新高考数学二轮课时：层级二 专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程

层级二 专题一 第2讲

限时40分钟 满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2019·云南检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b

D ．a ＞c ＞b

解析：D [因为a ＝60.7＞1，b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1，所以a ＞c ＞b .]

2．(北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M

N

最接近的是( )

(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073

D ．1093

解析：D [设M N ＝x ＝33611080，两边取对数，lg x ＝lg 3361

1080＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝

93.28，所以x ＝1093.28，即M

N

最接近1093，故选D.]

3．(2020·安徽皖中名校联考)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )

A ．(a ，b )和(b ，c )

B ．(－∞，a )和(a ，b )

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)

解析：A [由题意可得f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，则由零点存在性定理可知，选A.] 4．(2019·铁人中学期中)函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当－1≤x ≤1时，f (x )＝|x |.若y ＝f (x )的图象与g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象有且仅有四个交点，则a 的取值集合为( )

A ．{4,5}

B ．{4,6}

C ．{5}

D ．{6}

解析：C [函数f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数f (x )的图象(图略)，数形结合可知，当g (x )的图象过点(5,1)时，f (x )的图象与g (x )＝log a x 的图象仅有四个交点，则g (5)＝log a 5＝1，得a ＝5.故选C.]

5．(2020·广西三校)函数f (x )＝x 2lg x －2

x ＋2

的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称

D ．关于y 轴对称

解析：B [因为f (x )＝x 2lg x －2

x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝

x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2

＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．]

6．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每次提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )

A ．100元

B ．110元

C ．150元

D ．190元

解析：D [设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2

＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500.故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．]

7．(2020·深圳模拟)已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：B [设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象， 两个函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点；

当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3. 此时两函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点， 当x ≥3以后，两函数图象无交点， 综上，共有两个零点．]

8．(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y (单位：万元)随年产值x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f (x )＝

15x －a x ＋8作为奖励函数模型，则最小的正整数a 的值为( )

A ．310

B ．315

C ．320

D ．325

解析：B [对于函数模型f (x )＝

15x －a x ＋8＝15－120＋a

x ＋8

，a 为正整数，函数在[50,500]上单调递增，f (x )min ＝f (50)≥7，得a ≤344，要使f (x )≤0.15x 对x ∈[50,500]恒成立，即a ≥－0.15x 2＋

13.8x 对x ∈[50,500]恒成立，所以a ≥315.综上，最小的正整数a 的值为315.]

9．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )

A ．(0,1]∪[23，＋∞)

B ．(0,1]∪[3，＋∞)

C ．(0，2]∪[23，＋∞)

D ．(0，2]∪[3，＋∞)

解析：B [当0＜m ≤1时，1

m ≥1，y ＝(mx －1)2单调递减，且y ＝(mx －1)2∈[(m －1)2,1]，

y ＝x ＋m 单调递增，且y ＝x ＋m ∈[m,1＋m ]，此时有且仅有一个交点；当m ＞1时，0＜1

m ＜

1，y ＝(mx －1)2在⎣⎡⎦⎤1m ，1上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m －1)2≥1＋m ⇒m ≥3，选B.]

10．(2020·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋2，x ＞a ，

x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不

同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－1,1)

B ．[0,2]

C ．[－2,2)

D ．[－1,2)

解析：D [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2，x ＞a ，

x 2＋5x ＋2，x ≤a ，

∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x ＋2，x ＞a ，

x 2＋3x ＋2，x ≤a ，

而方程－x ＋2＝0的解为2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为－1，－2；若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪

⎧

2＜a ，－1≤a ，

－2≤a ，

解得－1≤a ＜2，实数a 的取值范围是[－1,2)．故选D.]

11．(2019·长春质量监测)已知函数f (x )＝x －1

x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )

在区间[－2,6]上的所有零点的和为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

解析：D [令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1

x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示．f (x )，g (x )的图象都关于点(2,1)对称，结合

图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2,6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.]