第1章 量子理论基础

第一章 量子理论基础 例题解析

1 金属钠的逸出功是2.3eV, 波长5.890x10-7m 的光能否从金属钠表面打出光电子？在金属钠上发生光电效应的临域频率是多少？ 解：

(1) 根据Einstein 光电方程0

2

21w mv

h +=

ν可知，只有当入射光的能量0

w h >ν时，才可能使电子克服逸出功而产生动能为22

1

mv 的光电子。

J

J eV w 19

19

010

685.310

602.13.23.2--⨯=⨯⨯==

由于18103-⨯==ms c c ，λν，波长5.890x10-7m 的光的能量为：

J c

h

h 19

7

834

10

375.310

890.510

310

626.6---⨯=⨯⨯⨯

⨯==λ

ν

可见，0w h <ν，波长5.890x10-7m 的光不能从金属钠表面打出光电子。 (2) 通过逸出功和临域频率之间的关系，即00νh w =，可获得金属钠的临域频率。

1

14

34

190010

561.510

626.610685.3---⨯=⨯⨯=

=

s

h w ν

2 对任意实物粒子，物质波波长为λ，欲求其动能可用下面哪个公式？ (1)

λ

hc

(2)

2

22λ

m h

(3) eV

解：

因为光速C 、频率ν和波长λ有如下关系： λ

νC

=

故光子能量为)(λνεc h h ==。所以(1) 式只适用于光。不适用于实物粒子。 (3) 式为一个电子通过电势差V 所获得的能量，仅对电子适用。

对任意实物粒子，动量p=mv 。故mT mv m mv P 2212)(222=⋅==，T 为粒子动能。根据德布罗依关系式mT

h P h 2=

=λ有2

22λ

m h

T =

所以(2) 式对任意实物粒子

都适用。

3 若描述粒子运动状态的波函数为)2

1

exp()(22x x αψ-=，其中α为实常数，求(1)

归一化常数，(2)该粒子几率密度。 解:

(1)根据归一化公式，假设归一化函数为)21

e x p ()'(22x k x αψ-=，则

1)'()'*(=⎰

∞

∞

-dx x x ψψ

即1)exp(222=-⎰∞

∞-x d x k α，根据积分公式，α

π

α2)exp(02

2=

-⎰

∞

x d x ，

所以归一化因子

π

α=

2

k

，即2

1

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=παk

(2) 归一化的波函数为)21exp()2221

x x απα

ψ-⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=（

粒子几率密度为)exp())(2

2

2

x x x W απ

αψ-=

=（

)(x W 取极值的条件是一阶导数为零，即，

)exp(2)(2

23

=--

=x x x W dx

d απ

α

显然，当0=x 时，)(x W 取极大值，为π

α=)0(W ；当α

1

±

=

x 时，π

αα

e W =

±

)1

(；

当0)(=±∞=±∞=x W x 时，。上述结果表明，在无穷远处发现粒子的几率为零，说明该粒子的运动被束缚在一个有限的空间之中，即状态)21

exp()(22x x αψ-=描

述的是一个束缚态。

习题答案

1 什么是物质波和它的统计解释？ 参考答案:

象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准

确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ

*

2

代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒

子的几率应为τd 2

ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12

=ψ⎰

τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案

合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数2

ψ

代表概率密度的物理意义，

所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案

在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案

根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其

相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？ 参考答案

(a)根据爱因斯坦光电方程W m h +=221υν，又λνc =，得光电子动能：