初中数学研究微专题14 线段与角中的动态问题

微专题 14 线段与角中的动态问题

一、专题介绍

本专题主要包括线段与角的动态变化问题，主要包括线段上点的动态问题，角的边的动态变化问题，时钟问题等.这类问题的综合较强，涉及到的数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、方程思想.

二、例题探究

类型一：线段上的动态问题

例1.（2018·金牛区期末）如图1，已知线AB = 24 ，点C 为线段AB 上的一点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．

（1）若AC = 8 ，则DE 的长为；

（2）若BC =a ，求DE 的长；

（3）动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，相向而行，点P 以每秒3 个单位长度沿线段AB 向右匀速运动，Q 点以P 点速度的两倍，沿线段AB 向左匀速运动，设运动时间为t 秒，问当t 为多少秒时P ，Q 之间的距离为6？

变式1：如图，数轴上A、B两点分别位于原点两侧（点A在原点左侧，点B在原点右侧），AO=2BO，点A 在数轴上对应的数是-800.动点P、Q 同时从原点出发分别向左、向右运动，速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，同时，动点R 也从点A 出发向右运动，速度为 2 个单位长度/秒.设运动时间为t 秒.

（1）填空：

①点B 在数轴上对应的数是

②点P 在数轴上对应的数是；点Q 在数轴上对应的数是；点R 在数轴上对应的数是（用含t 的代数式表示）.

（2）当t 为何值时，动点R 与动点P 之间距离为 200 个单位长度？

（3）若点M、N 分别为线段PQ、RP 的中点，当t≤100 秒时，2MN-MB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值.

类型二：时钟问题

例 2：同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟的问题．（1）九点整时，时针与分针所夹的角是度．

（2）1 点20 分，时针与分针所夹的角是度．

（3）从1 点15 分到 1 点35 分，时针的分针与时针各转了多大角度？

变式2：在3点和4点之间（包括3点和4点），何时时针和分针成90°？

类型三角的动态问题

例 3 如图，已知∠AOB＝120°，OC 是∠AOB 内一条射线．

（1）如图①，若OD 平分∠AOB，∠BOC：∠COD＝5：1，求∠AOC 的度数；

（2）如图②，如果射线OC 从射线OA 的位置开始以5°/s 的速度绕点O 顺时针旋转，到与OB 重合时停止旋转，那么当射线OC 旋转多少秒时，图中出现直角？

（3）如图③，射线OP、OQ 分别从射线OA、OC 位置开始，同时在∠AOC、∠COB 的内部以1°/s、3°/s 的速度绕点O 顺时针旋转，当OP 平分∠AOC 时，∠COP＝∠BOQ，求∠AOC 的度数．

变式3：（2018，金牛区期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O

重合，直角边DO 、BO 在线段MN 上，∠COD =∠AOB = 90︒．

（1）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿顺时针方向旋转到如图2 所示的位置，若∠AOC = 35︒，

则∠BOD =；猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系为；

（2）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转一周，三角板AOB 不动，请问几秒后OD 所在的直线平分∠AOB ？

（3）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转两周，同时三角板AOB

绕着点O沿逆时针方向按每秒5︒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在

直线平分∠AON ．