim S n lim [ S 2005 ( a 2006 a 2007 S n )]
n
2005 2006
1
2 3 1 3
1 2006
.
例 2：若数列
n
a n 满足
a1 lim a n .
n
S
a1 1 q
4 q 1
a1 4
.
a1 1且1 a1 0,
又 q 1且q 0 1
0 a1 8且a1 4,
4 4 a1 1 1 1且a1 4 4
a1 (0,4) (4,8).
例3：如图：正方形 ABCD的边长等于 ，连接这个正方形 1 各边的中点得到一个小 正方形A1 B1C1 D1 ; 又连接这个小正 方形各边的中点得到一 个更小的正方形 2 B2C2 D2 ; 如此无 A 限继续下去，求所有这 些正方形的周长的和与 面积的和 .
等比数列求和公式
等比数列求和公式等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an 看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
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无穷递缩等比数列的和奉化中学(315500) 杨亢尔1.教材分析本节课题取材于人教版普通高中《数学》第三册（选修Ⅱ）第二章“数列”阅读材料----无穷等比数列的和，其主要内容是无穷递缩等比数列的求和公式及简单应用。
教材在前面已介绍了数列的有限项的和，利用极限这个工具，不难将有限和转化到“无限和”。
这样引伸，既符合学生的认知规律，也有助于加深体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想。
本课内容蕴涵着丰富的数学思想方法和广泛的实际应用，对于开扩学生思路，激发学习数学的兴趣，都能起到较好的作用。
新编教科书增加“阅读材料”，不仅是为了扩展学生的知识，培养学生学习数学的兴趣，更重要的是为了充分展现数学的科学价值和人文价值。
如何指导学生自学阅读并深入研究，最大限度地发挥其功能，是教师应该认真思考和对待的问题。
2.学情分析无穷递缩等比数列及其它无穷数列的求和问题，主要用到数列求和方法、等比数列的求和公式、数列极限的概念及运算法则等知识，这些内容学生理解起来并不困难。
无穷递缩等比数列求和公式的应用也十分广泛，对本节内容进行适当的拓展研究，通过学习、总结、探究和反思，挖掘出具有较深层次的知识，既丰富知识内容，完善知识结构，提高解题能力，也符合“源于教材，高于教材”的教学原则。
3.教学目标1、理解数列的前n的和与所有项的和的联系与区别，掌握无穷递缩等比数列的求和公式的推导，能利用无穷递缩等比数列的求和公式解决某些简单问题；2、进一步提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，提高学生的阅读能力、观察能力、归纳能力，培养学生获取数学知识和应用数学的能力，培养交流合作精神；3、培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，在解题教学中揭示生活哲理，体会数学的人文价值，丰富学生的人文素养。
4.重点难点本课的重点是通过问题的探讨和公式的推导及应用，培养学生掌握运用在获取数学知识中的重要数学思想方法，体会数学的价值；难点是引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题；关键是创设问题情景，激发学习兴趣，把教学过程设计为一个实践探索的过程。
5.设计思想本课设计的指导思想是着眼于提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，充分展现数学的人文价值，增强课堂教学的启发性和探究性，改变传统的“灌输式”学习模式，采用学生动手、讨论、探索，教师指导尝试的方法，通过故事引入、小组合作、交流讨论、阅读材料、自编习题、归纳分析等多种形式，发挥学生的主体作用，精心设计，创造良好情景，去深入体会数学中的一些重要思想方法和数学的文化价值，提高学生的思维品质和学习能力。
6.教学过程师：我们先来了解著名的古印度“分牛传说”。
古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。
”话音甫落，老人就咽了气。
按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头地分，而先人的遗嘱必须无条件遵从。
那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人。
他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助。
兄弟三人无法可想，只得诉诸官府，请求公断，官府老爷也是目瞪口呆，一推了之。
三兄弟急得走投无路，却计无所出……师：同学们，我们能否用学过的数学知识帮助三兄弟解决这一难题？（学生讨论、交流、发言）师：这个故事有的同学曾经听说过，结局是这样的：三兄弟为分牛一事绞尽脑汁，有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由。
老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传。
师：同学们对故事中的老农有何评价？生：“智慧老人”！生：称得上一位数学家。
师：都不错！但同学们更应看到，这虽是一道数学题，却隐藏着丰富的社会和人生奥秘，社会乃至人生中的许多难题，有时只靠自身的元素或力量是难以解决的，这时，我们若能打开视野，借助一个外来的力量，难解的问题也许会变得出奇的简单！【评注】数学教学的形式多种多样，教师如果仅满足于就题论题，学生的解题水平或许会有所提高，但学生的人文素养难免“营养不良”。
教师要善于抓住时机，利用一些经典案例，去揭示生活中蕴涵的深邃哲理，给学生以启迪。
生：我对这个分牛方案有疑议，老大似乎只该分9.5头，最后他怎么得了10头呢？ 师：这位同学问得好！我相信其他同学也会有此疑问，运用无穷递缩等比数列求和的知识，可以验证分牛方案是否合理。
请同学们先看课本P93-P94上的阅读材料。
（学生看书、讨论、交流）出示课题：无穷递缩等比数列（1<q ）的和设有无穷数列{}n a ,即,,,321a a a …，n a ，…记数列{}n a 的前n 项的和为n S ，即++=21a a S n …n a +，如果数列{}n S 存在极限，S S n n =∞→lim ，则称S 是数列{}n a 的和，记作 ++=21a a S …++n a …∑∞==1n n a .师：注意，S 与一般的n S 不同，n S 表示数列{}n a 前n 项的和，是有限项的和，而S 是这个数列前n 项和的极限，它表示数列{}n a 所有项的和。
对于无穷递缩等比数列（1<q ）,,,2111q a q a a …,,11-n q a … 由,1)1(1qq a S n n --= 0lim =∞→n n q 可得 qa q q a q q a S n n n n n n -=--=--=∞→∞→∞→1)lim 1(11)1(lim lim 111 即 qa S -=11. 无穷递缩等比数列各项的和只与首项、公比有关。
师：现在，我们再回过头来看看分牛问题中三兄弟到底可以得多少头牛。
我们知道，19头牛中，老大分192头，老二分194头，老三分195 头，加起来是19(12+14+15)=192019⋅<19，兄弟三人并未把牛分完，还余下19(1－1920)= 2019（头）。
对余下的1920 头牛，按遗嘱规定比例再分，老大分201921⋅头，老二分201941⋅头，老三分201951⋅头。
这样，还余下1920(1－1920)=22019头没有分完，按遗嘱规定比例继续分下去，老大分2201921⋅头，老二分2201941⋅头，老三分2201951⋅头，可见还余下19202(1－1920)=32019头没有分完……从以上分析可知，这样分下去永远没有穷尽，但每次的剩余越来越少。
不妨设老大分得S 1头牛，则+⋅+⋅+⋅+=321201921201921201921219S (1020)11219=-=. 这就说明老大分得10头牛是符合遗嘱规定的。
类似地，我们可以验证，老二、老三各分得5头、4头牛也是符合遗嘱规定的。
因此，这种分牛方案是完全合理和公平的。
师：“分牛传说”给你有何启示？生：有助于我们认识 “有限”与“无限”的辩证关系，深入体会极限的概念和思想。
师：很好！从阅读材料来看，无穷递缩等比数列的求和公式又有哪些应用？请各小组自己编题，并加以解答。
（小组活动，教师巡视）生：应用之1，求无穷递缩等比数列的和，如 无穷等比数列,81,41,21…,21n ...各项之和 +++=814121S ...++n 21 (12)1121=-=。
师：不错，我们还可从右上图示中看到，图中各个矩形和小正方形的面积之和（图中阴影部分）的极限等于正方形面积。
生：应用之2，循环小数化分数，如○1777.07.0=∙…+++=007.007.07.0…971.017.0=-=； ○2343434.043.0=∙∙…+++=000034.00034.034.0…993401.0134.0=-=； ○32313131.0132.0=∙∙...++++=0000031.000031.0031.02.0 (990)22901.01031.02.0=-+=； 师：很好！从以上几个小题大家是否发现循环小数化分数的一般性规律？生：循环小数的小数部分化分数，分母中9的个数等于循环节的个数，未循环的小数位数用0替补，分子的值等于小数点后整数部分减去未循环的整数部分。
师：非常棒！这位同学的观察能力和归纳能力值得我们好好学习。
生：应用之3，求一类几何图形的面积之和，如下图正三角形的边长等于1，连结正三角形各边中点得到一个小正三角形，又连结小正三角形各边中点得到一个更小的正三角形，如此无限继续下去，则这些正三角形面积构成以431=a 为首项、41=q 为公比的无穷等比数列， 所有这些正三角形面积的和是3311=-=q a S 。
小结：本节课我们从著名的“分牛传说”入手，对无穷等比数列的求和问题进行了深入探讨，并通过构造习题说明其简单应用．“阅读材料”不仅可以扩展我们的知识结构，还可以帮助我们充分领略数学的科学价值和人文价值，提高学习自觉性和培养学习数学的兴趣．我们要善于阅读，深入体会内中蕴涵的一些重要数学思想方法，培养交流合作精神．在解题中揭示生活哲理，丰富人文素养，提高思维品质和学习能力。
练习与作业：1．计算11)31(913112141211lim --∞→-+⋅⋅⋅-+-+⋅⋅⋅+++n n n ； ２．比较∙9.0与1的大小； ３．求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2(1n n 前n 项之和与所有项之和； 4．一个公比绝对值小于1的无穷等比数列的所有项和等于2，它的各项平方所组成的数列的所有项和等于 ，求这个数列各项立方所组成的数列的所有项和。
5．正方形1111D C B A 内接于单位圆1O ，圆2O 内切于正方形1111D C B A ，正方形2222D C B A 内接于单位圆2O ，圆3O 内切于正方形2222D C B A ，正方形3333D C B A 内接于单位圆3O ，…，如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积之和。
7.知识结构明线：暗线：通过学习培养能力，发展智力，体会数学的价值.8.问题探讨(1)这节课的内容来源于不作教学要求的“阅读材料”。
本人以为，“阅读材料”与本套教科书的另两个专题性栏目“研究性课题”、“实习作业”，有一定的共同之处。
在教学中安排一定的时间给予关注，引导学生把数学知识应用到相关学科和社会生活、生产的实际中去，对于扩大学生的知识面，提高学习数学的兴趣，培养他们解决实际问题的能力,体会数学的价值，无疑是大有裨益的。
(2)古印度的“分牛传说”学生可能并不陌生，分牛方案的数学原理就是无穷递缩等比数列的求和问题，教师如果只把它作为一个数学应用的例子教给学生，就失去了一次很好的对学生进行德育教育的良机。