2012年高考数学必考考点题型大盘点

cos xe[0,l],于是f(x) €[-1,2],因此实数 m 的取值范围是[-1,2],故选C.动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，要说明它 是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即 可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值使其成立即可，而要 说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明预测4. “a 兰0 ”是“不等式x 2 -/ax^ 0对任意实数x 恒成立”的解析：不等式x 2一 JTx 二0对任意实数 x 恒成立，则有 △= (/a )2 =番0 ,又因为 a »0,所以必有a =0 ,故“ a 兰0 ”是“不等式x 2 -0对任意实数必要不充分条件.故选B.动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类 问题不仅能够考查逻辑用语屮的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识， 是一个知识交汇的重要载体 .解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、充要条件的概念， 更重要的是要善于列举反例.命题热点二函数与导数函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函 数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填 空题的形式考查函数的性质、 函数与方程、基本初等函数等， 以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识 .其屮函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用 .导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、 不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查， 例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.预测1.函数f ( x)= x 2 -2ax -ti 在区间(一*,1)上有最小值，则函数g (x) = f(x)在x 区间(1,+“)上一定A.有最小值 B .有最大值 C.是减函数解析：函数f ( X )图像的对称轴为X = f (x)a l g( X )=——=x+-—2a, g(x)在(0, v a )上递减，在x x (1,母)上也递增，无最值，选 D.动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题 较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x 恒成立”的D.是增函数a ,依题意有冬1,所以(石,+乂)上递增，故g (x )在•对于二次函数，高考有着 .在研究函数的单调性以及最值p问题时，要善于运用基本不等式以及函数y=x + (P>°)的单调性进行求解.x 2x预测2.如图，当参数 ％〉别取1見几2时，函数f(X> ------------------ (x£)的部分图像分别对应曲线C1,C 2 ,则有2 2又因为当“I 时，由图像可知—；故入5,所以选A.动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数 图彖，求函数解析式或确定其屮的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图彖分析研 究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的 性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围预测3.已知函数f(x) e3 -mx 的图像为曲线C,若曲线C 不存在与直线y =—x 垂2直的切线，则实数m 的取值范围是1 1A . m <B. m >c. m 兰 2 D. m >222 ]解析：f '(x) =e x -m,曲线C 不存在与直线y=— x 垂直的切线，即曲线C 不存在斜2动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容, 涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以 “切点”为核心，并注意对问题进行转化•预测4.(理科)己知函数为R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是D.鼻 < 九i< 0解析：由于函数f(x>的图像在[0, +边)上连续不间断,所以必有/.!>率等于-2的切线，亦即方程e x _m = 2■无解,=m — 2 ,故 nT 2^0 ,因此 m - 2 .A. [ -1,0）B. （0,母）C. [-2,0）D.（=,乜）r> a 0 解析：若f(x)在R 上单调递增，则有 a 2 0 , f 无解卜若f(x)在R 上单调递减,a +2 <1Ia <0则有丿a +2 >0 ,解得J <a <0 ,综上实数a 的取值范围是［」,0).故选几a +2 >1动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增(减)，不仅要求函数在每一段 上都要单调递增(减)，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段点右侧的函 数值.-ax 2 + l(x > 0 )(文科)已知函数f(x )=<为R 上的单调函数，则实数a 的取值范［(a ^)e x (xO )围是B. (2,+a )C.(-处,3]D. (2,3)"a > 0I3 — 2>0,解得2 <a <3 ；若f(x)在R 上单p — 2<1a< 0调递减，则有彳a- 2<0 , a 无解，综上实数a 的取值范围是(2,3］・ ［a- 2>1 动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增(减)，不仅要求函数在每一段 上都要单调递增(减)，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段点右侧的函 数值.预测5.(理科)设函数()二2 + ln( +】)，其屮bf . (1)若b = _12 ,求f x x b xf(x)在［1,3］的最小值；(2)如果f( x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围;n +_(3)是否存在最小的正整数N ,使得当n 时，不等式In __j恒成立.n n解析：(1)由题意知，f( X )的定义域为(一 1+^),b =_12 时，由 f 々x)=2x=.2-x 2_t-2.x~-l-2= 0 ,得 x = 2 ( x = _3 舍去)， x + 1 x +1当 x 乏［1,2)时，/ ( x) <0，当 x 已(2,3］时，f / (x) > 0 ,所以当x 己［1,2)时，f( x)单调递减；当x 已(2,3］时，f( x)单调递增，所以 fd^in = f(2)= 4-121n3 ；(2)由题意f /(xL2x+ b =2x 2 +2 x^b =0在(I L 4o)有两个不等实根，即X 勺 X +1A. (2,3]解析：若f(x)在R 上单调递增，则有2x2 +2x +b =0在(」，+辺)有两个不等实根，9△ = 4 —8b > 0设g(x) = 2x?+2x+b，则g 4 ，解之得0 < b<-l；lg(-l)>0 2(3)对于函数f £ )" —ln(x + l),令函数h(x )= x3 ~f(x) = x3-x2 + ln(x+l),则h Z (X)= 3x? _2x + 1 = 3x3 *(x 一l)?,・.当竝［0*辺)时，h/(x)>0 ,x -H x +1所以函数h(x在［0,+俎)上单调递增，又h(0) =0,A x e (Of1*)时，恒有h(x )> h(0) =0 ,n+ 1一9即X~ € X3 +ln( x+1)恒成立.取x = 4- € (0,-He)'则右ln-------------- 1>-1- _—恒成立•2 3n n n rrn* 1 1 显然，存在最小的正整数N=1 ,使得当n二N时，不等式In —— > r --s恒成立•n n n动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法a(文科) 已知函数 ()= +—一31n ()当二时，求函数的最小值；()f x ax x. 1 a 2 f (x) 2X若f(x)在［2, e］上单调递增，求实数a的取值范围.2解析：(1)当a =2 时，f (x) =2x+—_31n X，定义域为(0十8 ).Xf (x) =2 -—2--3= 2x2 ~3x ~~2，令f ( x)=0，得x = 2 ( x= —4•舍去)，当x 变化时, x2 X x22f(x) , f (x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在x =2时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值(2)由于f '(x)二a —4—3 ，所以由题意知，f'(x)二1 —仔—3 A 0在［2, e］±恒成立. x2 x x2 X即"~3x a >0 ,所以ax? 一3x-a 訓)在［2, e］ ±恒成立，即a > .x2x2_l令g(x) 而g ' ( x)= 一3一用,当x 6 ［2, ］ e 时g'(x)<0 ,所以g(x)在［2, e］上X2 1 (X2- I)2递减，故g（x）在［2, e］上得最大值为g（2） =2,因此要使a > 3x 恒成立，应有a>2 .X2 - 1动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值” 为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法命题热点三立体几何与空间向量（理科）高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等•在高考试卷中，一般有1〜2个客观题和一个解答题•多为容易题和中档题•（文科）高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1〜2个客观题和一个解答题•多为容易题和中档题•预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于A. ^3 B ・ 2C. 2 J3 D . 62, 咼是1,所以其侧面积等于解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于S =3X2X1 =6,故选D.动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图屮给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质.预测2.平面a与平面0相交，直线m丄ot ,则下列命题中正确的是A.P内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.P内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.P内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.P内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直解析：假设a n P =1 ,由于m丄Ot ,所以必有m丄1 ,因此在P内必存在直线1与m 垂直；当a丄卩时，可存在直线与m平行，当a与卩不垂直时，在P内一定不存在直线与m平行.故选B.动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握相关的定理，善于利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例对命题进行否定预测3.（理科）正厶ABC的边长为4, CD是AB边上的高，E, F分别是AC和BC边_0収匸(3,-/3,3)，的屮点，现将 AABC 沿CD 翻折成直二面角 A_DC_B.(1) 试判断直线 AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;(2) 求二面角E _DF _C 的余弦值; (3) 上是否存在一点P,使APIDE ?证明你的结论.解：法一：(I)如图：在AABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF//AB,又AB 平WDEF , EF 平面DEF ,・・.AB 〃平面DEF .(H ) VAD 丄CD, BD 丄CD , A ZADB 是二面角A —CD — B 的平面角，A AD 丄BD , AAD 丄平面BCD ,取CD 的中点 M ,这时EM 〃AD , A EM 丄平面BCD ,过 M 作MN 丄DF 于点N,连结EN ,则EN 丄DF,・・・ZMNE 是二面角E — DF — C 的平面角.(III)在线段BC ±存在点P,使AP 丄DE,1证明如下：在线段BC 上取点Po 使BP=- BC ,过P 作PQ 丄CD 与点Q,3・・・PQ 丄平面ACDVDQ・・・AQ 丄DE AAP 丄DE.法二：(II )以点D 为坐标原点，直线 DB DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系,则 A (0, 0, 2) B (2, 0, 0) C (0,历,0,), E(O,A1),F(1平面CDF 的法向量为DA = (0,0,2)设平面EDF 的法向量为n = ( x, y, z),在线段BC在 RtAEMN 中，EM=1,/.tanZMNE= 3£32cos ZMNE7在等边△ ADE 中，Z DAQ=30°33=0则 ^DF ncos < DA ,n >= ... DA n =2L2X ,所以二面角E— DF— C 的余弦值为~21 ；I DA II n I 7 7(III)设P( x, y,0),则AP.DE = 3y _2』・・.y 二 \3又BP = (x - 2, y,0), PC=(p,2 J3-y,O),T BP // PC・・・(x 2)(2V6 -y) = —xy「・\5x + y 唱< 32乃1把y二、f代入上式得x=4，・ BP ,3 3 3所以在线段BC ±存在点P使AP丄DE.动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷屮相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间屮直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间屮两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度预测3.(文科)如图，平行四边形ABCD屮，CD 1, BGD60Z且BD二cb ,正丄方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G, H分别是DF , BE的中点.(1)求证：BD丄平面CDE ；(2)求证：GH//平面CDE : (3)求三棱锥D -CEF的体积.BF(I )证明：平面 ADEF 丄平面ABCD ,交线为 AD ,•「ED 丄AD ,・・・ED 丄平面ABCD , :. ED 丄BD ,X V BD 丄 CD , :. BD 丄平面 CDE ；・・・ GH // CD , :. GH // 平面 CDE ；(III)解：设Rt £CD 中BC 边上的高为h ,・•・h = 口 即：点C 到平面DEF 的距离为2,・・・v VD CEF — c DEF — —|3动向解读：本题主要考查立体几何中的综合问题，这是每年高考的必考内容，也是高 考试卷屮相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间屮直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间几何体表面积、体积的计算求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查 .这类问题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意 各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度命题热点四解析几何高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1〜2个客观题和1个解答题，其屮客观题主要考查直线斜率、 直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等， 考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是 思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练预测1.如果圆(X + 3尸+ ( y- 1产1关于直线1: mx+ 4厂1= 0对称，则直线1的斜率 等于 . 解析：依题意直线 m 辻4y -l=0经过点(兀1),所以 一3m+ 4- 4 0 , 1,于是直线斜率为k 1 .4动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与 圆锥曲线的内容综合起来进行考查 •(II)证明：连结EA,则G 是AE 的中点，・・・△EAB 屮，GH // AB ,又 vAB//CD ,依题意:预测2.已知双曲线 二二1的左右焦点分别是F I ,F 2 , P 点是双曲线右支上一点,9 16且IPF 2岸Fl F 21 ,则三角形PF1 F 2的面积等于 -------------------- .解析：由已知可得a = 3 , I F1F2 l=2c = 10 ,而丨PFi 卜丨PF2丰2a = 6,所以IPFil =16,1 PF2 1= 10 ,又IF I F2=10,所以可得三角形PF1F2 的面积等于S =丄xl6x J 10—8 .2动向解读：本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考 查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目 •解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解.预测3.已知椭圆*2 a : 椭圆上任意一点，且直线 为1_y () +解析：设 P(x, y), M( xo , yo ), N (-xo,-yo )，贝U ki 二 ---------- ,k2 = -y —yo ,依题意有— + X XO X XOkik2 = y 于) y yb2 2 y -yo 2 • 乂因为M,N 在椭圆.上，所以x 22 +y 2XO? 1, 2 +yo 2 =1+— 2T2X X0 X XOX xoab ab两式相减得x 2 — -XO 2+y 2 - yo 2 _ b 2 ~ 2 2 y -yo0,即 --------------------- =-2—9 x z x (rb 2h 2所以D 二a 2 _ 1 a 2 一 c 2 1a 2 — 7a 2 4 • up a 2- 1 4 动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求 离心率的值或取值范围.解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量 关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数a,b,c 满足的等式或不等式，然后根据a,b, c 的关系消去参数 b ,从而可得到离心率的值或取值范围预测4.已知椭圆 J(x-c)2+y2 +J(x+c )2+y2 =10的短轴长为2b ,那么直线+ y 2 =l(a >b >0) , M,N 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是b 2, 1PM 、PN 的斜率分别为ki> k2 ,若|ki k2 = —,则椭圆的离心率4解得eM 故选c.bx ty 2^ 0= 截圆X 2 + y 2 = 1所得的弦长等于__________________________ .解析：由椭圆定义知2a =10 ,所以a =5 ,于是b2 +c2 = 25，圆x2 + y 2 = 1的圆心到直线bx + cy+3 =0的距离等于d 3 =' ‘故弦长等于2 il J J2b2 5 5 5 动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则.值得注意的是：本题屮椭圆方程没有直接给岀，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值•x2预测5.(理科)已知椭圆—+』=l(0wb< 旷。