因式分解(平方差公式)
因式分解-平方差公式
（1）
1 36
＝（ ±
1 6
)2 ;
（3）9m2 ＝ ( ± 3m )2;
(2) 0.81＝（± 0.9 )2; (4) 25a2b2=(± 5ab )2;
(5) 4(a-b)2=[ ± 2(a-b) ]2;
(6)
1 16
(x+y)2=[
±
1 4
(x+y) ]2。
首页 上页 下页
将下面的多项式分解因式
判断、下列多项式能否用平方差公式分
解因式？说说你的理由。
(2x)2
2x
+
（1）4x2+y2 y
不能用平方 差分解因式
(2) 4x2-(-y)2 √
(3) -4x2-y2 -(4x2+y2) (4) -4x2+y2 √
(5) a2-4 √
(6) a2+3 不能
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
★分解的结果是两个数的和乘以两个数 的差的形式。
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
1a 4b 25
1 4
a2
-
16 b2 25
=
1 2
a
+
4 5
b
1 2
a
-
4 5
b
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
用平方差公式分解因式
a
b a
a+b a-b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
aห้องสมุดไป่ตู้
a2 - b2= (a+b)(a-b)
a-b a+b
b a
a-b a+b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
a
a2 -
b2=
1 2
(2a+2b)(a-b)
=(a+b)(a-b)
2b
a-b 2a
分解因式: (1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2) (2) 4x3 -x =x(4x2-1)
=25×400×130
=1.3 ×106
1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²)
= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
谈谈有何收获
那你和你表
妹今年分别 等一下，我能够 几岁了？
算出来！
今年我的年龄
和我表妹年龄 的平方差是87。
聪明的同学，你们能 算出来吗？
将边长为a的正方形一角剪去一个边长为b 的小正方形，观察你剪剩下的部分。
思考（： 1 ） 你 能 将 它 剪 成 两 部 分 然 后 拼 成 一 个新的图形吗？ （2）你能根据先后两个图形的关系说明 一个等式吗？
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
平方差公式分解因式
=a(1 +a2) (1 -a2) =a(1 +a2) (1+a) (1-a)
(2) 3m2-27n2 解：原式=3(m 2 -9n 2 ) =3(m+3n)（m-3n）
练习：将下列各式分解因式。
(3)2x4-8
解：原式=2(x4-4)
=2(x2 +2) (x2 -2)
若有公因式，先提取公因式； 套公式；
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2= a2 +2ab+b2 完全平方公式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2-b2 = (a+b)(a-b)
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2 - 2ab+b2 =(a-b)2
你能快速算出 9992-1的结果来吗？
学会用平方差公式因式分解； 提公因式法与平方差公式的综合运用。
1.计算下列各式：
2 -4 a (1) (a+2)(a-2)=_________ 2-b2 a (2) (a+b)(a-b)=_________. 2-4b2 9 a (3) (3a+2b)(3a-2b) =_______.
2. 根据上面的算式填空：
运用平方差公式分解因式的一般步骤：
(1) 还原成平方差的形式.
(2) 运用公式写成两数和与两数差的积的形式.
(3) 分别在括号内合并同类项.
(4) 各因式分解到不能再分解为止.
9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)] 2 =[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a+b)] =(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
八年级数学利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解是数学中的一种常见方法。
平方差公式指的是两个平方数的差可以表示为一组因式的乘积。
在本文中，我将详细介绍如何使用平方差公式进行因式分解，并给出一些具体的例子。
首先，让我们回顾一下平方差公式的基本形式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式告诉我们，一个平方数的差可以表示为两个数的乘积。
例如，9-4=(3+2)(3-2)=5接下来，我们来看一些具体的例子。
例子1：因式分解x^2-25要将x^2-25进行因式分解，我们可以使用平方差公式。
注意到25是一个平方数，所以我们可以将这个式子看作是两个平方数的差。
根据平方差公式，我们有：x^2-25=(x+5)(x-5)例子2：因式分解4y^2-9将4y^2-9进行因式分解，同样可以使用平方差公式。
注意到4y^2和9都是平方数，所以我们可以将这个式子看作是两个平方数的差。
根据平方差公式，我们有：4y^2-9=(2y+3)(2y-3)例子3：因式分解x^2+16这个例子略微不同，因为16是一个平方数，但是x^2不是。
但是，我们可以将x^2+16看作是一个平方数和一个平方数的和。
虽然这不是标准的平方差形式，但我们可以通过类似的思路来分解它。
具体步骤如下：x^2+16=(x+4i)(x-4i)这里i是虚数单位，满足i^2=-1、如果你对虚数单位不熟悉，可以将x^2+16留在这个形式中。
除了上述具体的例子，平方差公式还可以应用到更复杂的因式分解问题中。
例如，可以使用它来分解三次方程的差平方形式。
另外，注意到平方差公式还有一个类似的形式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这些公式也可以在解决数学问题中发挥作用。
在使用平方差公式进行因式分解时，有一些常见的技巧可以帮助你更好地理解和应用公式。
首先，我们需要识别问题中是否存在平方数，以便确定是否可以使用平方差公式。
其次，了解平方差公式的不同形式和变形形式，可以帮助你更灵活地应用这个公式。
平方差公式在因式分解中的五种表现
平方差公式在因式分解中的五种表现应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。
公式表述为：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）。
应用平方差公式满足的条件：等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。
1直接应用例1、分解因式：24x -= ．（2008年贵阳市）分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x 2- 22，这样，就和公式一致了。
解:：x 2-4=x 2- 22=（x+2）（x-2）。
2、提后用公式例2、分解因式：3x 2-27= ．（08茂名）分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。
解：3x 2-27=3（x 2-9）=3（x 2- 32）=3（x +3）（x -3）。
3、变化指数后用公式例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。
这两个数各是多少？分析因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1）=（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】=（224+1）【（212+1）（212-1）】=（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】=（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】=（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】=（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】=（224+1）（212+1）（26+1）×9×7=（224+1）（212+1）（26+1）×65×63因为，整除的两个数在60和70之间，且60＜63＜70，60＜65＜70，所以，这两个数分别是63、65。
平方差公式知识点归纳总结
平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。
在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。
一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。
二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。
对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。
2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。
考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。
例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。
特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。
例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。
三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。
解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。
解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。
第43课时 因式分解(2)——公式法(平方差公式)
2. 计算： （1）（a+2）（a-2）=____a_2-_4____； （2）（-x+3）（-x-3）=____x_2-_9____； （3）（3a+2b）（3a-2b）=___9_a_2_-_4_b_2 __.
启后
任务三：学习教材第116页，完成下列题目. 1. 填空： （1）a2-b2=__（__a_+_b_）__（__a_-_b_）__； （2）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须 是__二____项式，两项都能写成___平__方___的形式，且 符号___相__反___.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/292021/8/292021/8/292021/8/298/29/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月29日星期日2021/8/292021/8/292021/8/29 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/292021/8/292021/8/298/29/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/292021/8/29August 29, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/292021/8/292021/8/292021/8/29
课堂小测
5. （10分）分解因式： （1）x3-9xy2；（2）（x+2）2-9.
解：（1）原式=x（x+3y）（x-3y）. （2）原式=（x+5）（x-1）.
运用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式
当我们需要分解一个二次多项式时，可以使用平方差公式（差平方公式）进行分解因式。
平方差公式可以帮助我们将一个二次多项式分解成两个一次多项式的平方差形式。
平方差公式的形式如下：
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
其中，a 和 b 可以是任意表达式或值。
根据平方差公式，我们可以将一个二次多项式进行相关的分解。
以下是一个示例：
例如，要分解多项式 x^2 - 4：
观察表达式，我们可以发现它与平方差公式的形式相似，其中 a = x，b = 2。
因此我们可以将其分解为 (x + 2)(x - 2)。
这样，我们就成功地使用平方差公式将多项式x^2 - 4 分解成了两个一次多项式的平方差形式 (x + 2)(x - 2)。
需要注意的是，平方差公式只适用于特定的形式，即差的平方。
即"a^2 - b^2" 的形式。
在实际应用中，我们需要观察多项式的形式，尝试适配平方差公式的形式，并进行相应的分解。
此外，还有其他的分解因式方法，如配方法、因式分解公式等，可以根据具体的多项式形式选择适合的分解因式方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、经典例题
例1. 把下列多项式分解因式：
（1） x 2－4y 2＝（3） 25x 2－16y 2=_________________
（2） （xy ）2－1=2201.094)
4(n m -= 例2.(1)822-x （3） a 4x 2－a 4y 2；
（4） x 3－25x （5） 25(a+b)2－4(a －b)2
例3.计算 (1) 2299.299.1- (2) 443545652
2⨯-⨯
例4.在一块边长为a ＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?
课堂练习
1、下列各多项式中，能用平方差公式分解的有（ ）
A 22y x --
B 22y x +
C ()()22n m ---
D 2
y x - 2、把代数式x xy 92-分解因式，结果正确的是（ ）
A ()92-y x
B ()2
3+y x C ()()33-+y y x D ()()99-+x x x 12.5.2因式分解（平方差公式）
3、分解因式32b b a -的结果为（ ）
A ()22b a b -
B ()
2b a b - C ()()b a b ab -- D ()()b a b a b -+ 4.（ ）（1-2x ）=142-x
5.若多项式4a 2 +M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=_____________(写出一个即可)
6.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。
有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式4
4y x -，因式分解的结果是()()()22y x y x y x ++-，若取x=9,y=9时，
则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,
16222=+y x ,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式234xy x -取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是_____________写出一个即
可
7.分解因式
（1）.24x - （2）.29y - （3）.21a - （4）.224x y -
（5）.2125b - （6）.222x y z - （7）.
2240.019m b - （8）.2219a x -
（9）.2236m n - （10）.2249x y - （11）.220.8116a b - （12）.222549p q -
（13）.m m
43- （14）.2233ay ax - （15）.41x - （16）.4416a b -
8. (1) 25991012522⨯-⨯ (2) 2
23.143.29⨯-⨯
三.解答题
3.若，求代数式 1004,2a b a b +=-=22a b -
§15.2.2因式分解（2）公式法(一)课后作业
班级: 姓名: 日期: 分数:
一、填空
1.分解因式：（1）=；（2）=
（3）=；（4）=
（5）=；（6）=
2.分解因式：（1）=；（2）
3.分解因式：
4.分解因式：=（2）=
5.已知x 2－y 2=－1， x+y=，则x －y=. 二、把下列各式分解因式：
6.（1） 36－x 2 （2） a 2－
b 2 （3） x 2y 2－z 2
（4） (x+2)2－9 （5） 0.25(x+y)2－0.81(x －y)
2
（6）22()()x p x q +-+ （7）22(32)()m n m n +--
29a -3x x -2249a b -2422516a y b -+3375a a -39a b ab -44x y -2224m m n -=225(21)n -+=4481x y -2199
a -+219
1
三、解答题
7.当为整数时，能被28整除吗？请说明理由。
8.已知：904=+n m ,2m －3n=10，求(m+2n)2－(3m －n)2的值。
9.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。
10.计算：
n 22
(14)n n +-222001
20031001
-。