偏导数的定义及其计算法

其中r = x2 + y2 + z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u = − 1 + 3x ⋅ ∂r = − 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5
同理
∂2u = − 1 + 3y2 , ∂y2 r3 r5
f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0 偏导函数的符号
∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . >>> x x ∂x ∂x
偏导函数
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x ∂2z 及 ∂2z 在区域 D 内连续, 定理 如果二阶混合偏导数 ∂y∂x ∂x∂y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
∂2z + ∂2z = 0 . 例7 验证函数 z = ln x + y 满足方程 ∂x2 ∂y2 证 因为 z = ln x2 + y2 = 1 ln( x2 + y2) , 所以 2 ∂z = x , ∂z = y , ∂y x2 + y2 ∂x x2 + y2
二、高阶偏导数
二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 函数z=f(x, y)的二阶偏导数有四个:
∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂y ∂x ∂x∂y xy ∂x ∂x ∂x2 xx ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) ∂ ∂z ∂2z , ( ) = 2 = f yy(x, y) . yx ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y 其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
z=f(x, y0) z=f(x0, y)
偏导数的几何意义
偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能 保证函数在该点连续. 例如
xy 2 2 x2 + y2 ≠ 0, f (x, y) = x + y 0 x2 + y2 = 0. 在点(0, 0), 有fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
例3 设 z = xy(x > 0, x ≠1) , 求证: x ∂z + 1 ∂z =2z . 3 y ∂x ln x ∂y 证 ∂z = yx y−1 , ∂z = x y ln x . ∂y ∂x x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x = x y + x y =2z . y ∂x ln x ∂y y ln x 例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导数. 4
提示：当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 xyf (0, y) = 0 ; kx2 k . f (lim ) = 0 , x, 0 = lim = 2 2 x→0 2 2 2 (x, y)→(0,0) x + y x +k x 1+k 2 d y=kx fx(0, 0) = d [ f (x, 0)] = 0 , f y(0, 0) = [ f (0, y)] = 0 . dy 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)的极限不存在, 当然也不连续. dx
偏导函数
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0
偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？
fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y= y0 dx f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ d f (x0, y)] y= y0 . dy y= y0
fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y= y0 dx f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ d f (x0, y)] y= y0 . dy y= y0
同理
∂2u = − 1 + 3y2 , ∂y2 r3 r5
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
提示:
r3 − x⋅ ∂ (r3) r3 − x⋅3r2 ∂r ∂2u = ∂ (− x ) = − ∂x ∂x . =− ∂x2 ∂x r3 r6 r6
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
其中r = x2 + y2 + z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u = − 1 + 3x ⋅ ∂r = − 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作 ∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . x x ∂x ∂x
y y x x ; ∂r = 解 ∂r = = . = 2 2 2 2 2 2 r ∂y ∂x x + y +z r x + y +z
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证:
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =−1. ∂V ∂T ∂p 证 因为 p= RT , ∂p =− RT ; ∂V V V2 RT ∂V = R V= , ; p ∂T p pV ∂T V = ; , T= ∂p R R
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) lim ∆x ∆x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为
f (x+∆x, y, z)− f (x, y, z) , fx(x, y, z) = lim ∆x ∆x→0 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点.
例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 ∂z =2x +3y , ∂z = 3x+2y . ∂y ∂x
∂z ∂x
=2⋅1+3⋅2 =8 , ∂z x=1 ∂y y=2
x=1 = 3⋅1+2⋅2 = 7 . y=2
例2 求z=x2sin2y的偏导数.
∂z =2xsin 2y , ∂z =2x2 cos 2y . 解 ∂y ∂x
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
x=x0 y= y0
, 或 fx(x0, y0).
类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
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一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =− RT ⋅ R ⋅V =− RT =−1 . 所以 pV ∂V ∂T ∂p V 2 p R 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商.
偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x
此例中两个混合偏导数是相等的.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
2 2
∂2z = (x2 + y2) − x⋅2x = y2 − x2 , ∂x2 (x2 + y2)2 (x2 + y2)2
∂2z = (x2 + y2)− y⋅2y = x2 − y2 . ∂y2 (x2 + y2)2 (x2 + y2)2
因此
∂2z + ∂2z = x2 − y2 + y2 − x2 = 0 . ∂x2 ∂y2 (x2 + y2)2 (x2 + y2)2
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
因此
∂2u + ∂2u + ∂2u = (− 1 + 3x2 ) +(− 1 + 3y2 )+(− 1 + 3z2 ) ∂x2 ∂y2 ∂z2 r3 r5 r3 r5 r3 r5
3 + 3(x2 + y2 + z2) = − 3 + 3r2 = 0 . =− 3 r r5 r3 r5