偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
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偏导数(27)
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几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
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例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
9-2偏导数
(与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如 三 元函 数 u = f ( x , y , z ) 的 偏导 数为
这两个二阶混合偏导数相等． 这两个二阶混合偏导数相等． 相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广． 此定理可以推广． 推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意 思考
∂ 2z ∂ 2z 此时 有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？ 混合偏导数都相等吗？
(不一定 不一定) 不一定
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的概念
1 t
x2 e 4t
2
2 5 x t 2
4
2 x e 4 t .
u 1 x t
x2 e 4t
x 2 2t
x2 3 1 2 4t t xe .
2u x
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以
x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为
常数y0.
例1 求函数 f ( x, y ) x 2 2 xy y 2 在点(1,3)处对x和y的 偏导数.
解
f x ( x, y ) 2 x 2 y
z z 3 2 2 2 3 解 x 9 x y , 3x y 6 xy , y x
2 z 2z 2 2 3 3 x 18 xy , 6 xy 6 y , 2 xy x
2z 2 18 x y, 2 y
2z 3x 2 18 xy 2 . yx
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号 是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
§8.2偏导数
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) lim 例如 x 0 x 同理可以定义 函数z=f(x, y)对自变量y的偏导数, 记作 z f , , z y , 或 f y ( x , y ). y y 例如 f y ( x , y ) lim f ( x , y y ) f ( x , y ) y 0 y 偏导数的求法 由偏导数的定义可知, 求二元函数的偏导数并不 需要新的方法, 仍然是一元函数求导问题. 如 f 求 时把 y 视为常数而对 x 求导. x f 求 时把 x 视为常数而对 y 求导. y
有关偏导数的几点说明:
5. 若 f(x, y) = f(y, x)则称 f(x, y)关于x, y具有轮换
u 2 u u 2 u 对称性. 在求 , 2 时, 只需将所求的 , 2 中的 y y x x x, y互换即可. 6. 偏导数存在与连续的关系: 在一元函数中有, 函数在某点可导, 则函数必在该 点处连续. 但在多元函数中, 函数在某点偏导数存在, 但函数未必在该点处连续. 例如, 函数 xy x2 y2 0 2 f ( x, y) x y 2 0 x2 y2 0 在上一节中, 讨论过此函数, 其在(0, 0)在处不连续, 依偏导数定义:
( y 0) z | x 0 不存在． 注: y y 0 例4: 已知理想气体的状态方程 pV=RT (R为常数), p V T 1 求证: V T p V R p RT RT RT ; 2 ;V 证: p T p V V p V pV T V T ; R p R RT RT R V p V T 2 所以 1. p R V V T p pV
偏导数的定义及其计算法
.
25
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 , 则
函 数 在 该 点 连 续 .
事实上 z A x B y o (), limz0, 0
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
第二节 偏导数和全微分
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y) 在点( x0, y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而x 在x0 处有增量
x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
同理 fy(0,0)0.
.
40
当 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 时 ，
fx(x,y)ysix n 2 1 y2(x 2 x 2y y2)3cox 2 1 s y2,
当 点 P (x ,y ) 沿 直 线 y x 趋 于 ( 0 ,0 )时 ,
x 0
0
y 0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
.
26
四、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f (x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、
x z 必存在，且函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
同理可以定义函数z f(x, y)对自变量 y 的偏导 数，记作yz ，fy，zy或fy(x, y).
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数的导数概念的推广，它用于计算多元函数在其中一点处对一些自变量的变化率。
一元函数的导数表示函数在其中一点附近的局部变化率，而多元函数的导数则表示函数在其中一点附近关于一些自变量的变化率。
设函数 f(x₁, x₂, …, xn) 是一个 n 变量函数，其中 x₁, x₂, …, xn 分别表示自变量。
若函数在其中一点处各个自变量的偏移量分别是Δx₁, Δx₂, …, Δxn，则函数在该点处的偏导数表示函数在该点处关于一些自变量的变化率。
偏导数用∂f/∂x 表示，其中∂表示该函数是多元函数的导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数分为两种：对x的偏导数(∂f/∂x)，对y的偏导数(∂f/∂y)。
偏导数计算公式如下：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x + Δx, y) - f(x, y)]/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y + Δy) - f(x, y)]/Δy其中，lim 表示极限。
对于 n 元函数 f(x₁, x₂, …, xn)，可以按照相同的原理通过对各个自变量的偏移量进行极限计算，得到相应的偏导数。
在实际计算中，依次计算各个自变量的偏导数来获得该函数在其中一点处的各个偏导数值。
如果函数可微分，就可以通过偏导数找到该点处的切线方程，从而研究函数在该点的性质。
偏导数的计算需要使用导数的各种运算法则，例如线性性质、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
线性性质：若 f(x) 和 g(x) 是可导函数，c 是常数，则有∂/∂x[cf(x) ± g(x)] = c(∂f/∂x) ± (∂g/∂x)。
乘法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有∂/∂x[f(x)g(x)]=g(x)(∂f/∂x)+f(x)(∂g/∂x)。
除法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有∂/∂x[f(x)/g(x)]=[g(x)(∂f/∂x)-f(x)(∂g/∂x)]/[g(x)]²。
第九章 第2节 偏导数
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty 对 y 轴
的斜率.
20
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
f (x,
y)
2 xy
f x (1,1) f x ( x, y) x1 2 x y x1 2 7
y 1
y 1
(2) 实际求偏导数不需新的方法，因为这里只有
一个自变量在动，另一个自变量可以看做固 定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题， 比如：
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
d f y (x0 , y0 ) dy ( f (x0 , y ) ) yy0 .
求函数的偏导函数也是类似
8
(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也不一定连续
18
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
19
几何意义:
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴
偏导数讲解
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是微积分中一个重要的概念，它用于描述多元函数在某一点上沿着特定方向变化的速率。
在这篇文章中，我们将详细讨论偏导数的定义以及计算方法。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数在某一点上对某个独立变量的导数。
与普通导数不同的是，它只考虑一个变量的变化对函数的影响，而将其他变量视为常数。
对于具有两个自变量的函数 f(x, y)，我们可以计算关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。
偏导数可以用以下形式表示：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x + h, y) - f(x, y)] / h∂f/∂y = lim(h→0) [f(x, y + h) - f(x, y)] / h其中 h 表示一个无限趋近于零的小量，表示自变量的微小变化。
二、偏导数的计算方法1. 针对单变量求导法则在计算偏导数时，我们可以运用单变量求导法则。
当一个函数关于变量 x 进行偏导时，将其他自变量视为常数进行求导。
2. 一阶偏导数若函数 f(x, y) 可以依照以下简化的方式进行求偏导数：∂f/∂x = ∂z/∂x = fx，其中 fx 表示关于 x 的导函数∂f/∂y = ∂z/∂y = fy，其中 fy 表示关于 y 的导函数3. 二阶偏导数二阶偏导数可以通过在一阶偏导数的结果上再求一次偏导数得到。
例如：∂²f/∂x² = ∂(∂f/∂x)/∂x = ∂²z/∂x² = fxx，其中 fxx 表示关于 x 的二阶导函数∂²f/∂y² = ∂(∂f/∂y)/∂y = ∂²z/∂y² = fyy，其中 fyy 表示关于 y 的二阶导函数4. 混合偏导数在具有更多自变量的函数中，我们还可以计算混合偏导数。
混合偏导数涉及对多个变量同时求导的情况。
∂²f/(∂x∂y) = ∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂z/∂x)/∂y = fxy，表示关于 x 和 y 的混合偏导数5. 链式法则当函数存在多个自变量时，我们可以利用链式法则来计算偏导数。
偏导数的定义及其计算法
= x cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ x
= x cos(xy) + 2x cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z
∴
∂x
|x=0
y= π
= [ y cos(xy)
2
+ 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)] |x=0
y=π 2
=π +0=π
2
2
∂z ∂y
|x=0
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
Δy →0
Δy
记作 即
∂z ∂y
|x= x0
y=y0
,
∂f ∂y
|x= x0
y= y0
,
z y|x= x0
y= y0
或
f y (x0,y0 )
f y (x0, y0 )
∂V ∂T ∂p
证: ∵ ∵ ∵
p = RT V
V = RT p
T = pV R
∴ ∂p = − RT
∂V V 2
∴ ∂V = R
∂T p
∴ ∂T = V
∂p R
∴
∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = − RT ⋅ R ⋅ V ∂V ∂T ∂p V 2 p R
= − RT pV
= −1
例6 求下列各函数在指定点的偏导数：
保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0).
反例 ： 例6 (1)
偏导数的几何意义 复习一元函数导数
z = f (x, y)
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是微分学中的一个重要概念，它用于描述一个多变量函数在某一点上对特定变量的变化率。
在实际问题中，往往会遇到有多个自变量的函数，而偏导数的概念和计算方法可以帮助我们深入理解函数的变化规律。
本文将详细介绍偏导数的定义与计算方法。
一、偏导数的定义对于一个多变量函数，例如f(x, y)，我们可以对其中的某个自变量进行变化，并观察函数在某一点上的变化率。
因为多个自变量的存在，我们需要分别计算函数对不同自变量的变化率，这就是偏导数的含义。
形式上，偏导数可以用以下符号来表示：∂f/∂x 或 df/dx 表示对f(x, y)对x的偏导数∂f/∂y 或 df/dy 表示对f(x, y)对y的偏导数二、偏导数的计算方法1. 对于单变量函数的偏导数计算对于一个只有一个自变量的函数，例如f(x)，偏导数的计算就相当于普通的导数计算，即计算函数在某一点上的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们需要计算其关于x的偏导数。
根据导数的定义：df(x)/dx = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]对于f(x) = x^2，可以得到：df(x)/dx = l im(h→0) [(x+h)^2 - x^2]/h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h= lim(h→0) (2xh + h^2)/h= lim(h→0) (2x + h)= 2x因此，对于函数f(x) = x^2，它的偏导数关于x的结果为2x。
2. 对于多变量函数的偏导数计算对于一个有多个自变量的函数，例如f(x, y)，我们需要分别计算其对不同自变量的偏导数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们需要计算其对x和y的偏导数。
∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y函数f(x, y) = x^2 + y^2 对x求偏导数的结果是2x，对y求偏导数的结果是2y。
三、应用举例偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于计算多元函数在某一点上的变化率。
它是指在多元函数中，对某一变量求导时，将其他变量视为常数进行求导的过程。
一、偏导数的定义对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量，偏导数表示函数f对其中一个自变量的变化率。
用∂表示偏导数，∂f/∂xi表示f对第i个自变量的偏导数。
在一元函数中，偏导数即为常见的导数。
二、偏导数的计算方法1. 一元函数的偏导数对于只含有一个自变量的函数f(x)，其偏导数即为一元函数的导数，计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx在计算过程中，将除数Δx趋近于0，求出极限值即可得到偏导数的值。
2. 多元函数的偏导数对于含有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，计算偏导数时需要分别对每个自变量进行求导。
以两个自变量的情况为例，对于f(x, y)，分别求取偏导数时，将另一个自变量视为常数。
具体计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy->0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy同理，对于包含更多自变量的函数，按照类似的方法分别对每个自变量求取偏导数。
需要注意的是，在计算偏导数时，需要注意函数的可导性、连续性等数学性质，以保证计算的准确性。
三、偏导数的几何意义偏导数具有一定的几何意义，可以用来描述函数在某一点上的变化率和切线斜率。
对于二元函数f(x, y)，若其中两个偏导数∂f/∂x和∂f/∂y均存在，则可得到函数在某一点上的切平面方程，该切平面的法向量为<∂f/∂x,∂f/∂y, -1>。
四、应用举例偏导数在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动学和力学：偏导数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹和力学性质。
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是高等数学中一个重要的概念，用于研究多元函数的变化率。
在本文中，我们将介绍偏导数的定义以及如何计算它。
一、偏导数的定义对于一个多元函数，它可能是一个变量的函数，也可能是多个变量的函数。
当我们固定其他变量，只考虑其中一个变量的变化时，所得到的导数称为偏导数。
对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以定义其关于 x 的偏导数为∂f/∂x，关于 y 的偏导数为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一变量上的变化率。
二、计算偏导数的方法1. 对于只含有一个变量的函数，例如 f(x)，其偏导数就是普通的导数，可以使用常规的求导法则来计算。
2. 对于含有多个变量的函数，例如 f(x, y)，可以逐个对各个变量求偏导数，其他变量视作常数。
具体计算方法如下：- 对于关于 x 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 x 的函数，即固定 y 不变，求 f(x, y) 对 x 的导数。
- 对于关于 y 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 y 的函数，即固定 x 不变，求 f(x, y) 对 y 的导数。
注：对于更多变量的函数，也可以使用类似的方法逐个求偏导数。
三、举例说明让我们通过一个例子来具体说明偏导数的计算过程。
例：考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。
我们首先计算关于 x 的偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y接下来计算关于 y 的偏导数：∂f/∂y = 2x + 2y如此，我们就得到了 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 的偏导数。
四、应用与意义偏导数在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，偏导数用于研究多元函数的变化规律，帮助建立基础的微分方程。
在物理学中，偏导数则被用于描述各种物理量之间的关系，例如速度的导数就是加速度。
偏导数的计算也为我们提供了一种评估函数的斜率变化的方法，帮助我们更好地理解函数的行为模式和特点。
总结：本文介绍了偏导数的定义与计算方法，通过对多元函数中单个变量的变化率的研究，帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
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f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0 偏导函数的符号
∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . >>> x x ∂x ∂x
偏导函数
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =− RT ⋅ R ⋅V =− RT =−1 . 所以 pV ∂V ∂T ∂p V 2 p R 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商.
偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
例3 设 z = xy(x > 0, x ≠1) , 求证: x ∂z + 1 ∂z =2z . 3 y ∂x ln x ∂y 证 ∂z = yx y−1 , ∂z = x y ln x . ∂y ∂x x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x = x y + x y =2z . y ∂x ln x ∂y y ln x 例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导数. 4
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为
f (x+∆x, y, z)− f (x, y, z) , fx(x, y, z) = lim ∆x ∆x→0 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点.
z=f(x, y0) z=f(x0, y)
偏导数的几何意义
偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能 保证函数在该点连续. 例如
xy 2 2 x2 + y2 ≠ 0, f (x, y) = x + y 0 x2 + y2 = 0. 在点(0, 0), 有fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
二、高阶偏导数
二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 函数z=f(x, y)的二阶偏导数有四个:
∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂y ∂x ∂x∂y xy ∂x ∂x ∂x2 xx ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) ∂ ∂z ∂2z , ( ) = 2 = f yy(x, y) . yx ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y 其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
因此
∂2u + ∂2u + ∂2u = (− 1 + 3x2 ) +(− 1 + 3y2 )+(− 1 + 3z2 ) ∂x2 ∂y2 ∂z2 r3 r5 r3 r5 r3 r5
3 + 3(x2 + y2 + z2) = − 3 + 3r2 = 0 . =− 3 r r5 r3 r5
同理
∂2u = − 1 + 3y2 , ∂y2 r3 r5
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
提示:
r3 − x⋅ ∂ (r3) r3 − x⋅3r2 ∂r ∂2u = ∂ (− x ) = − ∂x ∂x . =− ∂x2 ∂x r3 r6 r6
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 ∂z =2x +3y , ∂z = 3x+ , ∂z x=1 ∂y y=2
x=1 = 3⋅1+2⋅2 = 7 . y=2
例2 求z=x2sin2y的偏导数.
∂z =2xsin 2y , ∂z =2x2 cos 2y . 解 ∂y ∂x
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x
此例中两个混合偏导数是相等的.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) lim ∆x ∆x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
提示：当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 xyf (0, y) = 0 ; kx2 k . f (lim ) = 0 , x, 0 = lim = 2 2 x→0 2 2 2 (x, y)→(0,0) x + y x +k x 1+k 2 d y=kx fx(0, 0) = d [ f (x, 0)] = 0 , f y(0, 0) = [ f (0, y)] = 0 . dy 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)的极限不存在, 当然也不连续. dx
y y x x ; ∂r = 解 ∂r = = . = 2 2 2 2 2 2 r ∂y ∂x x + y +z r x + y +z
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证:
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =−1. ∂V ∂T ∂p 证 因为 p= RT , ∂p =− RT ; ∂V V V2 RT ∂V = R V= , ; p ∂T p pV ∂T V = ; , T= ∂p R R
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作 ∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . x x ∂x ∂x
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
其中r = x2 + y2 + z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u = − 1 + 3x ⋅ ∂r = − 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
x=x0 y= y0
, 或 fx(x0, y0).
类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x ∂2z 及 ∂2z 在区域 D 内连续, 定理 如果二阶混合偏导数 ∂y∂x ∂x∂y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
∂2z + ∂2z = 0 . 例7 验证函数 z = ln x + y 满足方程 ∂x2 ∂y2 证 因为 z = ln x2 + y2 = 1 ln( x2 + y2) , 所以 2 ∂z = x , ∂z = y , ∂y x2 + y2 ∂x x2 + y2