带电粒子在圆形磁场区域的运动规律

带电粒子在圆形磁场区域的运动规律

处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。

规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。

规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。

以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：

例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内

存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L

的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =

2

12

1at L =

，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为

0v at v y ==，1tan 0

==

v v y α 故045=α，粒

子在磁场中的速度为02v v =

，应用规律二，圆

心角为：0

902=α，画出的轨迹如图2所示，

由r

mv Bqv 2

=，由几何关系得L r 2=

得：

2

v B E = （2）在磁场中运动的周期v

r

T π2=

粒子在磁场中运动时间为0

2241v L T t π==

图

2

图1

得

4

12π

=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。从0点向不同方向发射速率相同的电子，电子的运动轨迹均在纸面内。已知电子的电量为e ，质量为m ，电子在磁场中的偏转半径也为r ，不计重力及阻力的作用，求：

（1）电子射入磁场时的速度大小； （2）速度方向沿x 轴正方向射入磁场的电子，到达y 轴所

需的时间；

（3）速度方向与x 轴正方向成30°角（如图3中所示）

射入磁场的电子，到达y 轴的位置到原点O 的距离 解析：（1）电子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提

供向心力

由r v m evB 2=得：m

eBr

v =

（2）电子沿x 轴正方向，即沿径向射入磁场，必沿径向射

出，又电子在磁场中的偏转半径也为r ，应用规律一可画

出运动轨迹如图4，即电子在磁场中经历了4

1

圆弧，以速度v 垂直于电场方向进入电场，由于eB m

v r T ππ22=

=，所以，电子在磁场中运动的时间为eB

m

T t 241π==

电子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动r 后达到y 轴，因此有

2

221at r =

eE mr

a r t 222==

所求时间为eE

mr

eB

m

t t t 2221+

=

+=π （3）电子速度方向与x 轴正方向成30°角，电子在磁场中的偏转

半径和区域圆的半径都为r ，应用规律二可清晰、准确画出带电粒子的圆周运动的轨迹，如图5所示，可以看出电子在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场方向进入电场，P 点距y 轴的距离为

r r r x 5.130sin 1=︒+=

设电子从进入电场到达到y 轴所需时间为t 3，则

由2

3121t m

eE x =

得：

图3

图4

图5

eE

mr

t 33=

在y 方向上电子做匀速直线运动，因此有mE er

Br

vt y 33==

所以，电子到达y 轴的位置与原点O 的距离为mE

er

Br

r 3+ 练习：

1在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图6所示。一个不

计重力的带电量为q ，质量为m 的粒子经两个平

板加速，板间电压为U ，从磁场边界与x 轴的交点A 处沿-x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与y

轴的交点C 处沿+y 方向飞出。 ⑴ 请判断该粒子带何种电荷，并求出其荷质

比。

⑵ 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B ′多大?

答案：（1）负电

Brm mqU 2 （2）

B 3

3

2如图7所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场,磁感应强度B = 0.10 T ，磁场区域半径r =

3

3

2 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外，两区域切点为C 。今有质量m=3.2×10-26 kg 、带电荷量q = 1.6×10-19 C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点被电场加速，以速度v = 106 m/s 正对O 1的方向垂直射入磁场，它将穿越C 点后再从右侧区穿出。求： ⑴ 该离子通过两磁场区域所用的时间。

⑵ 离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大?（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）。 答案： （1）4.19×10-6 s （2）32 m

图7

x

y O

A

B 图6 C