第二讲 列紧性、常用线性赋范空间
【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间-文档资料
称级数
xn x1 x2 xn
n1
收敛于sV,如果 lim Sn s 0.
S x 这里
n
n
n
.
k
k 1
级数 xn称为绝对收敛的,如果 xn 收敛.
n1
n1
定理4.1 线性赋范空间V是完备的
V中每个绝对收敛的级数都收敛4 .
证明: )设V完备.级数
若 lim xn x,则lim xn x .
n
n
线性赋范空间V中加法是连续的,即
若 xnx,yny(n), 则 xn+ynx+y(n).
8
线性赋范空间V中数乘是连续的,即 若n,xnx(n,n,F,xn,xV),则
nxnx(n); 定义4.2 设‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的两 个范数,如果存在两个正数A和B,使
第一章 集合上的数学结构
（抽象空间）
4.线性赋范空间
一、线性赋范空间概念与性质 二、有限维线性赋范空间 有限维线性赋范空间的基本性质: 有限维线性赋范空间都是完备的
1
一、线性赋范空间的概念和性质
定义4.1 设V是数域F上的线性空间.
如果xV,对应一个非负实数‖‖,
即VR是一泛函,满足:
(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.
n
|
k1
k
kHale Waihona Puke |2 2
B
x
y
从而 Tx Ty Rn Rn
1
n
| k 1
k
|2
2
工程数学(03)赋范线性空间重点讲解
工程数学
工程数学
例：f ( x) x, g( x) e x , x [0,1]
用不同的范数。 2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。
工程数学
2. 工R程n数n学, A (aij )nn 定义(矩阵的范数)
若矩阵A Rnn的一个实值函数 A ( • : Rnn R)
满足条件
①(正定性) A 0, 及 A 0当且仅当A 0;
②(齐次性)k R, 有 kA k A ;
则实数 x 称为向量x的范数。把定义了范数的线性 空 间 称 为 赋 范 线 性 空 间。
工程数学
工程数学二. 几种常用线性 Nhomakorabea间的范数
1.Rn : x ( x1, x2 , , xn )T Rn ,常用的范数有如下三种.
n
向量的1 范数 : x 1
xi
i 1
n
21
向量的2 范数 : x ( 2
f , k F 1
ab
a
b
(3) f g 1 = f ( x) g( x) dx ( f ( x) g( x) )dx
a
a
b
b
f ( x) dx g( x) dx
f g ,
1
1
a
a
f ( x), g( x) C[a, b]
b
所以 f 1 = f ( x) dx 为f ( x)在C[a,b]中的范数.
|| x || || x ||2 n || x ||
证： x12 x22
xn2
n
max
1 i n
|
xi
|2
n
max
1 i n
|
xi
|
x12 x22
1-3 列紧性 - 2
矛盾。从而，M 列紧。
接下来证明 M 是闭集。 方法一：证明 X\M 是开集，即对于任意给定 的 x X\M，存在 r>0，使得 x 到 M 的距离小于
r，即 B(x，r) X\M
在任意点 y M 处，以 (x，y)/2 为半径作开球。 M B(y， (x，y)/2 )
由于 M 是紧集，可知存在子覆盖，设为 {B(yn， (x，yn)/2) |n k}
由于 M 自列紧，集合 {y1，y2，…}存在子列不 妨仍记作 {y1，y2，…} 收敛到 y0 M。 因而存在 ，y 0 G 。
而 G 是开集，可知存在 >0，B(y0 ， ) G 。
由极限的定义： N，n>N 时，yn B(y0 ， /2) 从而可以取充分大的 n，使得 B(yn，2/n) B(y0 ， ) G 矛盾！因此 M 是紧集。
充分性：和有限覆盖定理的证明相似。 用反证法，设 {G ： 且没有有限子覆盖。 } Байду номын сангаас M 的开覆盖，并
由于 M 列紧，从而完全有界。于是， >0，
存在有限 -网。取 =1/n 设 Nn={x1，x2，… xkn} 为有限1/n-网，则 M B(xj，1/n)
再利用有限和无限之间的关系
由于{G ：
覆盖都有有限子覆盖，则称 M 为紧集。 紧性和完全有界的区别 完全有界即： >0， M 具有有限的 -网
区别在于完全有界的条件是任意取一个有
限的 -网即可，而紧性则必须在选定的开覆
盖中选择有限子覆盖
紧
完全有界，反之未必成立
定理：设 (X， ) 是度量空间，则 M X 是紧集
当且仅当 M 是自列紧集。 证明：先证必要性，设 M 是紧集。证明目标 有 (1) M 是列紧集，(2) M 是闭集。 (1)回顾：列紧集即任意子集有收敛子列，这等
2.1赋范线性空间
N 4 x y x y
则称 x 为 x 的范数，称 X , . 简称赋范空间，也简记作 X 。
为赋范线性空间，
可以利用“范数”在 X 中定义距离
d x, y x y
称为由范数诱导的距离。 范数导出的距离具有平移不变性和绝对齐次性。 ⑴ d x a, y a d x, y （平移不变性） ； ⑵ d ax, ay a d x, y （绝对齐次性） 。
e 叫做关于基 e 的表达式或展开式，
i 1 i i
n
并记作
x i ei
i.5 设{x1, x2, ……, xn}是任意维赋
范空间X中的一个线性无关组，则对任意
选定的一组系数α1， α2，…… αn，必存在 一个常数 C > 0 , 使得
定义 2.1.4 (肖德基)
若赋范空间 X 包含一个序列 en ，
对每个 x X 都存在唯一的数列 n ，使得当 n 时， 有
x 1e1 2 e2 n en 0
则称 en 为 X 空间的一个肖德（Schauder）基，
而把其和为 x 的级数
1 x1 2 x2 .... n xn
C ( 1 2 ... n )
定理2.1.6（有限维赋范空间的完备性）
赋范空间X的每一个有限维子空间M
都是完备的，特别是每个有限维赋范空间
都是完备的。
2.1.6 赋范空间的同构性
定义2.1.7（同构线性空间）
设X、Y是同一数域K上的两个线性空
i 1
i
x1 x2 xn
21 线性赋范空间
第二章 线性赋范空间与内积空间Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．2.1 线性赋范空间的定义与极限在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．定义2.1.1 线性空间设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件：1. 关于加法“+”：,xy X ∀∈，u X ∃∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具有,,x y z X ∀∈，(1) x y y x +=+ (交换律)；(2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)；(3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ∀∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ∀∈，,λμ∀∈R (或C )(1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)；(2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1).则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．2.1.1 线性赋范空间的定义与举例定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces设X 是数域K 上的线性空间，其中K 表示R 或者C ．若对每个x ∈X ，有一个确定的实数，记之为x ，与之对应，并且,x y X ∀∈，α∈K 满足：(1) ||||0x ≥，||||0x =0x ⇔= (正定性or 非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||||||||||x x αα=⋅ (齐次性)；Multiplicativity(3) ||||||||||||x y x y +≤+ (三角不等式). Triangle inequality则称||||x 为向量x 的范数(norm )，称(,|| ||)X 为线性赋范空间.简记为X ．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．注1：线性赋范空间诱导的度量空间在线性赋范空间X 中可定义距离：,x y X ∀∈，定义(,)||||d x y x y =-容易验证非负性、对称性和三角不等式(,)X d 为度量(距离)空间，并称d 为由范数||||⋅导出的距离，X 按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X 中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space设X 为一线性赋范空间，如果X 按照距离(,)||||d x y x y =-是完备的，则称X 为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach 空间.例 2.1.1 在n 维欧式空间n R 上，12(,,,)n n x x x x R ∀=∈ ，定义范数||||⋅1221||||(||)ni i x x ==∑． 记d 为由范数||||⋅导出的距离(,)||||d x y x y =-，证明(,)n R d 为Banach 空间.证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明n R 上距离1221(,)||||(||)ni i i d x y x y x y ==-=-∑满足三角不等式，所以有||||(,)(,0)(0,)||||||||x y d x y d x d y x y +=-≤+-=+．同时第二章已经证明n R 是完备的度量空间，故n R 为Banach 空间．□例 2.1.2 在[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数[,]||||max |()|t a b x x t ∈=，此范数导出的距离为[,](,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-，证明在此距离下[,]C a b 是完备的，即在此范数下[,]C a b 为Banach 空间．证明 容易验证正定性和齐次性成立，又[,]||||max |()()|t a b x y x t y t ∈+=+[,][,]max |()|max |()|t a b t a b x t y t ∈∈≤+||||||||x y =+即满足三角不等式．第二章已证明[,]C a b 在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故[,]C a b 为Banach 空间．□也可证明线性空间l ∞，p l ，[,]p L a b (1p ≤<+∞)为Banach 空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach 空间：n 维欧式空间nR1221||||(||)ni i x x ==∑12(,,,)nn x x x x R =∈有界数列空间l ∞1||||sup ||i i x x ==12(,,,,)n x x x x l ∞=∈p 次幂可和的数列空间p l11||||(||)ppi i x x ∞==∑12(,,,,)pn x x x x l =∈连续函数空间[,]C a b [,]||||max |()|t a b x x t ∈=[,]x C a b ∈p 次幂可积函数空间[,]pL a b1[,]||||(|()|)ppa b x x t dt =⎰[,]p x L a b ∈例 1.3 在[,]C a b 上定义范数1|||||()|ba x x t dt =⎰，其导出的距离为11(,)|||||()()|ba d x y x y x t y t dt =-=-⎰，那么在范数1||||⋅下[,]C a b 不是Banach 空间．证明 仿照前章证明[0,1]C 在1d 下不是完备的度量空间，可知1([,],)C a b d 不是完备的度量空间，又因1|||||()()||()||()|bbba a a x y x t y t dt x t dt y t dt +=+≤+⎰⎰⎰11|||||||||x y =+，可知1||||⋅符合范数的三条公理．故在范数1||||⋅下[,]C ab 不是Banach 空间．□如果在线性空间X 上具有定义好的距离函数(,)d x y ，那么(,)X d 就为一度量空间，试问是否在存在X 上的某范数||||⋅，使得d 是由这个范数||||⋅导出的距离，即满足(,)||||d x y x y =-．答案是否定的．例 2.1.4 设X 为线性赋范空间，令(,)||||1x y d x y x y x y=⎧=⎨-+≠⎩证明(,)X d 为度量(距离)空间，但d 不是由某范数||||⋅导出的距离．证明 显然距离(,)d x y 定义中的非负性和对称性成立，,,x y z X ∀∈，下证三角不等式成立 当x y =时，则(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 当x y ≠时分为三种情况：(1)x z ≠和y z ≠．(,)||||1d x y x y =-+||||1x z z y =-+-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y <+．(2)x z =和y z ≠．注意到||||0x z -=和(,)0d x z =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y =+．(3)x z ≠和y z =．注意到||||0z y -=和(,)0d z y =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||1||||x z z y ≤-++-(,)(,)d x z d z y =+．因此(,)X d 是度量空间．假设d 是由某范数1||||⋅导出的距离，即1(,)||||d x y x y =-，于是当x θ≠及x αθ≠时有1||||(,)||||1x d x x θ==+； 1||||(,)||||||1x d x x ααθα==+；可见1||||||||(,)||(||||1)x d x x ααθα==+显然11||||||||||x x αα≠产生矛盾，故d 不是由某范数导出的距离．□问题：对于实数集R 上定义的离散度量空间0(,)d d R ，是否存在某范数使得离散度量0d 是由该范数诱导的度量？定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间设X 为一线性赋范空间，如果1X 是X 的线性子空间，并且1X 上的范数是X 上的范数在1X 上的限制，则称1X 是线性赋范空间X 的子空间．如果1X 在X 中是闭的，则称1X 为X 的闭子空间．复习：完备度量空间X 的子空间M 是完备的充要条件M 是X 的闭子空间．2.1.2 线性赋范空间的极限根据范数导出的距离(,)||||d x y x y =-可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．定义 2.1.5 依范数收敛设X 为线性赋范空间，{}n x 是X 中的点列，x X ∈，如果lim 0n n x x →∞-=，则称{}n x 依范数收敛于x (简称{}n x 收敛于x )，记为lim n n x x →∞=或()n x x n →→∞．显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质． 定理 2.1.1 设X 为线性赋范空间，{}n x X ⊂，(1)范数的连续性：范数x 是x 的连续函数(即若n x x →，则有n x x →)． (2)有界性：若{}n x 收敛于x ，则{}n x 有界．(3)线性运算的连续性：若n x x →，n y y →()n →∞，则n n x y x y +→+，n x x αα→()n →∞，其中α为常数．证明 (1) 设()f x x =，则f ：X R →，若n x x →，即(,)0n n x x d x x -=→，又因为n n x x x x ≤-+，n n x x x x ≤-+，所以()()0n n n f x f x x x x x -=-≤-→，因此x 是x 的连续函数．(2) 根据n n x x x x ≤-+易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．定理 2.1.2 设X 为线性赋范空间，d 是由范数导出的距离，则0,,x y z X ∀∈，α∈K (数域) 有：(1)平移不变性：00(,)(,)d x z y z d x y ++=． (2)绝对齐次性：(,)(,)d x y d x y ααα=．证明 (1) 0000(,)()()(,)d x z y z x z y z x y d x y ++=+-+=-=． (2) (,)()(,)d x y x y x y x y d x y ααααααα=-=-=-=．2.1.3 线性赋范空间上的级数在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念． 定义 2.1.6 级数 Progression设X 为线性赋范空间，点列{}n x X ⊂，称表达式121n n n x x x x ∞=++++=∑ 为X 中的级数．若部分和点列12n n S x x x =+++ 依范数收敛于s X ∈，则称级数1n n x ∞=∑收敛于s ，称s 为级数的和，记为1n n s x ∞==∑．如果数项级数1n n x ∞=∑收敛，则称级数1n n x ∞=∑绝对收敛．例 2.1.5 证明在Banach 空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)证明 设级数1k k x ∞=∑绝对收敛，令1nn k k S x ==∑，下面证明{}n S 是X 中的柯西列，当m n >时，有12m n n n m S S x x x ++-=+++12n n m x x x ++≤+++1110nk k k k n k k x x x ∞∞=+==≤=-→∑∑∑,因此{}n S 是完备空间X 中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．例 2.1.6 如果在线性赋范空间X 中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X 是完备的(即为Banach 空间)．(习题课)由上例子可知，当且仅当在Banach 空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛． 定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基设X 为线性赋范空间，{}n e 是X 中的一个点列，如果对于每一个x X ∈，存在唯一的数列{}n α，使得1122()0()n n x e e e n ααα-+++→→∞则称{}n e 是空间X 中的一组绍德尔基，称1n n n x e α∞==∑为x 的展开式．例如，p 次幂可和的数列空间p l 有一个绍德尔基{}n e ，其中(0,,0,1,0,,0,)n e = ，n e 的第n 个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X 有一组绍德尔基，则X 是可分的线性赋范空间，反之不真．2.1.4 线性赋范空间的完备化由例 2.1.3及 2.1.4可知[,]C a b 在范数[,]||||m a x |()|t a b x x t ∈=下是Banach 空间，在范数1222||||(|()|)bax x t dt =⎰下不是Banach 空间，同时知2([,],)C a b ⋅2[,]L a b ⊂，而2[,]L a b 是完备的空间，即为Banach 空间．定义 2.1.7 线性等距同构设11(,)X ⋅，22(,)X ⋅是同一数域K 上的两个线性赋范空间，如果存在一一映射T ：12X X →，满足：(1) 线性：1,x y X ∀∈，,αβ∈K ，()()()T x y T x T y αβαβ+=+． (2) 等距：1x X ∀∈，21Tx x =．则称1X 和2X 线性等距同构，并称映射T 是线性等距同构映射．在线性等距同构意义下，两个空间可看成“同”一个空间 定理 2.1.3 完备化定理设X 为线性赋范空间，那么存在Banach 空间Y ，使X 和Y 的一个稠密子空间1Y 线性等距同构，且在线性等距同构意义下，Y 是唯一的．数学家简介斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach ，1892年3月30日－1945年8月31日），波兰数学家1892年3月30日生于克拉科夫,1945年8月31日卒于利沃夫曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和利沃夫工业大学短期学习,但他主要靠自学1916 年结识H.斯坦豪斯后，开始科学研究,1920年获博士学位,1922年任利沃夫大学讲师，1927年为教授．成为泛函分析的开创者之一．不久在他和斯坦豪斯周围集中了一批年轻学者,发展成为利沃夫学派,并在1929年创办了第一个泛函分析杂志《数学研究》．1932年出版了他的名著《线性算子理论》．他在1936年的国际数学家大会上做了全会报告，这表明数学界重视波兰学者对泛函分析的研究．1939年被选为波兰数学会主席．第二次世界大战中，波兰被德国占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作．苏联军队攻克利沃夫后，他才回到大学工作，不过这时他已患肺癌．巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理（哈恩—巴拿赫线性泛函延拓定理，巴拿赫－斯坦豪斯定理即共鸣定理，闭图像定理）概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值．人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间．此外,在实变函数论方面,他在1929年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题．在集合论方面，他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫－塔尔斯基悖论．1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬．1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖．线性与非线性泛函◇。
赋范线性空间优质课件
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
3）常见赋范线性空间
例 1 在线性空间 Rn 中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn) Rn
第3章 赋范线性空间
§3.1 定义和举例 §3.2 按范数收敛 §3.3 有限维赋范线性空间
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
（5） ( x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x , T 是连续泛函 x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, n xn x
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
第二章-赋范线性空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
赋范线性空间
第二章赋范线性空间一赋范空间的基本概念1赋范空间的定义定义设X是域K上的线性空间，函数||』：X R满足条件：1)对任意x X , 0 ；且||x|卜0，当且仅当x = 0 ；2)对任意x X及K , x|卜| | ||x|| (齐次性)；3)对任意x, y X , x y|卜|| x|| || y||(三角形不等式)称1111 是X 上的一个范数，X上定义了范数|| ||称为赋范(线性)空间，记为(X,|「||),有时简记为X。
在一个赋范线性空间(X ,|| • II)中，通过范数可以自然地定义一个距离，d(x,y)=||x- y||, x,^ X (1)称赋范空间这个距离是由范数诱导的距离，这个赋范空间是一个距离空间。
2赋范空间的基本性定理1.1设(X,|| II)是赋范空间，则1) 范数是一个连续函数，即当时x 、nx (n 、)时, llXnir ||x||(n …);2) 线性运算是连续的，即当x Tn x及y n >y时,Xn % X y ；当a n‘ a及x n x时，d x n ax (n )定理1.2 设(X,|| ||)是赋范空间，如果是完备的且级数：」|X k IF ||X i II +|| X2 ||+…+||X2 ||+…⑷收敛，则级数7 X n收敛，且|「X n |^ V||X n ||。
反之，如果在n -1 n 4n -1 1一人赋范空间中，任意无穷级数(4)收敛有级数二x n收敛，则空n 二间是Banach空间3凸集凸集是线性空间中一个重要的几何概念，它在泛函分析中有着十分广泛应用。
定义设X是线性空间，A是X子集，如果对任意X,y A，及满足0疳〉＜1的数〉，x (1 )y A称A是X中的凸集。
从定义不难看出，任意个凸集的交集还是凸集。
设A是空间X 中任意子集，所有包含集A的凸集交集是凸集，称这个凸集是集A生成的凸集或集A的凸包，记为Co(A)。
4赋范空间的例例1空间R n。
第二章 赋范线性空间
§1 度量空间
一. 度量空间的概念
赋范线性空间
设平面上任意三个点 A，B，C，用 d ( A, B) 表示 A 到 B 之间的距离。有平面几何我们知道 （i）
d ( A, B) ≥ 0 且 d ( A, B) = 0 ⇔ A = B ； （ii）d ( A, B) = d ( B, A) ； （iii）d ( A, B) ≤ d ( A, C ) + d (C , B) 。
n n
2 赋范线性空间的概念 定义：设 X 为一个实（或复）的线性空间，若 X 上面定义了一个映射 || || : X → R 满足 （i） 对 x ∈ X ， || x ||≥ 0 且 || x ||= 0 ⇔ x = θ ； ，|| λ x ||=| λ | || x || ； （ii） 对 x ∈ X ， λ ∈ R （ C ） （iii） 对 x, y ∈ X ， || x + y ||≤|| x || + || y ||
对任意的xyzx有dyzdxzdxy?事实上dyzdxzdxzdxydyzdxzdxy????dxydyzdxzdxzdxydyz???????dxydxzdyzdyzdxydxz????例21设12rr12nnnirrrin1212rnnnxy定义11dxyniii?zdzydxzydxyx212221dxyniii???????1xymaxiniid?以上定义的1dxy2dxy3dxy均是rn上的距离
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧ ⎪0, ⎪ n ⎪ 取 xn (t ) = ⎨ nt − + 1, 2 ⎪ ⎪ ⎪1, ⎩
1 1 − 2 n 1 1 1 − ≤t< , 2 n 2 1 ≤ t ≤1 2 0≤t <
数理经济学 2 赋范线性空间与凸集
第2章赋范线性空间与凸集2.1 赋范线性空间2.2 凸集2.3 一些重要例子2.4 保持凸性的运算2.5 分离超平面和支撑超平面12.1 赋范线性空间2.1.1 赋范线性空间2.1.2 开集和闭集2.1.3 上确界和下确界2.1.4 序列收敛和完备性2.1.5 紧性2.1.6 Banach 空间232.1.1 赋范线性空间● 线性空间(linear space)/向量空间(vector space)⏹ 指定义加法和标量乘法的非空集合X➢ 加法(addition)⇔∀,X ∈x y ，X +∈x y➢ 标量乘法 ⇔∀X ∈x ，α∈，X α∈x⏹ ,,X ∀∈x y z ，,αβ∈，满足：1. +=+x y y x (交换律)2. ()()++=++x y z x y z (结合律)3. ()ααα+=+x y x y4. ()a αββ+=+x x x5. ()()αβαβ=x x (结合律)46．X ∃∈0，+=x 0x7．对X ∀∈x ，X ∃∈y ，+=x y 08．1=x x● 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。
● 线性空间的元素称为向量(vector)。
5例2.1 一些线性空间• N 维实向量空间或N 维欧氏空间：所有N 维实向量的集合N• 所有实数序列的集合{}12,,...,,n x x x ，n x ∀∈ • 所有多项式2012N N x a a t a t a t =++++的集合。
●消费集(例1.1)和生产可能性集(例1.2)本身不是线性空间。
●但它们都是线性空间N的子集，并且都从其母空间中继续了许多线性特征。
67例2.2 (总需求和总供给)● M 个消费者，每个消费者m 购买消费组合m x● 总需求(aggregate demand )M x⏹ 其中对每种商品n ，对它的总需求1M n n n x x x =++ ⏹ 其中m n x 是消费者m 对商品n 的需求。
第二讲 列紧性、常用线性赋范空间
线性映射，则
是一个线性同构，且
推论
线性且非零，则
子空间，对任何 ，
。 是 的一个极大 是一张超平面。
拓扑结构
准范数，半范数，范数， 空间，Frechet 空间， 空间，Banach 空 间
常用空间
例 1 空间 ，
例2
，
例3 ，
例4
有界开， ，
例 5 紧度量空间，
，
例6
，
是一个测度空间，
这时范数的三角不等式就是著名的 Minkowski 不等式 其证明要用到基本的 Holder 不等式，若
，由
完备，只须证 完全有界，为此要构造 的有穷 ‐网。
利用 的紧性将 中的元采样投射到 中，利用 中有界集的列
紧性即可。
例
有界开凸集，
表示 上一阶连续可微函数全体，
对任意
，令
则
构成完备度量空间，且
中的有界集映成 的紧集,即 是紧嵌入。
Problem 研 究
点特性。
Exe P19 2，5，9
，把 的不动
证明 （1）反证，若 不完全有界，则存在
限
‐网。从而
，使得 无有 ，
则 无收敛子列。
(2) 任取 中序列 ，对 的 1‐网， ； 对 的 1/2‐ 网 ，
及 及
的子列 的子列
由 完备知
； ，对 的 1/k‐网， ； ，则对角线子列
收敛。
及
的子列
是 Cauchy 列，
命题 4 完全有界的度量空间 可分的。
线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。
定理 2 若 是有限维线性空间，则 的每一个真子空间的维数严格小
于 的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若 是无限维线性
4.线性赋范空间
(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.
(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,
则称‖x‖(xV)为x的范数,V成为F上的线性
赋范空间.
2
设V是线性赋范空间。定义映射：
：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)
容易验证：是V上的度量，从而{V，}是度量
空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是，
V上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、
收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。
完备的线性赋范空间称为Banach空间。
线性赋范空间V中序列{xn}称为范数收敛于xV,
如果
limxnx 0.
3
n
由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘
运算，故可讨论序列{xn}的级数及其收敛的概念。
称级数
xnx1x2xn
小值,设为f(0)(0S).
于是, S,有f()≥f(0).
12
下面证明: f(0)>0.显然,f(0)≥0.
只要证 f(0) 0.由于0S,故0不是零向量.
n
从而,
x e 0 0 . kk
k1
于是,
f(0)=‖x0‖0。
xX,且x,则x的坐标是Rn中非零向量。
1
所以，
Rn
n | k1
k
|22
14
•定理4.3 任何一个实数域R上的n维线性赋范 空间 X都与n维欧氏空间Rn线性同胚，即 存在线性双射T：XRn,且T与T–1连续。
证明：设{e1,e2, ,en}是X的一组基。xX有
n
x k ek k 1
其中=（1，2， ，n)T为x的坐标。
15
定义映射T：XRn: Tx=（1，2， ，n)T
第二章 赋范线性空间-黎永锦
第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)S c h m i d t E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(12∞<∑∞=i ii zz 时引入记号||||z 来表示211)(∑∞=i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、H a h nH .（1879—1934）、H e ll y E .（1884—1943）和 WienerN .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||⋅是X 到R 的映射,且满足下列条件：(1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;(3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .则称||||⋅为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(⋅X 为赋范线性空间.明显地,若||)||,(⋅X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.例2.1.1 设s 数列全体,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑∞=-+-=1|)|1(!||),(i i i i i y x i y x y x d则∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0 =x ,210=λ,则 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.问题 2.1.1 对于线性空间X 上的度量d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？定理2.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3 对于}||,|){(11∞<∈=∑∞=i ii i xK x x l ,∑∞==1||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1⋅l 是赋范线性空间.例2.1.4 对于∞<≤p 1,}||,|){(1∞<∈=∑∞=i p ii i p xK x x l 在范数pi pi x x 11)||(||||∑∞==下是赋范线性空间.例2.1.5 }||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间. 例2.1.6 }0lim ,|){(0=∈=∞→i i i i x K x x c 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间.例 2.1.7 }],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,则称n x 依范数||||⋅收敛于0x ,记为0||||x x n −→−⋅在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在Euclid 空间2R 中,对于),(21x x x =可以定义几种不同的范数:||||||||211x x x += 2122212)|||(|||||x x x +=|}||,m ax {|||||213x x x =则对1),0,0(0==r x , 闭球)1,(0x B 在不同范数下的形状为：}1|||||{11≤=x x B}1|||||{22≤=x x B}1|||||{33≤=x x B思考题 2.1.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,问开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭),(0r x B ?思考题2.1.2 设||)||,(⋅X 是线性空间,问闭球),(0r x B 内部是否一定是开球),(0r x U ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.定理2.1.8 若||)||,(⋅X 是赋范空间00,y y x x n n →→,则00y x y x n n +→+. 证明 由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 2.1.9 若||)||,(⋅X 是赋范空间,0x x n →,则||||||||0x x n →. 证明 由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义2.1.3 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时, 必有X x ∈,使0||||→-x x n , 则称||)||,(⋅X 为完备的赋范线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋范线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若序列}{}{21n n x x x S +++= 收敛于某个X x ∈时,则称级数∑∞=1n nx收敛,记为∑∞==1n nxx .定义2.1.5 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若数列||}||||||||{||21n x x x +++ 收敛时, 则称级数∑∞=1n nx绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,则||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n nx绝对收敛,则由∞<∑∞=1||||n nx可知,对于n n x x x S +++= 21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 <<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1 =<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x.由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义 2.1.6 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若X M ⊂是X 的线性子空间,则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,若M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,若||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间,反之亦然.定理 2.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,则}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于 M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,则}{n x 为 ||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义2.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： （1） 0)0(=p ；（2） )()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； （3） )(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.则称p 为X 上的半范数.明显地,X 上的范数一定是半范数,但对X 上的半范数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在∞l 中,定义||)(11x x p =,易证)(1x p 是∞l 中的半范数,但对于),,,,0(2 n x x x =,都有0)(1=x p ,因此p 不是∞l 的范数.有什么办法能使),(p X 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？定义 2.1.8 设X 是线性空间,M 是X 的线性子空间,若M x x ∈-21,则称1x 与2x 关于M 等价,记为)(~21M x x易知,等价具有下面的三个性质（1） x x ~（反射性）；（2） y x ~推出 x y ~（对称性）； （3） y x ~, z y ~ 推出z x ~（传递性）.明显地,若M 是线性空间X 的线性子空间,记}),(~|{~M y M x y y x ∈=, 则~x 的全体在加法~~~y x y x +=+和数乘~~x x αα=下是线性空间,称为X 对模M 的商空间,记为M X /.在商空间M X /中,对M X =∈~0,0, 即0是M X /的零元,而对M X /的每一元素~x ,~x 都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于}||sup |){(+∞<=∞i i x x l ,取}||sup ,0|){(1+∞<==i i x x x M , 则M 为∞l 的子空间,对M l y x /,∞∈,当~~y x =时有M y x ∈-,即011=-y x , 这时R M l ~/∞当||)||,(⋅X 为赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间时,在M X /商空间中还可以定义范数,使M X /成为赋范线性空间.定理 2.1.14 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间,在M X /上定义范数}|||inf{||||||~~x y y x ∈=,则||)||,/(⋅M X 是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当)(x p 为X 上的一个半范数时,取}|||inf{||||||},0)(|{~~x y y x x p x M ∈===,则||)||,/(⋅M X 是一个赋范线性空间,且对任意X x ∈有, )(||||~x p x =.当X 是空备赋范线性空间,M 为X 的闭子空间的,M X /还具有完备性.定理2.1.15 设X 是Banach 空间,M 为X 的闭子空间,则M X /是Banach 空间.2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X 上的序列依范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同范数,若对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,则称范数1||||⋅比范数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.若对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 则称范数1||||⋅与2||||⋅等价.定理 2.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明 若存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,则明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,若范数1||||⋅比2||||⋅强,则必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 若不然,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,则nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论 2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论 2.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价范数,则)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.思考题 2.2.1 若1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,且)||||,(1⋅X 和)||||,(2⋅X 都是Banach 空间,是否就一定有1||||⋅与2||||⋅等价呢？定义2.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的范数,则称||)||,(⋅X 为n 维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski 空间.若||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21 为X 的一组线性无关组,则称n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理 2.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21 是X 的Hamel 基,则存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明 对于任意ni K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα则对任意n i K ∈=)(αα,ni K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn ieM ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni in i K S αα是紧集,因此f 在S 上达到上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任ni K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C αααα下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,则有0||||)(1)0(0==∑=nn i ie f αα,故01)0(=∑=nn i ie α由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 2.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个范数,则存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach 空间.证明 若}{m x 为n 维赋范线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,则对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21 有i ni m im e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m iα亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni ie x ∑==1α,则0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在nR 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理2.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋范线性空间,则X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明 设n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,则对任意X x ∈,有i ni ie x ∑==1α定义nK 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα则存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的. 由||)(||)||(21121ααT C ni i≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当 )(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间||)||,(⋅X 的每个有界闭集都是紧集,则X 是否一定为有限维的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来讨论Riesz 引理,这是Riesz F .在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理 2.2.8 （Riesz 引理）设M 是赋范线性空间||)||,(⋅X 的闭真子空间,则对任意10<<ε,存在1,=∈εεx X x ,使得εε≥-x x对任意M x ∈成立.证明 由于M 是X 的闭真子空间,因此≠M X \φ,故存在M X y \0∈,令}|||inf{||),(00M x x y M y d d ∈-==,则0>d .对任意10<<ε,由d 的定义可知,存在M x ∈0,使得εdx y d ≤-≤||||00令||||0000x y x y x --=ε,则1||||=εx ,且对任意M x ∈,有||)||||(||||||1||||||||||||0000000000x x y x y x y x y x y x x x -+--=---=-ε由M x ∈0,M x ∈和M 是线性子空间,可知M x x y x ∈-+||||000因此d x x y x y ≥-+-||)||||(||0000故εεε=≥-≥-ddx y d x x ||||||||00由Riesz 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.定理 2.2.9 赋范线性空间||)||,(⋅X 是有限维的当且仅当X 的闭单位球}1|||||{≤=x x B X 是紧的.证明 明显地,只须证明X B 是紧的时候,X 一定是有限维的.反证法,假设X B 是紧的,但X 不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的,1X x ∈1||||1=x ,令}|{}{111K x x span M ∈==λλ,则1M 是一维闭真子空间,取21=ε,由Riesz 引理可知,存在1||||,22=∈x X x 且21||||2≥-x x 对任意1M x ∈成立,从而21||||12≥-x x . 同样地,令},{212x x span M =,则2M 是二维闭真空子空间,因而存在1||||,33=∈x X x ,使21||||3≥-x x 对任意2M x ∈成立,从而21||||13≥-x x 且21||||23≥-x x . 利用归纳法,可得一个序列X n B x ⊂}{,对任意n m ≠,有21||||≥-n m x x 因而}{n x 不存在任何收敛子序列,但这与X B 是紧集矛盾,由反证法原理可知X 是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间X 是有限维当且仅当X 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间X 的紧集的刻画,就比较困难.在]1,0[C 中,容易看出]1,0[}1|)(||)({C x f x f A ⊂≤=是]1,0[C 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论]1,0[C 子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli 和Arzelà同时引入的.定义 2.2.3 设]1,0[C A ⊂,若对任意的0>ε,都存在0>δ,使得对任意的A f ∈,任意的]1,0[,∈y x ,δ<-||y x 时,一定有ε<-|)()(|y f x f ,则称A 是等度连续的.Ascoli 给出了]1,0[C A ⊂是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了]1,0[C A ⊂是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel à-Ascoli 定理) 设]1,0[C A ⊂,则是紧的当且仅当A 是有界闭集, 且A 是等度连续的.2.3 Schauder 基与可分性一个Banach 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder 基是-Fun in stetiger Theorie Zur Schauder J [..]6547.)1927(26,,-pp t Zeitschrif che Mathematis men ktionalrau 引入的.定义 2.3.1 Banach 空间||)||,(⋅X 中的序列}{n x 称为X 的Schauder 基,若存在对于任意X x ∈,都存在唯一数列K a n ⊂}{,使得nn n x x ∑∞==1α容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder 基.例2.3.1 在1l 中令),0,1,0,,0( =n e ,则}{n e 为1l 的Schauder 基,明显地,在)01(,,0∞<<p l c c 中,}{n e 都是Schauder 基.S c h a u d e J .在1928年还在]1,0[C 中构造一组基,因而]1,0[C 也具有Schauder 基. 具有Schauder 基的Banach 空间具有许多较好的性质,它与Banach 空间的可分性有着密切联系.定义 2.3.2 ||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若存在可数集X M ⊂,使得X M =,即可数集在X 中稠密,则称X 是可分的.若||)||,(⋅X 可分,则存在可数集X x n ⊂}{,使得对任意X x ∈及任意0>ε,都有某个}{n n x x ∈ε,满足εε<-||||x x n .例2.3.2 由于有理数集Q 是可数集,且R Q =,因此R 是可分的.类似地,n R 也是可分的赋范空间.例2.3.3 对于p l p ,1+∞<≤都是可分的,因为取时，使得存在N i N x M i >=,|){(},,0都是有理数时并且i i x N i x <=,则M 是可数集,并且p l M =.实际上,对任意p l x ∈,由+∞<∑∞=pi pi x 11)||(可知,对任意0>ε,存在N ,使得2||1pN i pix ε<∑∞+=, 取有理数N q q q ,,21,使2||1pNi pi i x q ε<-∑=,则M q q q x N ∈=)00,,,(21 ε,且εε<+-≤-∑∑∞+==pN i p iNi p i i xx q x x 111)||||(,因此p l M =,所以p l 是可分的.例 2.3.4 由Weierstrass 逼近定理可知对任意],[b a C x ∈,必有多项式0→-x p n ,取M 为],[b a 上有理系数的多项式全体,则M 是可数集,且],[b a C M =,因而],[b a C 是可分的赋范线性空间.定理2.3.5 若||)||,(⋅X 赋范空间有Schauder 基,则X 一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明||)||,(⋅X 为实的情形.设}{i e 为X 的Schauder 基,则任意X x ∈有∑∞==1i ii ea x ,这里R a i ∈.令},|{1Q q N n eq M i ni ii ∈∈=∑=,则M 是可数集,且对任意X x ∈及任意0>ε,存在M x ∈ε,使得εε<-x x ,因此X M =,所以M 为可分的赋范空间.对于复赋范空间||)||,(⋅X ,可令},,|)({1Q pq N n e ip q M iini iii∈∈+=∑=,证明是类似的.问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder 基？ 例2.3.6 赋范空间∞l 没有Schauder 基.由于∞l 不可分,因而一定没有S c h a u d e 基.事实上,假设∞l 可分,则存在∞∈=l x x m im )()(,使得}{m x X =.令=)0(ix ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+. 1|| 0；1|x | ,1)((i)i )(时当时当i i i i x ，x 则211||sup )0(=+≤i x ,即∞∈=l x x i)()0(0,并且1||||sup ||||)0()()0()(10≥-≥-=-∞<≤m m m i m i i m x x x x x x所以}{m x 不存在任何收敛子列收敛于0x ,故}{0m x x ∉,从而}{m x X ≠,但这与假设}{m x l =∞矛盾,因此∞l 不可分.另外,还再进一考虑下面的问题：问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder 基？上面问题自从S. Banach 在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach 空间,如10,l c 等都具有Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.Enflo P .在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schauder 基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]2.4 线性连续泛函与B a n a c h H a h n -定理Banach S .1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. Banach S .还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是B anachS .和Hahn H .各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即Banach Hahn -定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于Hadamard ,他是由于变分问题上的原因研究泛函.定义 2.4.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,f 为X 到K 的映射,且对于任意X y x ∈,及K ∈βα,,有)()()(y f x f y x f βαβα+=+则称f 为X 的线性泛函.例2.4.1 在∞l 上,若定义1)(x x f =,则f 为∞l 上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理2.4.2 设f 是赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,且f 在某一点X x ∈0上连续,则f 在X 上每一点都连续.证明 对于任意X x ∈,若x x n →,则00x x x x n →+-由f 在0x 点的连续性,因此)()(00x f x x x f n →+-所以)()(x f x f n →,即f 在x 点连续.这个定理说明,要验证泛函f 的连续性,只须验证f 在X 上某一点（例如零点）的连续性就行了.问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X ,X 上任意线性泛函都连续？例2.4.3 n R 上任意线性泛函都是连续的.事实上令)0,0,1,0,0( =i e ,则任意nR x ∈,有∑==ni ii ex x 1,设0,→∈m nm x R x ,则∑==ni i m im e x x 1)(,且0)(→m ix 对任意i 都成立.因此)0(0)()()(1)(1)(f e f x e xf x f ni i m ini i m im =→==∑∑==,所以f 在0点连续,从而f 在n R 上任意点都连续.定义 2.4.2 若X 上的线性泛函把X 的任意有界集都映为K 的有界集,则称f 为有界线性泛函,否则f 为无界线性泛函.定理 2.4.4 设f 为赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,则f 是有界的当且仅当存在0>M ,使|||||)(|x M x f ≤.证明 若存在0>M ,使得对任意|||||)(|,x M x f X x ≤∈,则对于X 中的任意有界集F ,有0>r ,使得对任意F x ∈,有r x ≤||||,因此,Mr x M x f ≤≤|||||)(|对所有F x ∈成立,所以)(F f 为K 的有界集,即f 为有界线性泛函.反之,若f 为有界线性泛函,则f 把X 的单位球面}1|||||{)(==x x X S 映为K 的有界集,因此存在0>M ,使得对一切1||||=x ,有M x f ≤|)(|故对任意X x ∈,有M x xf ≤|)||||(| 所以|||||)(|x M x f ≤例2.4.5 对)(|){(i i x x c =为收敛序列},范数||sup ||||i x x =,若定义f 为i i x x f ∞→=lim )(,则f 为c 上的线性泛函,由于||sup ||||i x x =,因此|||||lim ||)(|x x x f i i ≤=∞→所以f 为c 上的有界线性泛函.对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,Banach S .在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理2.4.6 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当f 是有界的. 证明 若f 是有界的,则由上面定理可知存在0>M ,使得|||||)(|x M x f ≤,因此当x x n →时,有)()(x f x f n →,即f 为连续的.反之,假设f 为连续线性泛函,但f 是无界的,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使得|||||)(|n n x n x f >令0,||||0==y x n x y n nn ,则01||||0→=-n y y n ,由f 的连续性可知)()(0y f y f n →,但1||||)()(>=n n n x n x f y f ,0)(0=y f ,从而 1|)()(|0>-y f y f n ,但这与)()(0y f y f n →矛盾.所以f 为连续线性泛函时,f 一定是有界的.线性泛函的连续性还可以利用f 的零空间是闭集来刻画.定理 2.4.7 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当}0)(|{)(==x f x f N 为X 的闭线性子空间.证明 明显地)(f N 为线性子空间,因此只须证)(f N 是闭的.若f 是连续线性泛函,则当x x f N x n n →∈),(时,必有)()(x f x f n →,因而0)(=x f ,即)(f N x ∈,所以)(f N 是闭子空间.反之,若)(f N 是闭的,但f 不是有界的,则对于任意正整数n ,有X x n ∈,使|||||)(|n n x n x f >令||||n nn x x y =,则1||||=n y ,且n y f n >|)(|. 取)(,)()(11011y f yz y f y y f y z n n n -=-=, 由于01|)(|||||||)(||||||0→<==-ny f y y f y z z n n n n n 因而0z z n →,且0))()(()(11=-=y f yy f y f z f n n n ,即)(f N z n ∈,从而由)(f N 是闭集可知)(0f N z ∈,但这与1)(0-=z f 矛盾,因此当)(f N 是闭子空间时,f 一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.定义2.4.3 设f 为X 上的线性连续泛函,则称|||||)(|sup||||0x x f f x ≠= 为f 的范数.明显地,若记X 上的全体线性连续泛函为*X ,则在范数||||f 下是一赋范空间,称之为X 的共轭空间.虽然Hahn H .在1927年就引起了共轭空间的概念,但Banach S .在1929年的工作更为完全些.容易看出,对于任意X f ∈,还有|)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||x f x f f x x ≤===.但对于具体的赋范空间X ,要求出X 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设f 为1l 的连续线性泛函,若取}{i e 为1l 上的Schauder 基,则对任意)(i x x =,有∑∞==1i ii ex x , 故∑∞==1)()(i i ie f xx f ,因而)||(|)(|sup |)(||||)(||)(|111∑∑∑∞=∞=∞=≤≤=i iii iii iix e f e f x e f x x f从而|)(|sup ||||i e f f ≤. 取1)0,0,1,0,0(l e i ∈= , 则1||||=i e , 且|)(|||||||||||||i i e f e f f ≥=, 故|)(|sup ||||i e f f ≥,所以|)(|sup ||||i e f f =.设M 是赋范线性空间X 的子空间,f 为M 上的连续线性泛函,且存在0>C ,使得|||||)(|x C x f ≤对任意M x ∈成立,则f 是否可以延拓到整个范空间X 上？这一问题起源于n 维欧氏空间n R 上的矩量问题. Banach S . 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,Hahn H .发表的论文也独立地得出类似结果． Hahn H . 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X 上f 存在连续延拓F ,使得|||||)(|x C x F ≤对一切M x ∈成立,且对一切M x ∈,有)()(x f x F =. 1929年,Banach S .独立地发表了与Hahn H .相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Banach Hahn -延拓定理.定理 2.4.9 设M 是实线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的实线性泛函,且存在X 上的半范数)(x p 使得)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.B o h n e h b i u F H ..与Sobczyk A . 在 1938 年还把Banach Hahn -定理推广到复线性空间.定理 2.4.10 设M 是复线性空间X 的复线性子空间,f 为M 上的线性泛函,p 是X 上半范数且满足)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.利用线性空间的Banach Hahn -延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach 空间理论的基本定理.定理 2.4.11 设M 是赋范线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的连续线性泛函,则存在X 上线性连续泛函F ,使得(1) **=M X f F |||||||| ;(2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.这里*X F ||||表示F 在*X 的范数, *M f ||||表示f 在*M 的范数.证明 由于f 为M 上的连续线性泛函,因此对任意M x ∈,有|||||||||)(|x f x f M *≤. 定义半范数||||||||)(x f x p M *=,则有)(|)(|x p x f ≤,对任意M x ∈.由线性空间的Banach Hahn -定理可知存在F ,使得)()(x f x F =, 对任意M x ∈且)(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈因此对于任意X x ∈,有|||||||||)(|x f x F M *≤,故F 为X 上的连续线性泛函,且**≤M X f F ||||||||.反过来,由**==≥=≠∈≠∈≠∈M x M x x M x x X x X f x x f x x F x x F F |||||||||)(|sup |||||)(|sup |||||)(|sup||||0,0,0,可知**=M X f F ||||||||, 且)()(x f x F =对任意M x ∈成立.在上面定理中,若X 是复赋范线性空间,则M 必须是复线性子空间.很有意思的是Bohnehbius F H ..和Sobczyk A .在1938年证明在任意无穷维复Banach 空间X 中,一定存在实线性子空间M ,在M 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X 上.问题2.4.2 在Banach Hahn -定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？例2.4.12 在},|),{(2121R x x x x X ∈=上,定义范数||||||),(||||||2121x x x x x +==. 令}|)0,{(11R x x M ∈=, 明显地，M 是赋线性空间X 的线性子空间,对M x y ∈=)0,(1,定义1)(x y f =,则|||||||)(|1y x y f ==故1||||≤*M f ,且对)0,1(0=x ,有1|)(|,1||||00==x f x ,因而1||||=*M f ,但对X 上的线性泛函211)(x x x F +=212)(x x x F -=这里X x x x ∈=),(21 在M 上,都有)()(1y f y F = )()(2y f y F =对任意的M x y ∈=)0,(1成立. 在M 上有f F f F ==21,,且***==M X X f F F ||||||||||||21,因此21,F F 是f 的两个不同的保范延拓.定理2.4.13 设||)||,(⋅X 是赋范空间,M 是X 的子空间,X x ∈0,),(0M x d d =0}|||inf{||0>∈-=M y y x ,则存在*∈X f ,使得（1）对任意0)(,=∈x f M x ； （2）d x f =)(0； （3）1||||=f .证明 令}}{{0x M span E ⋃=∆,则对任意E x ∈,x 有唯一的表达式0'tx x x +=,这里M x K t ∈∈',.在E 上定义泛函g ：td x g =)(则g 为E 上的线性泛函,且 （1）d x g =)(0；（2）对任意0)(,=∈x g M x .对0'tx x x +=,不妨假设0≠t .由}||inf{||,|||)'(||)(|00M y x y d d t tx x g x g ∈-==+=可知||||||'||||'||||||'|||||||)(|000x tx x x tx t x t x t d t x g =+=+=--≤=. 因此g 是E 上的线性连续泛函,且1||||≤*M g .根据Banach Hahn -定理,有连续线性泛函*∈X f ,使得 （1）对任意)()(,x g x f E x =∈； （2）||||||||g f =.由0}|||inf{||0>∈-=M y y x d ,可知存在M x n ∈,使得d x x n →-||||0. 故df x x f x f x f x f d n n |||||||||||||)()(||)(|000→-⋅≤-==因此1||||≥f ,所以1||||=f ,且对所有M x ∈,有0)(=x f .特别地,当}0{=M 时,对任意00≠x ,有||||),(00x M x d =,因此由上面定理可知下面推论成立.推论 2.4.14 设X 是赋范线性空间,则对任意0,00≠∈x X x ,有*∈X f ,使得||||)(00x x f =,且1||||=f .该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道X 中两个元素y x ,,若对所有*∈X f ,都有)()(y f x f =,则一定有y x =.推论 2.4.15 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,则y x ≠当且仅当对存在*∈X f 使得)()(y f x f ≠.证明 假设y x ≠,则对y x z -=,有0||||≠z ,因此Banach Hahn -定理的推论可知存在1||||=f ,使得0||||)(≠=z z f ,从而)()(y f x f ≠.例题2.4.1 设X 是赋范线性空间,试证明对任意X x ∈0,有|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈==证明 对任意*∈X f ,1||||=f ,有|||||||||||||)(|000x x f x f =≤因此|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈=≥另外, 但对0,00≠∈x X x ,存在*∈X f ,1||||=f ,使得 ||||)(00x x f =, 故|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈=≤, 所以|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==.例题 2.4.2 设||)||,(⋅X 是赋范空间,若对于任意1||||,1||||,,==∈y x X y x 且y x ≠都有2||||<+y x ,试证明对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.证明 反证法. 假设存在1||||||||00==y x 和)1,0(0∈α,使得1||)1(||0000=-+y x αα由Banach Hahn -定理的推论,可知存在*∈X f , 1||||=f ,使得||)1(||))1((00000000y x y x f αααα-+=-+即1)()1()(0000=-+y f x f αα这时一定有1)()(00==y f x f . 否则的话,若1)(0<x f 或1)(0<y f ,则1)1()()1()(000000=-+<-+ααααy f x f ,矛盾.因此2)(|)(|sup||||0000,1||||00=+≥+=+*∈=y x f y x f y x Xf f ,又由2|||||||||||0000=+≤+y x y x可知2||||00=+y x ,但这与2||||00<+y x 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.2.5 严格凸空间Clarkson A J ..在1936年引入了一致凸的Banach 空间的概念,证明了取值一致凸的Banach 空间的向量测度Nikodym Radon -的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究Banach 空间性质的方法.Clarkson A J ..和Gkrein M . 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.定义 2.5.1 赋范空间X 称为严格凸的,若对任意1||||,1||||,,==∈y x X y x ,y x ≠,都有1||2||<+yx严格凸的几何意义是指单位球面X S 上任意两点y x ,的中点2yx +一定在开单位球}1|||||{<=x x U X 内.例2.5.1 Banach 空间0c 不是严格凸的. 取000),0,0,1,0(),,0,1,1(c y x ∈== ,则1||||||||00==y x ,且对),0,0,1,21(200 =+y x ,明显地有 1||2||00=+y x .类似地,易验证,Banach 空间 ∞l l c ,,1都不是严格凸空间.例2.5.2 若1||||,1||||,,2==∈y x l y x 且y x ≠,则4||||2||||2)||2()||2()||()||(||||||||221212121222=+=+=-++=-++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=y x y x y x y x y x y x i i i i i i i i i i从而4||||4||||22<--=+y x y x ,即1||2||<+yx . 所以2l 是严格凸的.类似地,容易证明Banach 空间)1(∞<<p l p 是严格凸的.定理2.5.3 若X 是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函*∈X f , f 最多只能在X S 上的一点达到它的范数||||f .证明 反证法.假设存在1||||||||,0000==≠y x y x ,使得||||)()(00f y f x f ==由于||||)]()([21)2(0000f y f x f y x f =+=+ 因此||2||||||)2(||||0000y x f y x f f +≤+= 从而1||2||0≥+y x 明显地,12||||||||||2||0000=+≤+y x y x .因此 1||2||00=+y x ,但这与X 的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.设X 是赋范空间,M 是X 的子空间,对*∈X f , f 在X 上可能有不同的保范延拓,不过,*X 的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.Taylor A .在1939年证明了以下结果-function linear of extension The Taylor A ,.[ ].547538),1959(5..,-J Math Duke als .定理 2.5.4 若*X 是严格凸,M 是X 的子空间,则对任意*∈M f ,f 在X 上有唯一的保范延拓.证明 反证法. 假设对*∈M f ,f 在X 上有两个不同的保范延拓1F 及2F ,即对任意M x ∈,都有)()()(21x F x F x f ==,且||||||||21F F =,则1||2/)||||||||(||21≤+f Ff F 由于2|)()(|sup 2||sup ||2||21,1||||21,1||||21x F x F F F F F Mx x X x x +≥+=+∈=∈= ||||2|)()(|sup,1||||f x f x f M x x ≥+=∈=因此1||2/)||||||||(||21=+f Ff F ,但这与*X 是严格凸矛盾. 所以f 在X 上只有唯一的保范延拓.思考题2.5.1 若对X 的任意子空间M ,任意的*∈M f ,f 在X 上都只有唯一的保范延拓,则*X 是否一定为严格凸的？严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.定义2.5.2 设X 是赋范线性空间X x X M ∈⊂,,若存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈则称0y 为M 中对x 的最佳逼近元.定理2.5.5 设M 为赋范线性空间X 上的有限维子空间,则对任意X x ∈,存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,由下确界的定义,存在M y n ∈,使得d y x n →-||||因而}{n y 是有界序列,即存在0>C ,使得C y n ≤||||,对任意n 成立.事实上,若}{n y 不是有界序列,则对任意N k ∈有}{n n y y k ∈,使得k y k n >||||,故)(||||||||||||||||∞→∞→-≥-≥-k x k x y y x k k n n .但这与d y x k n →-||||矛盾,所以}{n y 为有界序列.由于M 是有限维,且}{n y 为M 中有界序列,因此}{n y 存在收敛子列0y y k n →,且M y ∈0.故d y x y x k n k =-=-∞→||||lim ||||0,所以存在M y ∈0.且||||inf ||||0y x y x My -=-∈.问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？例 2.5.6 在2R 中,取范数|}||,max{|||||21x x x =,}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的一维子空间,取20)1,0(R x ∈=,对于任意M x x ∈=)0,(1,有1}1||,max{||||)0,()1,0(||||||110≥=-=-x x x x故1}|||inf{||),(00≥∈-=M x x x M x d对于)0,1(0=w ,有1||||00=-w x .因此1}|||inf{||),(00=∈-=M x x x M x d . 但对于)0,0(=u 及)0,1(-=v ,都有1||||||||00=-=-v x u x ,因此0x 在M 的最佳逼 元不唯一.既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？定理2.5.7 设X 是严格凸空间,M 为X 的有限维子空间,X x ∈,则在M 中存在唯一的最佳逼近元,即存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,假设存在M y y ∈21,, 使得d y x d y x =-=-|||||,||||21则由M y y ∈+221,可知d y y x ≥+-||2||21. 由于d y x y x y y x =-+-≤+-||2||||2||||2||2121,从而d y y x =+-||2||21. 因此1||||,1||||21=-=-d y x d y x ,且1||2/)(||21=-+-dy x d y x .但这与X 的严格凸性。
第二章 赋范线性空间2
( A + B) x = Ax + Bx , (λ A) x = λ Ax
9
则 A + B 及 λ A ∈ B( X , Y ) 。 可以验证 B ( X , Y ) 成为一个线性空间， 并且按算子范数成为一个 Banach 空间。 注： 单位算子 I : X → X , Ix = x , 对 x ∈ X ；零算子 0 : X → Y , 0 x = θ ∈ Y , 对 x ∈ X 。 零算子是 B ( X , Y ) 中的零向量。 还可以定义乘积 BA : ( BA) x = B( Ax) ，x ∈ X 。 对 A ∈ B( X ) 对 A ∈ B( X , Y ) 和 B ∈ B (Y , Z ) ，
*
α
1) M f 为 X 的一个闭子空间; 2) 取 x0 ∈ X 使 f ( x0 ) ≠ 0 , 则
α
0
X = M0 f + {λ x0 | λ ∈ R} ;
0
3) 若 f ( x0 ) = α , 则 M f = x0 + M f .
Mα f 称为 X 一个超平面.
凸集分离定理(Eidelhei): 设 G 0 , G1 为实的赋范空间 E 的两个非空 凸集, 且 G 0 ∩ G1 = ∅ , 那么存在一个超平面 H 分离 G 0 与 G1 , 即存在
a ≤t ≤b a a ≤t ≤b a ≤t ≤b a
b
b
例2.3
设用 l 作为离散信号空间，取 h = ( hi ) ∈ l 为一个线性时不变滤波器的单位脉冲响应，
1
∞
9
y = Hx ， yn =
i =−∞
∑hx
∞
i n −i
H : l ∞ → l ∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间_图文
所以对定义的加法与数乘运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
所以 对所定义的运算构成线性空间．
3、线性空间的基和维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由
个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
问题： 在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间_图文 .ppt
第一节 线性空间与赋范线性空间
一、线性空间
1.线性空间概念
定义2-1 设Ｖ是一个非空集合，F是数域，如果 ①在集合Ｖ中定义了加法运算，记为“+”， ②即∀α，β∈Ｖ，有α+β∈Ｖ； ③在数域F和集合Ｖ的元素之间定义了数量乘法， ④即∀ k∈F，α∈Ｖ，有kα∈Ｖ；
2、几个具体的线性空间实例
Ｒ：可以看成是实数域Ｒ上的线性空间，加法和数乘是
实数中的加法和数乘；
Ｃ：可以看成是复数域Ｃ上的线性空间，加法是复数的
加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；
Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：实数域（复数域）上所有ｍ×ｎ矩
阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘， 构成线性空间；
P[x]n：实数域上所有次数≤ｎ的多项式。按多项式加法和 数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数＝ｎ 的多项式全体不能构成线性空间； P[x]：实数域上多项式全体.按多项式加法和数乘多项式法 则构成线性空间；
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证明 （1）反证，若 不完全有界，则存在
限
‐网。从而
，使得 无有 ，
则 无收敛子列。
(2) 任取 中序列 ，对 的 1‐网， ； 对 的 1/2‐ 网 ，
及 及
的子列 的子列
由 完备知
； ，对 的 1/k‐网， ； ，则对角线子列
收敛。
及
的子列
是 Cauchy 列，
命题 4 完全有界的度量空间 可分的。
证明 记 是 的 ຫໍສະໝຸດ 网，则就是可数稠子集。推论 列紧度量空间可分。
定理 2 度量空间 的子集 是紧的充要条件是 自列紧。
证明 （a） 闭。
，
，所以
存在
使得
，令
，则
，从而 开，所以 闭。
（b）若
无收敛子列，则 闭，由
闭，所以 知
有
，即
矛盾。
，设
是一个开覆盖，它不能选出有限子覆盖。由
完全有界知 有 ‐网
，且至少有一个
不被有限个 覆盖，由 自列紧知
有子列 收
敛于
，从而 充分大之后
，矛盾。
推论 度量空间 是紧的充要条件是 列紧
z
中列紧的刻画
紧度量空间， ，特例
有界，
命题 5
是完备度量空间。
一致有界，等度连续
定理 3（Arezla‐Ascoli）
列紧的充要条件是 一致有界且
等度连续。
证明 ，列紧 完全有界 有界、等度连续。
4 线性赋范空间
线性结构
线性空间，线性子空间，极大子空间，线性流形，超平面，线性基，
维数，和、直和，线性同构，商空间
设 是数域 上的线性空间，
是一个子空间，则
由
定义了 上的一个等价关系，
代表的等价
类记为
，所有等价类全体记为 。令
则 按这种加法和数乘构成一个线性空间，称为 与子空间 的商
空间。
定理 1 任何线性空间都有基，同一线性空间的不同的基等势，两个
特别的，
可测， 为 Lebesgue 侧度，记
为 ，称之
为 Lebesgue 空间，或大 l‐p 空间。
， 为自然的计数侧度，则
记
为 ，称之为小 l‐p 空间。
例7
，
例 8 Sobolev 空 间 .
。
有界连通开区域，
令 记为
， ，称 Sobolev 空间。
完备化后所得的空间
线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。
定理 2 若 是有限维线性空间，则 的每一个真子空间的维数严格小
于 的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若 是无限维线性
空间，则总有 的一个真子空间的维数等于 的维数，故总有真子空
间与全空间线性同构。
定理 3 若
是一个子空间，则
。
定理 4 设 为数域 上的线性空间，
线性映射，则
是一个线性同构，且
推论
线性且非零，则
子空间，对任何 ，
。 是 的一个极大 是一张超平面。
拓扑结构
准范数，半范数，范数， 空间，Frechet 空间， 空间，Banach 空 间
常用空间
例 1 空间 ，
例2
，
例3 ，
例4
有界开， ，
例 5 紧度量空间，
，
例6
，
是一个测度空间，
这时范数的三角不等式就是著名的 Minkowski 不等式 其证明要用到基本的 Holder 不等式，若
，由
完备，只须证 完全有界，为此要构造 的有穷 ‐网。
利用 的紧性将 中的元采样投射到 中，利用 中有界集的列
紧性即可。
例
有界开凸集，
表示 上一阶连续可微函数全体，
对任意
，令
则
构成完备度量空间，且
中的有界集映成 的紧集,即 是紧嵌入。
Problem 研 究
点特性。
Exe P19 2，5，9
，把 的不动
3 列紧性
z紧
度量空间 中的子集 称为紧的，是指 的任意开覆盖都有有限的
子覆盖。若度量空间 紧，则称度量空间 是紧空间。
度量空间 中的子集 称为列紧的，是指 的任意序列都有子列在
中收敛；度量空间 中的子集 称为自列紧的，是指 的任意序
列都有子列在 中收敛。若度量空间 列紧，则称度量空间 是列
紧空间。
对于全空间来说，列紧和自列紧是一样的。
命题 1 中的有界集是列紧集， 中的有界闭集是自列紧集。
命题 2 列紧空间的子集是列紧的；列紧空间的闭子集是自列紧的。
命题 3 列紧空间是完备的。 证明 若 Cauchy 列有收敛子列，则它自身收敛。
‐网，有穷 ‐网，完全有界，可分
定理 1 （Hausdorff）度量空间 的子集 列紧，则 完全有 界；完备度量空间 的子集 完全有界，则 列紧。