圆锥曲线焦半径问题
焦半径三部曲
以椭圆为例证明，由焦半径公式可得
上述公式具体有统一性。椭圆、双曲线和抛物线均 适合，抛物线的离心率，若定义∠PFO=θ，焦点在 x轴y轴公式均适合。
• 焦半径三部曲（坐标式、角度式和定比模型）今 天就全部完成了。
• 基本上所有焦半径的题型都可以用这三个切入点 做出来，遇到坐标用坐标式，遇到直线用斜率式， 遇到比值用定比模型。
如果在解答题上用公式，需要写上述的证明，其实证 明也就的记忆规律：同正异负.即当P与F位于y 轴的同侧时取正，否则取负. 取∠PFO=θ，无需讨论焦点位置，上述公式均适合。
三、抛物线焦半径（角度式）
圆锥曲线焦半径三部曲——定比模型
• 所以，任何二级结论要先熟练掌握它的推导过程， 而不是只停留在像背诵英文单词一样把它背下来。
• 表象都是结论，背后全是推导。
三、抛物线焦半径
圆锥曲线焦半径三部曲——角度式
• 一、椭圆焦半径（角度式）
注：上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点,O 为圆点.主要优点为焦点在左右上下均适合，无需再单独讨 论。 若将角度统一为直线的倾斜角，需要讨论焦点位置，为记忆 公式方便全文角度统一为∠PFO=θ。
• 关于这些焦半径二级结论我还有话要说。
• 二级结论是指在平时的教学中，由教材中原有的 公式、概念和定义进行归纳推导得出的在一定条 件下成立的结论。
• 确实记住了这些二级结论针对一些特有的题型能 不假思索，快速做出答案。
• 但是 • 高考命题的专家不是白吃干饭的，为体现高考的
公平，命题组肯定会绞尽脑汁考察三基。若过度 依赖二级结论，思维容易僵化，遇到一些似是而 非的题目时往往乱套结论，同时二级结论往往都 有一定的条件限制，用的越爽限制条件往往越大。
圆锥曲线二级常用焦半径定理
圆锥曲线二级常用焦半径定理圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，它在几何学、物理学和工程学中有着广泛的应用。
在研究圆锥曲线的性质时，我们经常会遇到焦半径及其相关定理的概念。
本文将介绍圆锥曲线二级常用焦半径定理，希望能为读者提供一些指导意义。
圆锥曲线是由一个移动的直线在平面上绕着一个固定点旋转而形成的。
这个固定点被称为焦点，而直线称为准线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种封闭曲线，它的特点是离焦点距离之和是一个常数。
关于椭圆的焦半径定理如下：椭圆上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之和等于椭圆的焦半径。
具体来说，我们可以以椭圆的准线上一点为起点，任意作一条切线与椭圆相交于另一点，然后将这两个点与椭圆焦点连线，我们可以发现这个三角形的两条直角边之和是一个定值，即椭圆的焦半径。
双曲线是一种开口的曲线，它的特点是离焦点距离之差是一个常数。
关于双曲线的焦半径定理如下：双曲线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之差等于双曲线的焦半径。
与椭圆相似，我们以双曲线的准线上一点为起点，任意作一条切线与双曲线相交于另一点，然后连结这两个点与双曲线的焦点，我们可以发现这个三角形的两条直角边之差是一个常量，即双曲线的焦半径。
抛物线是一种开口向上或向下的曲线，它的特点是离焦点距离等于焦准距的一半。
因此，抛物线的焦半径定理可以简单地表述为：抛物线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个等腰三角形，且这个等腰三角形的底边长度等于焦准距的一半。
同样，我们以抛物线的准线上一点为起点，任意作一条切线与抛物线相交于另一点，然后连结这两个点与抛物线的焦点，我们可以发现这个三角形的底边长度正好是焦准距的一半。
通过了解圆锥曲线二级常用焦半径定理，我们可以更好地理解圆锥曲线的性质和特点。
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点．则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2 = 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：ca x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………①又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ． (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ， 假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π , ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2． ② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k cx y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1， ∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF ,又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111cx y k PF +==β 设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=, 而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=． ∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角，由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠c x x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =c x x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1，所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+． 证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ nm mn EF +=||， 同理 n m mn EH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线．∴ |EF| + |EH| = P =n m mn +2, 故 Pn m 211=+． 图9-6 点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P-，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P; ⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
圆锥曲线通径和焦半径
经过圆锥曲线焦点且与对称轴垂直的直线被圆锥曲线截得的线段长叫通径圆锥曲线上任意一点与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程），分别为椭圆或双
曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，是相应圆锥曲线上的一点．另外，所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明．
焦半径是指圆锥曲线上任意一点与焦点的连线段．对于椭圆与双曲线上的任意一点，都对应两条焦半径；对于抛物线上的任意一点，焦半径唯一存在。
一。
(完整版)用圆锥曲线的焦半径解题
用圆锥曲线的焦半径解题
圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径。
凡是遇到圆锥曲线上的点到其焦点距离的有关问题，可考虑使用焦半径来处理。
一、利用椭圆的焦半径
若椭圆的两个焦点为、是椭圆上任一点，则该椭圆的焦半径。
证明：椭圆相应的准线方程是和，由椭圆的第二定义，得
，整理，得
例1. 已知点P在椭圆上，F
1、F
2
为椭圆的左右两个焦点，
求的取值范围。
解：设P点坐标为，因为P点在椭圆上，所以，故
根据焦半径公式有，，故
又因为，所以，即。
二、利用双曲线的焦半径
若双曲线的焦点坐标是和，是双曲线上任一点，则该双曲线的焦半径，。
证明：双曲线的左右准线方程为和，根据双曲线的第二定义，得：
，整理，得
例2. 双曲线的两个焦点分别为F
1、F
2
、P为双曲线上的任意一点，
求证：成等比数列。
证明：设，则P到中心O的距离，又因为此双曲线为等轴双曲线，所以，由双曲线的焦半径公式，得：
从而
故成等比数列。
三、利用抛物线的焦半径
若抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则该抛物线的焦半径。
证明：由抛物线的准线为，根据抛物线的定义，得。
例3. 已知抛物线的一条焦点弦被焦点分成为m、n的两部分，求证：。
证明：设焦点弦AB的方程为，将其代入抛物线，有。
令、，根据焦半径公式，得
，所以。
故。
关于圆锥曲线焦半径的两类公式
∵线段 Q F2 交双曲线于点 P , 即 P 在
Q F2 上 , 于是 Q P∶ PF2 = | Q P | ∶ | PF2 | = 2 ,
由定比分点公式得点 P (
点 , F 是焦点 , 若 PF 或 PF 的延长线交 y 轴 于点 Q , 有向线段 PQ ∶ Q F = λ, 则 | PF | =
求.
3 ) P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )
4
= 1 上 一 点 , F1 , F2 是 两 焦 点 , 当
∠F1 PF2 为钝角时 , 点 P 横坐标的取值范围 是
.
上任一点 , F 为抛物线的焦点 , 则抛物线的 焦半径公式为| PF| = x 0 +
p
2
(1 - λ ).
2 21 c, c) . 3 6 11 c 5c ∴ | PF1 | = , | PF2 | = , 故有 6 6 2 | PF2 | 1 +λ e a +λ ce 5 = = . 2 = | PF1 | a-λ 11 ce 1-λ e
证 1) ①当 E 为左焦点时 , x E = - c , 又 ∵ x Q = 0 , ∴λ = PQ ∶ Q E = ( x Q - x P) ∶
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
②当 E 为右焦点时 , x E = c , 仿 ①的方 法可得 x P = - λ c , 代入椭圆焦半径公式即可 得证 . 2 ) , 3) 的证明与 1) 相仿 , 从略 .
圆锥曲线常用结论(收藏版)
二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2， 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（ ）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双 曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)， 过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
巧推圆锥曲线方程 妙得焦半径公式
x2+ c2+y2=
a2+
c2 x2 a2
，
即 (a2− c2)x2+ a2y2 = a2(a2− c2) ，
两边同除
a2
(a2−
c2
)
得
x2 a2
+
a2
y2 − c2
=1
，
又 a2− c2>0 ，令 b = a2 − c2 ，则方程可简化为
2013 年第 12 期
福建中学数学
23
x2 a2
+
y2 b2
故方程化为
⎧⎪| ⎨
MF1
|=
(x + c)2 + y2 = a − d
(1)
⎪⎩| MF2 |= (x − c)2 + y2 = a + d (2)
由 (1)2− (2)2 得 d = − c x ……(3)， a
又由 (1)2 + (2)2 得 x2+c2+y2= a2+d 2 ，
将(3)代入得
= 1(a
>b > 0)
，即为动点
M
的轨迹方程．
评注 首先，以上推导过程比传统方法推导过程
要简单、易操作(最后证明
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>b
>
0)
即为动
点 M 的轨迹方程已省略，下面双曲线同)．笔者在课
堂教学应用时，同学们思考积极性，参与程度明显
提高(笔者任教两个班级，分别以传统推导方法、本
d , 则公差为 ±a ，因为 | MF1 | + | MF2 |≥| F1F2 | ，∴ d ≥ c ．
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此，掌握它是非常重要的.圆焦半径：R f=" + xe, R，-; = a- xe,右支双曲线焦半径：R t =xe + th R = x e■- </ (x > 0),左支双曲线焦半径：R t = - (x e + a), R 6 = - (x e- a) (x <0),抛物线焦半径：Rw + f .art对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得.如对双曲线而言：当P(xo,yo)是双曲线屁2_巧2 =局2(“>0">0)右支上的一点，Fl,F2是其左右焦点.则有左准线方程为.丫 =-必.C由双曲线的第二怎义得，左焦半径为IPF] 1=&(心+・)=5+^；c由IPFiF IPF2I =2r/,得IPF2I = IPF2I - 2a = ex0 - ・(IPF2I亦可由第二定义求得).例1已知Fi，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以Fi为顶点，F?为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足IPF,l = elPF2l.贝9 e的值为()(A)苹(C)斗(D)2-j2解法1 设F,(-c,0), F2(C,0), P(A O,yo),于是，抛物线的方程为^=2(4c)(x + c),抛物线的准线/： x=-3c,椭圆的准线m： x = - —, c设点P到两条准线的距离分別为d 1, di.于是，由抛物线定义,得J1 = IPF2I, ................ ①又由椭圆的定义得IPFil = ed2,而IPFil = elPF2l, ..................... ②由①②得t/2 = IPF2l,故山=鸟,从而两条准线重合.・•・—3c = _Xne2=_lne =週.故选(C).c 3 3解法2 由椭圆定义得IPF1l + IPF2l = 2a,又IPF|l = elPF2l, A I PF2I (l+e) = 2a, .. ①又由抛物线定义得IPF2I= AO +3C,即XO =IPF2I-3C,.......................... ②由椭圆定义得IPF2l = “—exo, ............................. ③由②③得IPF2l = "—elPF2l + 3ec,即I PF?I (1+e ) = “ + 3ec, ......... ④由①④得2a = a + 3ec,解得e =斗,故选(C).点评结合椭圆、抛物线的泄义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E：+ (a> b> 0),的左、右焦点分别为Fi,氏，右顶点为A.如果点M为椭圆E上的任意一点，且IMF.I - IMF2I的最小值为4(1)求椭圆的离心率e：(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数X(X>0),使得ZPAF> = X ZPF>A成立？试证明你的结论.分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而ZPFiA显然是一锐角，又易知ZPAFi是(0. 123)内的角，且90。
圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用
㊀㊀㊀圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用◉浙江省诸暨市草塔中学㊀金铁强椭圆㊁双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用 设而不求 来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到 设而求之 才能解决．对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直观地解题．图１１焦点在x 轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用㊀㊀如图１,设椭圆E 为x ２a２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０),F １,F ２为椭圆E 的焦点,P Q 为椭圆E 过点F １的焦点弦．当P Q 垂直于x 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最短的一条,即通径,满足|P Q |＝２b２a;当P Q 垂直于y 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最长的一条,即长轴,满足|P Q |＝２a ．除了这两条特殊的焦点弦,我们任意作一条焦点弦,连接P F ２,构成焦点三角形P F １F ２,令øP F １F ２为α,为焦点弦P Q 的倾斜角．设|P F １|＝x ,则|P F ２|＝２a －x ．在әP F １F ２中由余弦定理得c o s α＝x ２＋(２c )２－(２a －x )２４x c．整理得到x ＝a ２－c ２a －c c o s α＝b２a －c c o s α,即|P F １|＝b ２a －c c o s α．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．同样地,在图１中,若我们连结Q F ２,构成焦点三角形Q F １F ２,可得|Q F １|＝b２a －c c o s (π－α),即|Q F １|＝b２a ＋c c o s α,得到焦点弦|P Q |＝b ２a －c c o s α＋b ２a ＋c c o s α＝２a b２a ２－c ２ c o s ２α．这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．例１㊀设F １,F ２分别为椭圆x ２３＋y ２＝１的左右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F １A ң＝５F ２B ң,则点A 的坐标是．图２解析１:(常规解法)如图２,已知椭圆x ２３＋y ２＝１,则焦点F １(－２,０),F ２(２,０)．因为F １A ң＝５F ２B ң,则F １A ң与F ２B ң共线,即F １A 与F ２B 平行．延长A F １与椭圆交于点C ,由椭圆与两个焦点都关于(０,０)对称,可知C F １ң＝F ２B ң,则F １A ң＝５C F １ң．那么问题就转化到焦点弦A C 了．可验证当点A 在x 轴上时,不满足条件,故设A (x １,y １),C (x ２,y ２),直线A C 为x ＝m y －２,求出A (x １,y １)的坐标．到这里,我们发现,该题目其实不能用 设而不求 ,因为最后问的是x １及y １的值,最后反而是 设而求之 ．联立x ＝m y －２与x ２３＋y ２＝１,消去x ,得到方程(３＋m ２)y ２－２２m y －１＝０．则y １＋y ２＝２２m m ２＋３,y １y ２＝－１m ２＋３．又y １＝－５y ２,解得y ２１＝１．则A (０,１)或A (０,－１)．解析１虽步骤不多,但运算复杂．如果我们用焦半径公式,整个问题就豁然开朗．解析２:(焦半径公式法)首先,利用椭圆与平行线的点对称问题同上解,问题转化到焦点弦A C 中来．设A C 的倾斜角为α,由F １A ң＝５C F １ң,可直接利用公式得到方程b ２a －c c o s α＝５b２a ＋c c o s α,则６c c o s α＝４a ,即c o s α＝２a ３c ＝２３３２＝６３．所以直线A C 的斜率k ＝２２,直线A C 方程为y ＝２２x ＋１,联立椭圆方程x２３＋y ２＝１,易得x ＝０,y ＝１．即A (０,１)．再利用对称性可得A (０,－１)(此时倾斜角α为３５２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀钝角,斜率k＝－１２)．运算可简便很多．综上可知:A(０,１)或A(０,１)．分析公式的本源可得出很简单的结论,焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a,c的值),与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系,即a,c,α三个量决定了焦点弦的一切,那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题,解题就方便多了．２焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用同样地,该公式也适用于双曲线．例２㊀已知双曲线方程:x２３－y２＝１,左焦点为F,过F作两条相互垂直的直线与双曲线相交于A,B,C,D四点,求四边形A B C D面积的最小值．解析:由条件知,若焦点弦为一条交于双支,一条交于单支,则不能构成四边形,则两条焦点弦都交于左支或都交于双支．(１)若两条焦点弦都交于双支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＜３３,且０＞t a nπ２＋αæèçöø÷＞－３３,不存在这样的α．(２)若两条焦点弦都交于左支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＞３３,且t a nπ２＋αæèçöø÷＜－３３,则αɪπ６,π３æèçöø÷．S A B C D＝|A C| |B D|２＝１２２a b２(a２－c２ c o s２α)２a b２a２－c２ c o s２α＋π２æèçöø÷éëêêùûúú＝３３－４c o s２α２３３－４s i n２α＝６９－４＋１６c o s２α s i n２α＝６５＋４s i n２２αȡ２３．当s i n２２α＝１,即α＝π４时,等号成立,此时四边形A B C D面积的最小值为２３．利用公式直接代入,解题过程简洁明了,优点显而易见．３焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式如图３,设椭圆T:y２a２＋x２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭圆T的焦点,上准线为y＝a２c,P Q为椭圆T的焦图３点弦,P Q的倾斜角为α,P H与上准线垂直于H,N为上准线与y轴的交点．由|P F１||P H|＝ca,|PH|＝a２c＋(|P F１|s i nα－c),可以得a|P F１|＝c a２c－c＋|P F１|s i nαæèçöø÷,即|P F１|＝b２a－c s i nα．同理,|Q F１|＝b２a＋c s i nα,且|P Q|＝２a b２a２－c２s i n２α．焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式只需把焦点在x轴上的焦半径公式中的c o sα换成s i nα,其他不变．因此,简单总结如下:(１)焦点在x轴上的椭圆或双曲线(双曲线要求焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,即焦点弦的斜率满足k＞ba或k＜－ba时),其焦点弦为P Q,焦点弦的倾斜角为α．P Q被焦点分成P F１与P F２两段,其中较长的一条为|P F１|＝b２a－c c o sα,较短的一条为|Q F１|＝b２a＋c c o sα;当曲线为双曲线时,若其焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,即焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a时,此时较长的一条|P F１|＝b２c c o sα－a,较短的一条|Q F１|＝b２c c o sα＋a(绝对值取决于倾斜角为锐角还是钝角)．(２)焦点在y轴上的椭圆或双曲线,把上述公式中的c o sα换成s i nα即可．唯一有变化的是当焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a;当双曲线的焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,焦点弦的斜率满足k＞ba,或k＜－b a．即α的取值范围要求发生变化,而公式的结构不变,只需把公式中的c o sα换成s i nα,而且,由于αɪ[０,π),s i nαȡ０恒成立,有绝对值的部分可以去掉．参考文献:[１]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学 选修２Ｇ１(A版)[M]．２版．北京:人民教育出版社,２００７．[２]丁益民．数学公式的 二次处理 对学生思维的培养．数学通讯,２０１０(２２):１Ｇ２．F４５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线中的焦半径公式的应用
０ ３０ ） ６ ００
（ 华 。） 华 一＇ ｚ
而 ＝ 、 ÷ 佩 ．
。 一
・ ． ‘
的焦半径．
一
、
椭 圆
Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ １
２ ＜ ４，
标准方程 ： ＋
＝１ ｎ＞６＞ ） （ ｏ
・ ． ．
／ ０＋ ６ 一 ＜ ， ６ ＜ ． ２ ４ ２ ４ ． ４ ・ ．
焦 半 径 ： Ｐ ｌ ＝ｎ＋ Ｉ Ｆ ＝ ｌ Ｆ ｌ ｅ ， Ｐ ２ Ⅱ一ｅ． ｌ ｘ 对 于 焦 点 在 Ｙ轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半
径 ， 自己推 导． 可
二 、 曲 线 双
又 ． ’６∈ Ｎ ．’ ＝１． ． ．ｂ
例 ３ 过 椭 圆 ２ ｘ ＋ｙ ＝２的 一个 焦 点 Ｆ ０ １ 作 一 直 线 （ ，）
三 、 物 线 抛
，
／＼ ＼ ＝
ｕ）， ），
＝
＝
（
标 准 方 程 ： ±２ ｘ Ｐ＞ ） Ｙ＝ ｐ（ ０ ．
Ｉ Ａ Ｉ＋ Ｉ Ｂ Ｉ＝ｎ — ｅ Ｆｌ Ｆ２ ｙｌ＋ 。 一 ｅ ２ ｙ
焦 半 径 ：Ｐ ＝ ｌ Ｉ ． ｌ ＦＩ ＋
＝
对 于抛 物 线 的 其 他 形 式 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半 径 ， 可 自己 推 导．
（ ） Ｉ ＢＩ ， ０ ａ＋ （ ＋ ） ， ２ 若 Ａ ≥２ 贝 ２ ｅ ≥２
・ ．
． ｌ＋ ２≥ 一 ３
・
一
Ｉ Ｐ，１ｌ＝ ｅ １＋口，Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ ｅ ｌ— ｒ． 上
．
．
ｌ ＋
ｔ ａｎ
字 ｔ≤ ， ｊａ 字 ｎ ｊ ≤
圆锥曲线焦半径最值分析
l/.l
=
e$
\
MF1 \ = ex 〇+a
再由椭圆的第一定义可得： IMFJ =2 a - IM.1l=- ex〇 + a证 毕 。 由于0< e < 1 ， 因 此 IM. I是 关 于 x〇 的增函数， 同理，
备考方略
\ M F\ $
由此可 以 看 出 IMF!是 关 于 ％!的 增 函 数 ， 故 拋 物 线 上 的 点 M 越 靠 右 ，它 到 焦 点 的 距 离 就 越大。 于是就有\ M F U = f ( M 运 动 到 原 点 ）处 ）
2
， P2 取最小值， 此时 (e - 1 ) (3 )拋 物 线 ： 以焦点为极点， ％轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 则由第二定义可知：
(P 2)#in =:
eP
P
P+pcos "
e=
1
#
p=
P
-
1 -Байду номын сангаас o s "
-(p > 0 , 0 % " < 2 ! )
对于圆锥曲线而言， 我们最常用的是直角坐标， 然 而 就 焦 半 径 而 言 ，不妨 我 们 引 人 圆 锥 曲 线 的 极 坐 标， 来进一步探究焦半径的最值。 二、 极坐标系中的焦半径公式（ 本文仅以焦点在 极轴上的情况为例） 以 椭 圆 的 左 焦 点 (双 曲 线 的 右 焦 点 、 抛物线的焦 点） 为极点， 过点F作相应准线的垂线， 垂足为* ， 以 F * 的 反 向 延 长 线 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。椭 圆 、 双曲 线 、抛 物 线 统 一 的 极 坐 标 方 程 为 : p = ^ M 1-+ C 0S " 其 中 +为 离 心 率 (+>0)， "为 极 角 ，P 是定点 F 到 定 直 线 的 距 离 （>0)(下 同 ） 。 当0< e <1时 ， 方程表本椭圆； 当 +>1时 ， 方程表示双曲线的右支， 定点是右焦 点(允许 P < 0 ， 方程就表示整个双曲线） ； 当e =1时 ， 方程表示开口向右的抛物线。 接下来我们对每一种情况进行分析 ⑴椭圆： 以左焦点为极点， ％轴正半轴为极轴， 则由第二定义可知：
圆锥曲线的焦半径巧用print
圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点． 则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2= 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：c a x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………① 又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ．(2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π, ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2．② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k c x y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1，∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF ,又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111c x y k PF +==β设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=,而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=．∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角，由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠cx x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =cx x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1， 所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+．证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ n m mn EF +=||， 同理 n m mnEH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线． ∴ |EF| + |EH| = P =n m mn+2, 故 P n m 211=+． 图9-6点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P -，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P;⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径一一角度式椭圆的焦半径2设P 是椭圆X 2 a2-yr 1 （ a b 0）上任意一点，F 为它的一个焦点,贝U bPFO，则IPFb 2 a ccos上述公式定义 PFO， P 是椭圆上的点，F 是焦点，0为原点，主要优UUml ULIJU ULIn 证明：设I PF l m ,另一个焦点为F ，则PFFF FP UJLuI 2 UULUI 2 UUllJ UUU UUU 2两边平方得：PF FF 2FF FP FP2 2 2即：(2 a m ） 4c 4cm CoS m得：PFa c cosAF BFl ，贝U 的值为 _______2 22 （2002全国理）设椭圆x 2占1 （a b 0a b2ι过椭圆x ～4 1的右焦点F 任作一直线交椭圆于 A 、B 两点，若AFBF线交椭圆于P Q 两点,求证： 1 PF 1 QF为定值，并求这个定值 结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即 1_ _1_ 2aAF BF b 2的一个焦点F ,过F 作一条直 无需再单独讨论2 3（2007重庆理）在椭圆笃a2y21（ a b 0）上任取三个不同的点R , P 2， P 5 , b2 26( 2010辽宁理）设椭圆C ：笃占1( aa bIUur UUn直线与椭圆C 相交于A , B 两点,直线I 的倾斜角为60°， AF 2FB使 PF 2 F 2 P 2F 2Fo 〉 并求此定值 F3 F 2pl,F 2为右焦点，证明1 IFiF^1 F 2F 21 P 3F 2为定值，结论：若过 F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于P ,P 2，L ，F n ,则 PFP 2F1P n Fna b 24 F 是椭圆 1的右焦点,由F 引出两条相互垂直的直线 直线a 与椭圆交于点 直线b 与椭圆交于UUrUUrIUIFA 「1 FB 「2 , FCa ，b ， D ，若 IUU FD「1则下列结论一定成立的是(「14.22 F 是椭圆—4A 、B ,线段AB 的中垂线I 交X 轴于点M ，则AB FM的值为b 0）的左焦点为F ,过点F 的(1）求椭圆C的离心率15(2）如果IAB 寸，求椭圆C的方程2 7 （2010全国U理）已知椭圆C :笃a b23 1的离心率为¥ ，过右焦点F且斜UJU UuIB两点，若AF 3FB ，则k （）A 0，1B θA222 29 （2007全国I理）已知椭圆——1的左右焦点分别为F1 , F2 ,过R的直线3 2交椭圆于B , D两点，过F2的直线交椭圆于A , C两点，且AC BD ,求四边形ABCD的面积的最小值8已知椭圆(a b 0）的右焦点为F ，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点,UJU若BFAF ,则椭圆的离心率e的取值范围是（）10 （2005全国卷U理)P ,Q ， M , N四点都在椭圆x2F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知UULr UUU UuLr UUlrPF与FQ共线，MF与FN共线，且PFUUUUJUrMF 0,率为k ( k 0) 的直线与C相交于A ,C A求四边形PQMN 面积的最大值和最小值2 211已知过椭圆— L 1左焦点F l 的弦（非长轴）交椭圆于 A , B 两点,F 2为259右焦点,求使 F 2AB 的面积最大时直线AB 的方程双曲线的焦半径式中“ ”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取 负，取 PFO，无需讨论焦点位置，上式公式均适用2设P 是椭圆笃ab 21 （ a 0， b 0）上任意一点, F 为它的一个焦点,则 PFO，则PFb 2 CCoS a1 （ a 0，b 0）的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ,B 两点，若AFIUU4FB ,则C 的离心率为（2 （2007重庆理）过双曲线x 2 y 2 4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则IFPFQ 的值为 ________________抛物线的焦半径已知A 是抛物线C : y 2 2px （ P 0)上任意一点，F 为焦点， AFo 贝U AF 一P一1 COS证明：PN 为准线，于是 AF AN ,其中PF P, FM AF cos 于是 AN PF FM P AF cos 所以 AF P AF cos21 11过抛物线y 2x 的焦点F 作直线交抛物线于A , B 两点，若TA^ — 1 ,则直线4的倾斜角（0 -)等于（ ） AB— C_ D23462 （2008江西）过抛物线χ2 2py ( P 0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与 AF抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧)，则 Lr _______________IFB 3 （2008全国理）已知F 为抛物线C ： y 2 4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线 与抛物线C 交于A,B 两点，设IFA FB ，则FA 与FB 的比值等于 _________________7 抛物线 C i : y 2 2px 和圆 C 2 : (X -)2 y 22IUU IUU交于A 、D ,与C 2交于B 、C ,则AB CD 的值为() 2P-D故AFP 1 cos55 （2010重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A , B满足IuIr UurAF 3FB ,,则弦AB的中点到准线的距离为____________5已知抛物线y* 6 4x ，准线与X轴交于E点，过点E的直线y k（x 1)交抛物线于A ， B两点，F是焦点，且满足AFB 600,求AB6已知F为抛物线C : y2 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1,I2，直线I i与C交于A，B两点，直线∣2与C交于D,E两点，贝U AB2y T 1的右焦点，过点F作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于2 21 (2009全国U理）已知双曲线 C :务占a b6DE的最小值为2—,直线I经过C i的焦点，与C i 4。
(高中数理化2008)圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线的焦半径公式及其应用浙江省东阳市横店高级中学（322118）刘光红（本文发表在《高中数理化》2008-2上）连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的线段统称为它的焦半径，根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式，下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式：（1）对于椭圆而言，焦半径公式为：，.（2）对于双曲线而言，焦半径公式为：当点P在双曲线的左支时：，，当点P在双曲线的右支时：，.（3）对于抛物线而言，焦半径公式为：以上各式中，P（x,y）是曲线上的一点，是椭圆、双曲线的左右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是：随着曲线方程的不同，焦半径公式也有不同，对于焦点在y轴上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程对应的焦半径公式请同学们自己给出。
下面介绍焦半径公式在解题中的应用。
1求比值例1 设为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的一个点，已知点P，是一个直角三角形的顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知，并求得，离心率，由椭圆的对称性，不妨设是椭圆上的任意一点，则由题意知分别为其左焦半径和右焦半径，由焦半径公式得，。
（1）若为直角，则，代入化简得，故=。
（2）若为直角，即可求得，故=。
2解是否存在的问题例2 已知椭圆，是否在椭圆位于y轴左侧部分上存在一点M，使点M到左准线l的距离为点M到两个焦点的距离的比例中项？并说明理由。
解：由已知方程得，左准线l：。
设椭圆上位于y轴左侧部分存在的点M()，满足(*)由椭圆的焦半径公式知：，，又，代入（*）式解得或，与矛盾，故这样的点M不存在。
3求弦长例3 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求的值。
解：由双曲线的方程知：，所以，所以，右焦点F(5，0)，设，，则AB的方程为，代入双曲线的方程，消去y，整理得，所以。
所以==。
4求最值例4 给定椭圆，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得与它们的交点为顶点的四边形面积最大。
解：设双曲线的方程为，上焦点为，设A为两曲线在第一象限的交点，由焦半径公式得：，将解得的代入椭圆（双曲线）方程得，由对称性，以交点为顶点的四边形为矩形，其面积为：，当且仅当时，，故所求的曲线方程为。
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算（一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。
1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1） （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径椭圆的焦半径：左加右减。
长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。
左边下边都为负，不足都要加。
双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。
在一支上时，称之为焦半径，通常也叫焦半径。
在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。
设焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--同理，右支2211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。
联想特征：左边下边都为负，要减一起减。
可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。
以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=-+⋅=-双曲线外焦半径，与椭圆相同。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径一一角度式一椭圆的焦半径设P 是椭圆^- + 4 = 1(a>b>0 )上任意一点，F 为它的一个焦点，则 a 少• 2ZPFO = e,则 \PF\ =——-——U-CCOS0上述公式定义ZPFO = e ，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优 点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论 证明：设\PF\ = m ，另一个焦点为F',则丽=辰戸-存 两边平方得：PF ,2 =FF ,2-IFF' FP+FP 2即：(2d - /ft)2 = 4c 2 + 4c/?? cos 0 + m 21过椭圆^ + y = 1的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若\AF\+\BF\ =A\AF\\BF\9 则;l 的值为 ______2 (2002全国理)设椭圆二+二=1 (d>b>0)的一个焦点F,过F 作一条直 cr Zr线交椭圆于P 、Q 两点，求证：丄］+ J 百为定值，并求这个定值 \PF \ \Q F\结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即侖+侖嘟得：|PF| =b 2a-ccosO3 （2007重庆理）在椭圆二+二=1 （“>/,>（））上任取三个不同的点片，R a"lr并求此定值结论：若过F 作〃条夹角相等的射线交椭圆于P-…,即 则111 na*4* ■ ■ ■ *I* ~— ■ 1IMI |切|阳| b 274 F 是椭圆斗+ ）'=1的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线“，b,直线a 与厶椭圆交于点A 、C ,直线Z?与椭圆交于B 、D ,若FA=t\, |r^| = r 2, |FC | = /j,l?®l=/-,则下列结论一定成立的是（ ）A f \+r i +fi + f 4=3>/2B 斤+ £+与+ 月=4 「 1 1 11 o /T 1 1 1 1 . rr C —H --- 1 -- 13y/2D — + — H + — = 4yj2斤a 6弓斤乙3儿□ F 是椭圆- + ^ = 1的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于4 3（1） 求椭圆c 的离心率（2） 如果网=乎，求椭圆C 的方程使 ZP X F 2P 2 =乙P’FR = AP.F 2P X ,厲为右焦点，证明祐+崗+南为宦值, A 、B,线段AB 的中垂线/交兀轴于点M,则\FM\的值为 ______7 （2010全国］【理）已知椭圆C： 4 + 4 = 1的离心率为仑，过右焦点F且斜cr 2率为£ （£>0）的直线与C相交于A, B两点,若AF = 3FB,贝以=（）A 1 B V2 C 馅 D 28已知椭圆6 洱刊5>0）的右焦点为厂过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点,若阿| = 2阿卜则椭圆的离心率"的取值范围是（）°4C9 （2007全国I理）已知椭圆［+斗=1的左右焦点分别为片，竹，过济的直线交椭圆于3, D两点，过人的直线交椭圆于A, C两点，且AC丄3D,求四边形ABCD的面积的最小值210 （2005全国卷II理）P, Q, M, N四点都在椭圆x2+ —= 1上，F为椭圆2在y轴正半轴上的焦点，已知P尸与祝共线,MF与7W共线，且PFMF = O,求四边形PQMN面积的最大值和最小值7 711已知过椭圆|r + y = l左焦点片的弦（非长轴）交椭圆于A，3两点，竹为右焦点,求使的面积最大时直线A3的方程二双曲线的焦半径2 2设P是椭圆4-4 = 1（a>0, b>0）上任意一点,F为它的一个焦点，cr b-则ZPFO = 8,则\PF\ =一-——ccosO±a式中''土”记忆规律，同正异负，即当P与F位于轴的同侧时取正，否则取负，取APFO = 0.无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国II理）已知双曲线C： 4-4 = 1 （«>O, b>0）的右焦点为F,cr b-过F且斜率为>/3的直线交C于A.B两点，若AF = 4FB ,则C的离心率为（三抛物线的焦半径已知A是抛物线C：y2=2px( /^>0) ±任意一点，F为焦点，£AFO = 0. 则|AF| = 一匕一I I 1+COS0证明：PN 为准线，于是\AF\=\AN\,其中\PF\ = p , |FM| = |AF|-|cos<9| 于是\AN\=\PF\-\FM\ = P-\AF\cosO所以的=P-的cos。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A、x2 y2 1 2
C、x2 y2 1 43
B、x2 y2 1 32
D、x2 y2 1 54
归纳总结：
谢谢大家
31 2
c os
OF BF
c a
，所以， e2
1 2
所以 e 2
2
对比两种方法： 法一是普通的按照向量运算，然后求出点A的坐标， 然后带入到椭圆方程中，找出a与c的关系，进而求出离心率。
法二是利用焦半径与离心率的关系，一步就得出答案。
经过对比，显然是法二比较简单。
2、（2020年辽宁理20）设椭圆
2
2
4、过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点F且斜率为 k的直线l与抛物线
在第一、四象限分别交于A、B两点，若AOF与BOF的面积 之比为2：1，则k的值等于_______.
5、已知椭圆 C的焦点为F（1 -1，0），F2 (1,0), 过F2的直线与C
交于A、B两点，若 | AF２｜＝２｜ F２B｜，｜AB|＝｜ＢＦ １ ｜
C：x a
2 2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为F，过点F的直线
与椭圆相交于 A、B两点，直线 l的倾斜角为 60，AF 2FB，
求椭圆的离心率。 大题解法：
解析：由已知条件知： 60
代入到 |
e
cos
|
| |
差 和
| |
| AF | AF
BF | BF |
得：e cos60 2 -1 2 1
e 2 3
3、设抛物线 C：y2 4x的焦点为 F,直线l过F且与C交于A、B两点
若 | AF| 3 | BF |, 则直线l的方程为（）
A、y x 1或y x 1
B、y 3（x 1）或y 3（x -1）
3
3
C、y （3 x 1）或y （3 x -1）
D、y 2（x 1）或y 2（x -1）
a( 1) c cos ( 1),
c 1 ，
a cos ( 1) e cos 1
所以：
|
e cos
|
|差| |和|
| AF- BF | | AF BF |
1
1
、(2020·贵阳适应性考试)过椭圆
C：
x
2
＋
y2
＝
a2 b2
1
(a>b>0)的左焦点
F
的直线过
C
的上端
―→ ―→
点 B，且与椭圆相交于点 A，若 BF ＝3 FA ，则 C 的离心率为 (
圆锥曲线焦半径问题
库尔勒市实验中学 李文峰
焦半径及离心率： y
A
Fo
B
推导：
A
F1 o F2
B
在椭圆中，F１是椭圆的左焦点，AF1 F１B
AF１F２＝，则：
x
AF b2
a c cos
BF b2
|
e
cos
|
| |
差 和
| |
| AF| AF
BF BF
| |
a c cos
在AF1F2 中，设AF1 x,则：AF２＝２a－x，
所以，cos x2 2c2 (2a x)2
2x * 2c
所以，x
b2
a c cos
同理可得：BF b2
a c cos
由AF1
BF1得：a
b2
c cos
b2
a c cos
,
（a c cos ) a c cos
a c cos a c cos ,
a a c cos c cos ,
)
A.1
B. 3
C. 3
D. 2
3
3
2
2
法一：由题意可得 B(0，b)，F(－c,0)，由―B→ F ＝3―F→ A ，
得
A
－43c，－b3
，又点
A
在椭圆上，则
－43c a2Βιβλιοθήκη 2＋－b 3
b2
2
＝1，
整理可得196·ac22＝89，∴e2＝ca22＝12，e＝
2.故选 2
D.
法二、
B FF α A
解： 由 BF＝３FA 得 ecos 3 -1 1 ，