第二讲 列紧性、常用线性赋范空间

证明 记 是 的 ‐网，则
就是可数稠子集。
推论 列紧度量空间可分。
定理 2 度量空间 的子集 是紧的充要条件是 自列紧。
证明 （a） 闭。
，
，所以
存在
使得
，令
，则
，从而 开，所以 闭。
（b）若
无收敛子列，则 闭，由
闭，所以 知
有
，即
矛盾。
，设
是一个开覆盖，它不能选出有限子覆盖。由
完全有界知 有 ‐网
，由
完备，只须证 完全有界，为此要构造 的有穷 ‐网。
利用 的紧性将 中的元采样投射到 中，利用 中有界集的列
紧性即可。
例
有界开凸集，
表示 上一阶连续可微函数全体，
对任意
，令
则
构成完备度量空间，且
中的有界集映成 的紧集,即 是紧嵌入。
Problem 研 究
点特性。
Exe P19 2，5，9
，把 的不动
，且至少有一个
不被有限个 覆盖，由 自列紧知
有子列 收
敛于
，从而 充分大之后
，矛盾。
推论 度量空间 是紧的充要条件是 列紧
z
中列紧的刻画
紧度量空间， ，特例
有界，
命题 5
是完备度量空间。
一致有界，等度连续
定理 3（Arezla‐Ascoli）
列紧的充要条件是 一致有界且
等度连续。
证明 ，列紧 完全有界 有界、等度连续。
4 线性赋范空间
线性结构
线性空间，线性子空间，极大子空间，线性流形，超平面，线性基，
维数，和、直和，线性同构，商空间
设 是数域 上的线性空间，
是一个子空间，则
由
定义了 上的一个等价关系，
代表的等价
类记为
，所有等价类全体记为 。令
则 按这种加法和数乘构成一个线性空间，称为 与子空间 的商
空间。
定理 1 任何线性空间都有基，同一线性空间的不同的基等势，两个
3 列紧性
z紧
度量空间 中的子集 称为紧的，是指 的任意开覆盖都有有限的
子覆盖。若度量空间 紧，则称度量空间 是紧空间。
度量空间 中的子集 称为列紧的，是指 的任意序列都有子列在
中收敛；度量空间 中的子集 称为自列紧的，是指 的任意序
列都有子列在 中收敛。若度量空间 列紧，则称度量空间 是列
紧空间。
线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。
定理 2 若 是有限维线性空间，则 的每一个真子空间的维数严格小
于 的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若 是无限维线性
空间，则总有 的一个真子空间的维数等于 的维数，故总有真子空
间与全空间线性同构。
定理 3 若
是一个子空间，则
。
定理 4 设 为数域 上的线性空间，
特别的，
可测， 为 Lebesgue 侧度，记
为 ，称之
为 Lebesgue 空间，或大 l‐p 空间。
， 为自然的计数侧度，则
记
为 ，称之为小 l‐p 空间。
例7
，
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例 8 Sobolev 空 间 .
。
有界连通开区域，
令 记为
， ，称 Sobolev 空间。
完备化后所得的空间
线性映射，则
是一个线性同构，且
推论
线性且非零，则
子空间，对任何 ，
。 是 的一个极大 是一张超平面。
拓扑结构
准范数，半范数，范数， 空间，Frechet 空间， 空间，Banach 空 间
常用空间
例 1 空间 ，
例2
，
例3 ，
例4
有界开， ，
例 5 紧度量空间，
，
例6
，
是一个测度空间，
这时范数的三角不等式就是著名的 Minkowski 不等式 其证明要用到基本的 Holder 不等式，若
证明 （1）反证，若 不完全有界，则存在
限
‐网。从而
，使得 无有 ，
则 无收敛子列。
(2) 任取 中序列 ，对 的 1‐网， ； 对 的 1/2‐ 网 ，
及 及
的子列 的子列
由 完备知
； ，对 的 1/k‐网， ； ，则对角线子列
收敛。
及
的子列
是 Cauchy 列，
命题 4 完全有界的度量空间 可分的。
对于全空间来说，列紧和自列紧是一样的。
命题 1 中的有界集是列紧集， 中的有界闭集是自列紧集。
命题 2 列紧空间的子集是列紧的；列紧空间的闭子集是自列紧的。
命题 3 列紧空间是完备的。 证明 若 Cauchy 列有收敛子列，则它自身收敛。
‐网，有穷 ‐网，完全有界，可分
定理 1 （Hausdorff）度量空间 的子集 列紧，则 完全有 界；完备度量空间 的子集 完全有界，则 列紧。