人教版高中数学必修第二册两直线平行与垂直的条件1
人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。
人教课标版高中数学必修2《两条直线平行与垂直的判定》名师课件2
例题讲解 探究点一 两条直线平行的判定及应用
[解] （2）④由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1， k2＝32－ －43＝1，虽然 k1＝k2，但是 E，F，G，H 四点共线， 所以 l1 与 l2 重合．
注 意：
(1)判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在， 即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况， 应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必 须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直 线重合．
两条直线平行与垂直的 判定
复习引入
1、直线的倾斜角定义及其范围：
0,180
y
l
a
2、直线的斜率定义：
o
x
k tan ( 90 )
3、斜率公式：
k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 x1
y2 x2
（) x1
x2 )
4.数学思想方法：几何问题代数化
探究新知
观察：下面两组直线分别是平行和垂直的位置
2.直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－2 017x－1＝0 的两实根，则 l1 与 l2 的关系是__________． 解析：Δ＝(－2 017)2－4×1×(－1)＝2 0172＋4＞0， x1x2＝－1.即 l1、l2 的斜率之积 k1k2＝－1. 所以 l1⊥l2. 答案：l1⊥l2
例题讲解 探究点三 求解与直线平行或垂直有关
当 m＝0 或 1 时，由图形知，两直线不重合．
综上，m 的值为 0 或 1.
例题讲解 探究点二 两条直线垂直的判定及应用
例 2、(1)l1 经过点 A(3，4)和 B(3，6)，l2 经过点 P(－5，20)和 Q(5，20)，判断 l1 与 l2 是否垂直． (2)直线 l1 过点(2m，1)，(－3，m)，直线 l2 过点(m，m)，(1，－ 2)，若 l1 与 l2 垂直，求实数 m 的值．
必修二线面平行垂直的判定定理
必修二线面平行垂直的判定定理好啦，今天咱们来聊聊一个在几何学里可大可小的一个问题——平行与垂直的判定。
你说，为什么这俩会这么重要呢？哎，别急，听我慢慢给你道来。
你可能会想，平行垂直不就是两条线吗？对不对？平行的就是永远不相交，垂直的就是互相碰面成个直角！看似简单，但有些时候要判断两条线究竟是平行还是垂直，不是件那么直观的事。
尤其在数学里，很多时候我们得拿出一些定理、工具来“破解”它们之间的关系。
你要真想搞明白，可得瞪大眼睛，跟我一起好好看看这些“秘密武器”。
先说平行吧，平行啊，就是这两条线永远不见面，就像那种隔着千山万水都没办法打破的友情。
你看看，不管你怎么移动它们，它们之间的距离就一直不变，简直像两条忠诚的小狗，永远就蹲在那里，从来不走神。
可是咋知道两条线是平行的呢？简单！只要你量一下它们之间的距离——啥意思呢？就是两条线的距离在任何点上都一样，无论你怎么选择两条线上的点，它们之间的“距离”都是恒定的。
明白了吗？就像你和朋友隔着桌子聊天，无论坐在什么地方，你们之间的桌子距离是一样的，这就是平行！很简单吧？反正就看它们永远不见面，心照不宣的那种默契。
再说到垂直。
垂直的这俩线啊，跟平行可不一样，它们就像两条相互交织的命运线，碰面的时候立马成个90度的角，谁都不让谁，简直是铁板钉钉的“刚刚好”。
你要说判断两条线垂直很复杂，那你就错了！它就像喝了一口凉水那样，清清楚楚。
只要你发现两条线相交了，而且交点处形成了直角，那就是垂直。
就这么简单！你想象一下，两个朋友打招呼，忽然撞在一起了，结果两个肩膀正好成了直角，不偏不倚。
那就是“垂直”的经典表现！没有任何玄乎的东西，也没有太多的技巧，只要交点是90度，毫无疑问，两条线就是垂直的。
是不是有点解气？但问题来了，咋判定两条线到底是平行还是垂直呢？这就得靠咱们的数学定理了。
要不然，一堆线交错在一起，咋知道哪条是平行，哪条是垂直呢？听好了！如果两条直线在同一平面内，且它们之间的距离始终不变，那它们就一定是平行的。
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
高中数学人教A版必修二3.两条直线平行与垂直的判定课件
的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线
(1)平行
(2)垂直
解 : 经过A, B的直线的斜率kAB
1m , m 1
经过P, Q的直线的斜率kPQ (1)由AB // PQ得 1 m 1
1. 3
m1 3
解得m 1 ,所以当m 1 时AB // PQ
2
2
(2)由AB PQ得 1 m 1 1
二、思想方法上
(1)运用代数方法研究几何性质及其 相互位置关系
(2)数形结合的思想
课后思考: 在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10), B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直两 底,求顶点D的坐标.
❖
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
❖
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
❖
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
两条直线平行与垂直的判定
温旧知新
倾斜角: 当直线l与x轴相交时,我们取x作为基准,
x轴正方向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角. (0<180) 当直线与x轴平行或重合时倾斜角为0
斜率: 把一条直线l的倾斜角 (90)的正切
值叫做这条直线的斜率k=tan （ 0<180 且90 ）。
L1// L2 直线倾斜角相等
L1// L2 k1=k2
人教版高中数学必修二课件：3.1.2两条直线平行与垂直的判定.pptx
练习、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 :
k AB
1 (1) 15
1 2
y
k BC
3 1 2 1
2
C
B
k AB • kBC 1
O
x
AB BC 即ABC 900
A
因此ABC是直角三角形.
已练知习四边形ABCD的四个顶点分别为
A（0，1），B（1，0），C（3，2），D（2，3）
结论：
对于两条直线l1,l2,其斜率分别 为k1,k2，则有
l1 l2 k1k2 1
这个结论在图中成立的吗？
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时 另一条直线的斜率等于零．
概念巩固
判断下列说法的对与错。
√ （1）若两条直线的斜率之积等于-1,这两条直线
一定垂直.()
（2）若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1.
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0，其中待定（直线系）
能力提升
1、已知过点A（-2，m）和B(m，4）的直线
与斜率为-2的直线平行，则m的值是（） A
A.-8 B.0
C.2
D.10
2、经过两点A（m，3）与B（2，2m）的直 线l与倾斜角为45⁰的直线互相垂直，则m的值
因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+=0，
其中待定（直线系）
1若直线和x平 2行ay，则1 =。2x 2ay 1
a
2若直线和x平行ay， 则2a=。2 ax y a 1
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
档消耗一个共享文档下载特权。
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享受100次共享文档下载特权，一次
综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
高中数学人教A版必修2第三章3.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件
设两条直线 l1, l2 的斜率都不存在，
两直线l1与l2有何位置关系？
斜率均不存在的两条直线平行或重合
一、两条直线平行的判定 结论1：（1）两条直线斜率都存在且相等 ，则：
k1
k2
l1 // l2 , 或l1与l2重合.
注意: 等价的前提是两直线斜率都存在。
特殊情况下的两直线平行或重合（斜率不存在）：
课堂小结：
一、两直线平行或垂直的判定方法
斜率
k1, k2斜率均不存在
一条直线的斜率为0，
另一条直线的斜率不存在
k1, k2
斜率均存在
k1 k2 k1 • k2 —1
规律与方法
直线
l1, l2 平行或重合
垂直 平行或重合
垂直
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
（2）数形结合的思想
2 3
,
直线PQ的斜率kPQ
3. 2
k AB k PQ
2 3
3 2
1,
直线AB PQ.
例5 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断三角形 ABC的形状.
画图
猜想
证明
y
C
解： AB边所在直线的斜率kAB
1 2
,
BC边所在直线的斜率kBC 2,
kABkBC 1
B
x AB BC,即ABC 900
是否等于 kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
k BA或k PQ
等于: 两条直线重合； 不等：两条直线不重合。
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
人教课标版高中数学必修2教学教案-两条直线平行与垂直的判定1
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.直线互相垂直.概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1= a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tan a1 = tan a2.（注：下文中tg =tan）即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tan a1= tan a2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，借助计算机，让学生通过度量，感知12,αα的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.、l2的斜率分别是11tg.(90即121kk=-或k1k2 = –1，反过来，如果121kk=-即k1·k2 = –1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么1221(90)tg tgtgααα=-=+.可以推出a1 = 90°+2α.l1⊥l2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k kk⊥⇔=-⇔=-注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.应用举例例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）例1 解：直线BA的斜率k1= (3 –0)/(2 –(–4)) = 0.5，直线PQ的斜率k2 =通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.备选例题例1 试确定M 的值，使过点A (m + 1，0)，B (–5，m )的直线与过点C (–4，3)，D (0，5)的直线平行.【解析】由题意得：0531,5(1)60(4)2AB CD m m k k m m --====--+----由于AB ∥CD ，即k AB = k CD ， 所以162m m =--，所以m = –2. 例2 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.【解析】设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )因为AD ⊥CD ，AD ∥BC 所以k AD ·k CD = –1，且k AD = k BC12,103120,031y y x x y x --⎧=-⎪⎪--⎨--⎪⎪--⎩所以，02(),.13x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得舍去 所以第四个顶点D 的坐标为(2，3).例3 已知定点A (–1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.【解析】以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C . 则AC ⊥BC ，设C (x ，0) 则32,14AC BC k k x x --==+- 所以32114x x --⋅=-+- 所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)。
高二数学两条直线平行与垂直的条件
1
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1∥L2的充要条件是
2
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1⊥L2的充要条件是
已知直线
(a + 2) x + (1 - a ) y - 3 = 0 与
(a - 1) x + (2a + 3) y + 2 = 0 互相垂直，求的值
求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
0
。
1
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a =
3 直线 Ax - 2 y - 1 = 0和直线 6 x - 4 y + C = 0平行 的条件是 。
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教版必修2
解 : 设P的坐标为（x, 0）
MPN为直角，即MP NP
y
M
kMP k NP 1
O
x
N
02 02 1 即 x2 7 x 6 0 x 2 x 5
得 x=1 或 x=6 故，P的坐标为(1， 0) 或 (6,0)
还可用什么方法求？ 另法：向量法
小 结论1：对于两条不重合的直线 l1和l 2 : 结 (1)l1 // l2 1 2 ;
作用：根据斜率可证明三点共线、判断三角形或四边 形的形状。
【反馈检测】
1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1（ ）过两点 A（A 2（ ，2 3， ） 、 B、 （— 1，1 0， ）的直线 l1 ，l ， 1 ）过两点 3 ） B （— 0 ）的直线 1）过两点 A（2，3） 、B（—1，0）的直线 l1 ， 1 平行 与过点 P（P 1（ ，1 0， ）且斜率为 1 的直线 l2 ； 与过点 0 ）且斜率为 1 的直线 与过点 P（1，0）且斜率为 1 的直线 l2 ； l2 ； （2（ ）过两点 C（C 3（ ，3 1， ） 、 D、 （— 2，2 0， ）的直线 l3 ， 2 ）过两点 1 ） D （— 0 ）的直线 ， （2）过两点 C（3，1） 、D（—2，0）的直线 l3 ， l3垂直 与过点 M（M 1（ ，— 4）且斜率为— 5 的直线 l4 。 与过点 1 ，— 4 ）且斜率为— 5 的直线 与过点 M（1，—4）且斜率为—5 的直线 l 。 l4 。
x 3y 3 0 即 2 x y 1 0
D(0,1)
4、文科： 必修2——P90 B组 第3题 理科：必修2——P90 B组 第4题
人教新课标版数学高一必修2课件两条直线平行与垂直的判定
C.－1 3
D.
1 3
解析 因为直线l∥AB，
3－0 所以 k＝kAB＝3－2＝3.
解析答案
1 23 45
2.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12 的直 线垂直，则a的值为( D )
A.
5 2
B.
2 5
C.10
D.－10
解析 ∵3－a－－02＝－2，
∴a＝－10.
2－0 2－y 即1－0· 1 ＝－1，
解得 y＝52.
解析答案
1 23 45
5.已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点 D的坐标.
解 设D(x，y)， ∵AB⊥CD且AD∥BC，
2－0 y－4 3－1×x－0＝－1，
y＝4－x，
∴ x－y 1＝40－ －23，
答案
问题2 对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？ 为什么？ 答案 一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.
答案
问题3 如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2， 且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
y
.
O
x
能否通过斜率来判 断两条直线的位置
关系？
自主学习
知识点一 两条直线平行的判定
类型 前提条件 对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90° l1∥l2⇔ k1＝k2
斜率不存在 α1＝α2＝90° l1∥l2⇐两直线斜率都不存在
图示
答案
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
平行线与垂直线的判定条件
平行线与垂直线的判定条件直线是几何学中最基本的概念之一，而平行线和垂直线又是直线中的两个重要特殊情况。
判定两条直线是否平行或垂直是解决几何问题时的关键步骤之一。
本文将介绍平行线与垂直线的判定条件，并对其进行详细解析。
一、平行线的判定条件在平面几何中，判定两条直线是否平行的条件有多种，常见的有以下几种：1. 相交角定理判定法当两条直线被一条截线所分成四个角时，如果其中一个角等于另一个角的余角（即两个角之和为180度），则这两条直线是平行的。
这是最常见、也是最直观的平行线判定方法。
2. 遥相平行判定法如果两条直线被平面内的一组平行线所截断，并且这些截线所得的对应线段成比例关系，那么这两条直线就是平行的。
这个方法基于线段成比例的性质，通过观察线段之间的关系来判断直线的平行性。
3. 平行线间的距离判定法两条直线平行的条件之一是它们上的任意两点连线所得线段之间的距离相等。
如果两条直线上的所有线段间的距离都相等，那么这两条直线就是平行的。
这是一种利用距离性质进行判断的方法。
二、垂直线的判定条件垂直线的判定条件相对简单，只有一条：两条直线互相垂直的条件是它们之间的任意两个相邻角的和为90度。
如果两条直线上的相邻角之和为90度，则这两条直线是垂直的。
这一条件可通过测量角度来判断。
需要注意的是，垂直线和平行线是两种不同的关系，两条直线要么平行，要么垂直，不能同时平行又垂直于彼此。
结论通过相交角定理判定法、遥相平行判定法和平行线间的距离判定法可以判断两条直线是否平行。
而垂直线的判定条件是两条直线之间的相邻角的和为90度。
这些判定条件在解决几何问题时起到重要的作用，帮助确定直线之间的关系。
以上就是平行线与垂直线的判定条件的详细介绍。
了解并掌握这些判定条件对于解决几何问题，特别是涉及到直线关系的问题至关重要。
通过运用这些条件，我们可以轻松地确定直线之间的平行或垂直关系，为解决几何问题提供有力的支持。
人教版高中数学必修2(A版) 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件
O
α1
α2
x
结论：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为 k1、k2，则有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
例题精讲
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 20y源自C BOx
A
课堂练习
1、已知直线l 的倾斜角是α ，且450≤α ≤1350, 求直线的斜率k的取值范围。
2、已知直线l 的斜率是k，且0≤k≤1,求直线l 的倾斜角α 的取值范围。
3、 若三点A（5，1），B（a，3），C（-4，2） 在同一条直线上，确定常数a的值.
作业布置
课本89页，习题3.1 A组 6、7题
k AB kPQ -1 BA PQ
例题精讲
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
1 ( 1) 1 解: k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1 AB BC 即ABC 90 因此ABC是直角三角形 .
y
D C
A
∥ DA AB∥CD, BC
因此四边形ABCD是平行四边形 .
O
B
x
探究：当两条垂直直线有一条直线的斜率不存在， 则另外一条直线的斜率呢？
结论：另外一条直线的斜率是零
探究：当两条直线l1、l2的斜率都存在，分别为k1、k2.
当l1与l2 垂直时 ，k1与k2满足什么关系？ y
l2 l1
例题精讲
例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。
人教课标版高中数学必修2教学课件-两条直线平行与垂直的判定1
（3）l1经过点M（1，0），N（4，-5），l2经过 点R（-6，0），S（-1，3）
解：（3） l1的斜率k1
l2的斜率k2
=
3 5
=-
5 3
因为k1k2 = - 1 ，所以 l1⊥ l2
试确定m的值，使过点A（m，1）， B（-1，m）的直线与过点P（1，2），Q（-5，0） 的直线
（1）平行 （2）垂直
已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状．
解：AB边所在直线的斜率kAB
=-
1 2
BC边所在直线的斜率kBC = 2
有kAB kBC =-1，得AB⊥BC，
既∠ABC=90°．
所以△ABC是直角三角形.
判断下列各小题中的不同直线l1，l2是否平行： （1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4， 8） （2） l1 经过点P（3，3），Q（-5，3）， l2 平行 于x轴，但不经过P，Q两点 （3） l1经过点M（-1，0），N（-5，-2）， l2 经 过点R（-4，3），S（0，5）
=-
1 2
CD边所在直线的斜率kCD = -
1 2
AD边所在直线的斜率kAD =
3 2
BC边所在直线的斜率kBC =
3 2
因为kAB = kCD ，kBC = kDA ，所以 AB // CD, BC // DA，因此四边形ABCD是平行四边形．
设直线 l1 ，l2 的斜率分别为k1 ，k2
那么l1⊥ l2 k1k2 = -1
解：kAB
=
m -1
-
1 m
kPQ=
0-2 -5 -1
=
1 3
（1）当kAB = kPQ ，即
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两直线平行与垂直的条件
教学目标
1、熟练掌握两直线平行与垂直的充要条件
2、能根据所给条件条件求直线方程
3、逐步掌握待定系数法求解有关问题
教学重点 根据条件确定直线方程
教学难点 平行与垂直条件的应用
教学过程
一、 复习
1、 两直线平行的充要条件
(1) l 1:y=k 1x+b 1 l 2:y=k 2x+b 2 则l 1∥l 2⇔ k 1= k 2且 b 1≠b 2
(2) l 1:A 1x+B 1y+C 1=0 l 1:A 2x+B 2y+C 2=0
则l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==1
221122112211221C B C B B A B A C A C A B A B A 或 (3) 与直线Ax+By+C=0平行的直线系为Ax+By+m=0（m 为待定系数）
2、 两直线垂直的充要条件
（1）l 1 、l 2的斜率为k 1 、k 2则l 1⊥l 2⇔ k 1 k 2=-1
（2） l 1:A 1x+B 1y+C 1=0 l 1:A 2x+B 2y+C 2=0
则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0
（3）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+m=0
（m 为待定系数）
3、 练习（讲评练习册）
二、 例题
1、试求过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程
2、在△ABC 中，已知高AM 、BN 所在直线方程分别为x+5y-3=0和x+y-1=0AB 所在直线方程为x+3y-1=0，求此三角形另两边所在直线方程。
3、已知三角形ABC 的三个顶点为A )2,22(-+、B （0，4）C （4，0），直线l 平行与BC 且将三角形面积分为相等的两部分，求直线l 的方程。
4、已知A （0，3）、B （-1，0）C （3，0），试求D 点坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形。
小结。