范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(利润最大化)
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(选择)
第8章 选 择
1．弗兰克·费雪的支出函数是 e p，u ，他对开玩笑的需求函数是 xj p，m ，其中 p 为
价格向量，收入 m 0 。证明：对弗兰克而言，当且仅当 2e / pju 0 时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is e p，u . His demand function for jokes
is xj p，m , where p is vector of prices and m 0 is his income. Show that jokes
are a normal good for Frank if and only if 2e / pju 0 .
证明：恒等式 xj p，m hj p，v p，m e p，v p，m / pj 两边关于 m 求导得：
答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：u
x1，x2
x1a
x1a 2
，在两边取对数，两种物品
的需求函数可以通过解下式导出：
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max
x1，x2
a
ln
x1
1
a
ln
x2
满足
p1x1 p2 x2 m
将约束条件代入目标函数得到：
x j
2e p，v p，m v p，m
，由于收入的边际效应 v / m 一定为正，故当且仅当
m
pi u
m
2e /
p j u
0
时，
x j m
0
，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。验证对角线各项是负的，交叉价 格效应是对称的。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(利润函数)
p,
w
p
ln
0 p/
w
1
p/we p/we
如图 3-1 所示。
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图 3-1 厂商的利润最大化
3．给出生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，计算出利润最大化的需求和供给函数，以
conditions.）
答：（a）由利润函数的凸性得到
2 wi2
0 ，从而可知 ''i wi 0 ；又因为利润函数关于
要素价格是单减的，即 wi
0 ，从而可知 ''i wi 0 。
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（b）根据
Hotelling
（2）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么
当 它 的 产 量 为 ln p / w 时 ， 可 以 得 到 最 高 利 润 ， 为 p ln p / w 1 。 所 以 如 果 p ln p / w 1 0 即 p / w e 时，厂商应当选择生产 ln p / w 数量的产品，相应的利润为 p ln p / w 1 ；如果 p ln p / w 1 0 ，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。
解：令 f x p ln x wx ，易知 f x 在区间 , p / w 上单增，在区间 p / w, 上单 减，所以 f x 在 p / w 这一点上达到最大值。下面分情况讨论：
（1）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么 当它的产量为 1 时，可以得到最高利润为 w 。所以，厂商的最优选择就是丌生产。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-生产(圣才出品)
第18章生产1．考虑一个经济，有两种非被生产的生产要素，土地和劳动，还有两种被生产的商品，苹果和手帕。
苹果和手帕的生产满足规模收益不变。
手帕仅用劳动来生产，苹果是用劳动和土地来生产。
有N个相同的人，每人有15单位劳动和10单位土地的初始禀赋。
他们的效用都为，此处01c<<，A和B分别为此人对苹果和手帕的消费量。
苹果用一个固定系数生产技术来生产，每生产一单位苹果需要使用1单位劳动和1单位土地。
生产一块手帕需要1单位劳动。
令劳动价格为经济中的记账单位。
（a）找到本经济中的竞争性均衡价格及数量。
（b）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡价格的变动？（c）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡消费的变动？Consider an economy in which there are two nonproduced factors of production,land and labor,and two produced goods,apples and bandannas. Apples and bandannas are produced with constant returns to scale.Bandannas are produced using labor only,while apples are produced using labor and land.There are N identical people,each of whom has an initial endowment of fifteen units of labor and ten units of land.They all have utility functions of the form()()，where01=+-ln1lnU A B c A c B<<and where A and B are a person’scconsumption of apples and bandannas,respectively.Apples are produced with a fixed-coefficients technology that uses one unit of labor and one unit of land foreach unit of apples produced.Bandannas are produced using labor only.One unit of labor is required for each bandanna produced.Let labor be the numeraire for this economy.（a）Find competitive equilibrium prices and quantities for this economy.（b）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium prices?（c）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium consumptions?答：（a）消费者的效用最大化问题为（其中r是土地的价格）：从而解得消费者的需求函数为：这样A 和B 的总需求就是：1015A r NA Nc p +=（1）()10151B r NB N c p +=-（2）又因为均衡时，每个厂商的利润都是零，即：A A A p NA L rK --=（3）0B B p NB L -=（4）下面分两种情况讨论：①若所有的生产资料都被用尽，那么：10A K N =（这是因为在这个经济中，只有生产苹果需要土地）由于厂商A 的生产函数是固定比例类型的，所以10A K N =，从而5B L N =，于是A 和B 的总产出分别是105NA N NB N = =，，把他们代入（1）、（2）、（3）、（4）式中，解得：由于0r ≥，因此必有23c ≥②若23c <，如果用尽所有的土地供给，那么就有·A A A A p N L rK <+，即土地的供给大于需求，所以均衡时，土地必有剩余，从而0r =，把0r =代入（1）、（2）、（3）、（4）式中解得：从而总产出为()15151A Nc B N c = =-，由于总产出等于总需求，所以1A B p p ==。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(成本最小化)
第 4 章 成本最小化
1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。 Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.
证明：令 x* 为价格 p, w 下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的
y
x1b
x 1b 2
。该技术的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces output according to the production
function
x1a x21a .The other plant has a production function
是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是丌可微的？
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Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses a1 units of good 1 and a2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses b1 units of good 1 and b2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are
f x* wj x j
范里安《微观经济学：现代观点》【教材精讲+考研真题解析】第19章 利润最大化 【圣才出品】
第19章利润最大化19.1本章要点●短期利润●长期利润●显示盈利的能力19.2重难点解读一、利润1．利润的表示方法利润可以被简单地定义为总收益与总成本之差（Profits are defined as revenues minus cost）。
假定一个厂商生产几种产品()1,...,n y y 和使用m 种投入品()1,...,m x x 。
令产品的价格为()1,...,n p p ，投入品的价格分别为()1,...,m w w ，则厂商的利润π可表示为：11i i i i i i p y w x π===-∑∑其中前一项为厂商的总收益，后一项为总成本。
2．不同的利润概念经济学上的利润指的是经济利润或称超额利润，等于总收益减总成本（含显性成本和隐性成本）。
经济学上指的正常利润是指厂商对自己所提供的企业家才能的报酬的支付，已经包含在隐性成本里了。
隐性成本是指厂商再生产过程中使用自身所拥有的那些生产要素所支付的实际费用。
会计利润是指厂商的总收益减去所有的显性成本以后的余额。
显性成本是指厂商为获得生产所需要的各种生产要素而发生的实际支出。
3．各利润概念之间的关系会计利润=总收益－会计成本经济利润=总收益－总成本=总收益－（显成本+隐成本）图19-1相关关系二、短期利润最大化1．短期利润最大化的必要条件在完全竞争市场下，假定要素2的投入水平2x 保持不变。
令厂商的生产函数为()12,f x x ，产出的价格为p ，两种投入品的价格为1w 和2w 。
厂商的利润最大化问题可表示为：()1121122max ,x pf x x w x w x --如果*1x 是要素1实现利润最大化的数量，由数理方法可得生产要素的边际产品价值（额外增加一个单位的要素投入而增加的产品的价值，强调价值的增加）应该等于它的价格：()1121,pMP x x w *=2．利用图形分析短期利润最大化令y 表示厂商的产出量，利润可表示为：1122py x x πωω=--整理得等利润线：2121w w y x x p p pπ=++等利润线表示产生固定利润水平的投入品和产出品的所有组合，如图19-2所示，斜率为1w p ，纵截距为22w x p pπ+。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-最优化(圣才出品)
第27章最优化一、证明题凹函数一定是拟凹函数。
但是，这不是必要的。
如图27-1所示，在曲线AC段，函数是凹的；而在CB段，函数是凸的。
这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。
图27-1凹函数与拟凹函数二、计算题一阶条件：（2）社会计划者的问题：一阶条件：垄断者产出m q q *<，()m p q 大于边际成本。
则由（2）式和（4）式可知：()()m c I c I *''-<-；又知()0c I ''>，所以m I I *>。
（3）给定社会计划者选择的投资水平ˆI ，垄断者会通过选择q 来最大化自己的利润，因此会使MR MC =。
则社会计划者的问题是在垄断者的最佳反应约束下，来最大化社会剩余：一阶条件：（6）意味着：给定ˆq，ˆI 不是最优的，因为0λ>，所以同（4）相比较可知：ˆI 应该大于ˆq 所对应的最优投资水平。
一阶条件为：用()q α*表示上述问题的最优解，则利润可以表示为α的函数：利用包络定理可得：已知()0c α> ，因此()πα*'的符号与()p α'有关。
下面．利用一阶条件和市场出清条件来导出()p α'的表达式。
由一阶条件两边对α求导可得：由市场出清条件两边对α求导可得：()()()()x p p Jq ααα*'''=利用上面两个等式可以求出：则()πα*'可进一步记为：（2）由(),c q α为严格凸的假设可知：0qq c >，另有()0x '≤ 。
因此，()πα*'表达式中的分母非负。
因此，其中()sign 为符号函数，根据自变量的正负，它分别取1和-1。
由0c α>，0qq c >，0x '≤可知：()()10qq c J c x p αα-'≤，因此：可见：当()(),/0q q c q q q ααα=*∂⎡⎤⎣⎦<∂时，有()0πα*'<。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(竞争市场)
第13章 竞争市场1．令()v p m +为一有代表性的消费者的间接效用函数，()p π为一有代表性的厂商的利润函数。
福利为价格的函数，且为()()v p p π+。
证明竞争价格最小化这个函数，并解释为什么均衡价格是最小化而不是最大化。
Let ()v p m + be the indirect utility function of a representative consumer, and let ()p π be the profit function of a representative firm. Let welfare as a function of price be given by ()()v p p π+. Show that the competitive price minimizes this function. Can you explain why the equilibrium price minimizes this welfare measure rather than maximizes it?答：令福利函数的一阶导数为零，则有：()()0v p p π''+=。
根据罗伊尔定理和霍特林引理，一阶导表达式可写为：()()0x p y p -+=，这完全是需求等于供给的条件，也就是说，均衡时的价格能够满足福利函数的一阶导为零的条件。
同时，这一福利函数的二阶导数表达式为：()()x p y p ''-+，由需求曲线向下倾斜与供给曲线向上倾斜的性质可知它显然是正值。
因此，该福利函数在均衡价格p 处具有极小值而不是极大值。
在任何不同于均衡价格的水平上，厂商供给的数量不同于消费者需求的数量。
因此其他价格无法使得福利达到最大化。
2．证明：当价格从0p 变至1p 时，供给函数在0p 与1p 间积分所给出的利润变化。
Show that the integral of the supply function between 0p and 1p gives the change in profits when price changes from 0p to 1p .证明：由霍特林引理：()()/p w p y p π∂ ∂=，，可以得到利润变化为：3．一个有大量厂商的行业，每一厂商都取如下的成本函数形式()()()221212120c w w y y w y w =+++=，，（a ）找出厂商的平均成本曲线，描述它如何随要素价格12w w 的变化而移动。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-利润最大化(圣才出品)
第2章利润最大化一、判断题1．利润最大化行为弱公理是指厂商只有较弱的利润最大化动机。
（）【答案】F【解析】利润最大化行为弱公理是指竞争性厂商的供给量是产品价格的增函数，每种要素的需求函数是该要素价格的减函数。
弱公理也是利润最大化条件推导得出的，因此不能说厂商具有较弱的利润最大化动机。
2．不变要素就是在使用过程中与产量水平成固定比例的生产要素。
（）【答案】F【解析】不变要素是指其数量不受产量水平影响的要素，是企业固定数量的生产要素，即是企业的产量为零企业仍然要为此要素支付成本；可变要素是指其数量随产量水平变化而变化的要素。
3．某要素边际产量等于在其他要素投入量保持不变的条件下生产函数对该要素的偏导数。
（）【答案】T【解析】要素的边际产量是在其他要素投入量保持不变的条件下，增加一单位要素所引起的产量增加量。
4．若初始阶段要素x的边际产品价值随要素x投入的增加而上升，那么此时要素x边际产品价值等于要素价格也是厂商利润最大化条件。
（）【答案】F【解析】厂商要素投入在边际产量递增阶段，不能直接套用利润最大化的一阶条件。
当边际产量递增时，企业应该增加要素使用量。
5．若追求利润最大化的竞争性厂商面临产品价格提高，而且所有其他价格保持不变，那么厂商的产量不可能下降的。
（）【答案】T【解析】由利润最大化的弱公理0p y ∆∆≥，由于0p ∆≥，0y ∆≥是必然成立的。
6．若某竞争性行业中厂商生产函数均呈规模报酬不变的特点，那么他们的长期利润水平一定为零。
（）【答案】T【解析】对于在所有产量水平上都具有不变的规模报酬的一家竞争企业而言，唯一可能的长期利润水平是零。
假设它的均衡利润为正值。
如果要素的投入量增加一倍，产量将增加一倍。
利润也将翻番，但这与企业最初使利润最大化的选择相矛盾。
因此长期利润水平一定为0。
7．与消费理论对应，厂商利润最大化下也可能存在“吉芬要素”，这类要素价格下降反而引起对其需求的下降。
（）【答案】F【解析】根据利润最大化行为弱公理可知，竞争性厂商的供给量是产品价格的增函数，每种要素的需求函数是该要素价格的减函数。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(效用最大化)
第7章 效用最大化1．考虑由如下关系定义的偏好：()()12121212x x y y x x y y ⇔+<+，，（a ）该偏好是否满足局部非饱和性假设？（b ）若消费集中仅包括两种消费物品，且消费者面临正的价格，消费者会花费其全部收入吗？请解释。
Considerpreferencesdefinedoverthenonnegativeorthantby()()1212x x y y ，， if1212x x y y +<+. Do these preferences exhibit local nonsatiation?If these are the only two consumption goods and the consumer faces positive prices, will the consumer spend all of his income? Explain.答：（a ）由局部非饱和性的定义：给定消费集X 中的任意消费束x 和任意0ε>，消费集X 中总存在消费束y ，满足x y ε-<，使得yx 。
局部非饱和性的含义是：即使仅允许对消费束作微小调整，消费者也可以做得更好一些。
对于任意的消费束()()1200x x ≠ ，，和非常小的正数ε，令：1122y x y x == 那么：12x y εε-≤<所以该偏好满足局部非饱和性，但是在()00 ，这一点除外。
（b ）消费者不会花光他全部的收入，理由如下：对任意花光全部收入的消费束，一定有：1122p x p x m +=对于这样的消费束，消费者只要把每种商品的消费量减少一点就可以提高自己的效用，因此在追求效用最大化的假设条件下，消费者是不会花光他全部收入的。
2．某一消费者具有效用函数(){}1212max u x x x x = ，，。
求消费者对物品1的需求函数，并求消费者的间接效用函数和支出函数。
范里安微观经济学利润最大化Profit_Maximization[187页]
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y f ( x1 , x 2)
要素2的边际产品下降。
* p x1 3w 1 3/ 2 1/ 2 ~ x2
短期供给量为：
p y 3w 1
*
1/ 2
~ 1/ 2 . x 2
短期利润最大化的比较静态分析
柯布-道格拉斯的例子: 当 1/3~ 1/3 y x1 x 2 那么厂商对于可变要素1的短期 需求函数为：
产要素1的短期需求
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
* p x1 3w 1 3/ 2 1/ 2 ~ x2
~ 单元时，厂商生 为当生产要素2固定在 x 2 产要素1的短期需求
厂商的短期产出水平为：
* 1/ 3 ~ 1/ 3 p y ( x1 ) x 2 3w 1 * 1/ 2
x* 1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
y
~ ) y f ( x1 , x 2
y*
w1 斜率 p
x* 1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
y
~ ) y f ( x1 , x 2
y*
w1 斜率 p
~ . x 2 2
短期生产函数为： y
~ ). f ( x1 , x 2
经济利润
假设厂商出于一个短期环境中且
x2 ~ x2 .
短期生产函数为： y
~ FC w x 固定成本为： 2 2
~ f ( x1 , x 2 ).
~ py w x w x 利润函数为： 1 1 2 2.
* p x1 3w 1 3/ 2 1/ 2 ~ x2 短期供给为
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)配套题库【课后习题(13-27章)】【圣才出品】
第13章竞争市场Let ()v p m +be the indirect utility function of a representative consumer,and let ()p πbe the profit function of a representative firm.Let welfare as a function of price be given by ()()v p p π+.Show that the competitive price minimizes this function.Can you explain why the equilibrium price minimizes this welfare measure rather than maximizes it?答：令福利函数的一阶导数为零，则有：()()0v p p π''+=。
根据罗伊尔定理和霍特林引理，一阶导表达式可写为：()()0x p y p -+=，这完全是需求等于供给的条件，也就是说，均衡时的价格能够满足福利函数的一阶导为零的条件。
同时，这一福利函数的二阶导数表达式为：()()x p y p ''-+，由需求曲线向下倾斜与供给曲线向上倾斜的性质可知它显然是正值。
因此，该福利函数在均衡价格p 处具有极小值而不是极大值。
在任何不同于均衡价格的水平上，厂商供给的数量不同于消费者需求的数量。
因此其他价格无法使得福利达到最大化。
2．证明：当价格从0p 变至1p 时，供给函数在0p 与1p 间积分所给出的利润变化。
Show that the integral of the supply function between 0p and 1p gives the change in profits when price changes from 0p to 1p .证明：由霍特林引理：()()/p w p y p π∂ ∂=，，可以得到利润变化为：3．一个有大量厂商的行业，每一厂商都取如下的成本函数形式（a）找出厂商的平均成本曲线，描述它如何随要素价格w w的变化而移动。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-垄断(圣才出品)
第14章垄断1．反需求曲线由()10p y y =-给出，垄断者有4单位商品的一个固定供给，他将出售多少且定什么价格？在具有这些需求和供给特点的竞争市场中，价格和产量会怎样？如果垄断者有6单位商品，将会发生什么（假定自由分配）？The inverse demand curve is given by ()10p y y =-,and a monopolist has a fixed supply of 4units of a good available.How much will it sell and what price will it set ？What would be the price and output in a competitive market with these demand and supply characteristics？What would happen if the monopolist had 6units of the good available?（Assume free disposal.）2．假设一个垄断者面临的需求曲线为()10D p p =-，并有7单位的固定供给可出售，最大化利润的价格是什么？最大化利润是多少？Suppose that a monopolist faces a demand curve of ()10D p p =-and has a fixed supply of 7units of output to sell.What is its profit-maximizing price and what are its maximal profits？解：利润最大化问题：()()()max 10p pD p p p π==-解得一阶条件为：。
因此，该垄断者会选择5单位的供给，得利润5525π=⨯=。
如果厂商供给7个单位的产品，则利润为：7321π=⨯=。
范里安-微观经济学现代观点(第7版)-课后习题解答-19利润最大化-东南大学-曹乾
Solutions for Varian’sIntermediate Microeconomics:A Modern Approach (7th Edition)范里安微观经济学:现代观点（第7 版）第19章利润最大化课后习题详细解答课后习题详细解答曹乾曹乾东南大学 caoqianseu@)(东南大学简短说明：编写课后习题解答是由于教学的需要，也是由于对市面流行的参考答案不满。
版权没有，但请勿用于商业用途。
复习题参考答案1.在短期在短期，，如果不变要素的价格上升如果不变要素的价格上升，，利润将如何变动利润将如何变动？？【复习内容】短期利润最大化；比较静态分析【参考答案】解法一:微积分假设要素2是不变要素，它的数量固定在2x ，企业的生产函数为),(21x x f ，产品价格为p ，要素1和2的价格分别为1w 和2w 。
则企业的短期利润最大化问题可以写为221121),(max 1x w x w x x pf x −−. 该问题的一阶条件为12*11),(w x x pMP = (1)此时的*1x 就是企业短期利润最大化时，要素1的最优使用量。
这样，企业的最大利润为22*112*1),(x w x w x x pf −− (2)由（1）式可知，要素1的最优数量取决于以下因素：产品价格p ；要素1本身的价格1w ；要素2的数量2x 以及生产函数的具体表达式。
但是注意，在短期在短期．．．，可变要素可变要素．．．．1．的最优数量．．．．．和不变要素．．．．．2．的价格无关．．．．．。
现在令要素2（不变要素）的价格上升，仔细观察（2）式，由上面的结论可知，（2）式中的第一项),(2*1x x pf 和第二项*11x w 在要素2价格上升后无任何变化。
现在看第三项22x w ，这一项中2x 无法改变，2w 变大。
因此，要素2价格上升后，企业的利润将减少。
解法二解法二：：几何法假设要素2是不变要素，它的数量固定在2x ，企业的生产函数为),(21x x f ，产品价格为p ，要素1和2的价格分别为1w 和2w 。
范里安《微观经济学：现代观点》(第7、8版)课后习题详解-(利润最大化)
第19章 利润最大化1．在短期内，如果不变生产要素的价格提高，利润会发生什么变化？答：在短期内，如果不变生产要素的价格提高，利润会降低。
厂商利润()()()00max max x x pf x z wx rz pf x z wx rz π≥≥⎡⎤=-+=--⎢⎥⎣⎦，，，其中r 和z 分别是固定要素的数量和价格。
特别地，短期内z 固定不变，所以r 和z 会以参数的形式出现在利润的表达式中。
所以，r 的提高会引起利润的下降。
2．如果某企业的生产技术能做到对于任何产量水平都是规模报酬递增的，在价格保持不变并且经营规模扩大一倍的情况下，它的利润会发生什么变化？答：它的利润会扩大到原来的两倍以上。
这是因为：对于一个处处规模报酬递增的企业，其生产函数满足()()f tx tf x >，其中1t >。
对任意的产量x ，其利润为()0max x pf x wx π≥=-，所以当企业生产规模扩大一倍后，其利润是 ()()00max 222max x x pf x wx pf x wx π≥≥⎡⎤=->-⎢⎥⎣⎦，因此其利润是原来的两倍以上。
3．如果一个企业在各种产出水平上都显示规模报酬递减，那么，把这个企业划分为两个相等规模的较小企业，它的总利润会发生什么变化？答：通过把一个企业分拆为规模更小的企业可以提高其总利润。
这是因为：对于一个处于规模报酬递减的企业，其生产函数满足()()f tx tf x <，其中1t >。
该企业的利润为：()()()0max x p w pf x wx pf x wx π**≥=-=-，，其中*x 是最优要素投入量。
若把该企业分成两个规模相等的小企业，则这两个小企业的总利润为：()1222x pf wx pf x wx ****⎡⎤⎛⎫->-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 分拆后的总利润大于原来一个企业的利润，所以通过把一个企业分拆为规模更小的企业有利于提高其利润，而且分拆后的规模越小，则这些小企业的总利润就越高（比如在本题中，把企业分拆后的两个小企业再次按同样的方法分拆）。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-信息(圣才出品)
第25章信息1．考虑隐蔽行动委托—代理问题，并令1f u -=。
假设()u s 是增且凹的，证明f 是一递增的凸函数。
Consider the hidden action principal-agent problem described in the text and let 1f u -=.Assume that ()u s is increasing and concave,show that f is an increasing,convex function.证明：由于1f u -=，其中，f 是指代理人要使自己的效用达到()u s 而必须得到的支付。
所以有：()()f u s s≡将上式进行微分得：()()1f u u s ''=由于()0u s '>，则必有()0f u '>，即()f u 是单增的。
再将上式进行微分，得到：()()()()20f u u s f u u s '''⎡⎤⎣''+⎦'=（1）由上面内容可知()0f u '>，又因为()u s 是单增的凸函数，所以()()00u s u s '''> <，，利用这些条件和等式（1）式可知：()0f u ''>即()f u 是凸函数。
2．当行动a 和b 的成本分别为a c 和b c 时，令委托人运用最优激励方案所得的效用为()a b V c c ，。
根据出现在基本条件中的参数的表达式来推导/b V c ∂∂和/a V c ∂∂，并运用这些表达式解释那些参数。
Let ()a b V c c ，be the utility received by the principal using the optimal incentive scheme when the costs of actions a and b are a c and b c ,respectively.Derive an expression for /b V c ∂∂and /a V c ∂∂in terms of the parameters appearing in the fundamental condition,and use these expressions to interpret those parameters.答：隐蔽行动的委托代理问题为：这个问题的拉格朗日函数为：根据包络定理得到：下面来解释这两个式子。
范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)课后习题详解-(利润最大化)【圣才出品】
第20章 利润最大化1．在短期内，如果不变生产要素的价格提高，利润会发生什么变化？答：在短期内，如果不变生产要素的价格提高，利润会降低。
理由如下： 厂商利润0max (,)()max (,)x x pf x z wx rz pf x z wx rz π≥≥=-+⎡⎤=--⎣⎦其中r 和z 分别是固定要素的数量和价格。
特别地，短期内z 固定不变，所以r 和z 会以参数的形式出现在利润的表达式中。
所以，r 的提高会引起利润的下降。
2．如果一家厂商处处都显示规模报酬递增，那么，在价格保持不变并且经营规模扩大一倍的情况下，它的利润会发生什么变化？答：它的利润会扩大到原来的两倍以上。
这是因为：对于一个处处规模报酬递增的企业，其生产函数满足f （tx ）＞tf （x ），其中t ＞1。
对任意的产量x ，其利润为0max ()x pf x wx π≥=-所以当企业生产规模扩大一倍后，其利润为：00max (2)22max ()x x pf x wx pf x wx π≥≥⎡⎤=->-⎣⎦ 因此，其利润是原来的两倍以上。
3．如果一家厂商在各种产出水平上都显示规模报酬递减，那么，把它分拆为两家规模相等的较小厂商，它的总利润会发生什么变化？答：通过把一个企业分拆为规模更小的企业可以提高其总利润。
这是因为：对于一个处于规模报酬递减的企业，其生产函数满足f （tx ）＜tf （x ），其中t ＞1。
该企业的利润为：**(,)max ()()x p w pf x wx pf x wx π≥=-=- 其中x *是最优要素投入量。
若把该企业分成两个规模相等的小企业，则这两个小企业的总利润为：2[pf （x */2）－0.5wx *]＞pf （x *）－wx *分拆后的总利润大于原来一个企业的利润，所以通过把一个企业分拆为规模更小的企业有利于提高其利润，而且分拆后的规模越小，则这些小企业的总利润就越高（比如在本题中，把企业分拆后的两个小企业再次按同样的方法分拆）。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-利润函数(圣才出品)
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将供给函数和投入需求函数代入目标函数，得利润函数：
其中， r / 1 。
若 a 1 ，一阶条件简化为 p ，任何 x 值的生产都是利润最大化的选择。
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当 a 1 时，条件要素需求函数为： 将条件要素需求函数代人生产函数，得：
所以利润函数为：
2．设某一厂商的生产函数是： 其中 1 ， 0 1。求厂商的供给函数、要素需求函数和利润函数。 解：求解利润最大化问题的拉格朗日方程：
f x 具有一次齐次性，所以 y f x f x 。又 x, f x Y ，所以 x, y Y 。
3．设 Y 是对应于单一产出生产技术 f x 的生产集。证明 Y 是凸的，当且仅当 f 。
证明：f
是凹的
Y
凸集。设
x,
x
R L 1
，
0,1
，则
x,
f
x
Y
， x,
又 f 是凹函数，所以：
所以：
所以：
即：
故 Y 是凸集。
二、计算题
1．求柯布—道格拉斯生产技术 f x xa （其中 0 a 1 ）相对应的利润函数。
解：此时利润最大化问题为：
一阶条件为： 二阶条件为：
由于 0 a 1 ，二阶条件正好满足，这意味着生产函数是规模收益不变的或是规模收益 递减的。
3．对于不变规模报酬的柯布—道格拉斯技术，设 x2 被固定在 x2 的水平，即生产函数为
范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)题库-利润最大化【圣才出品】
二、单项选择题
1．某竞争性厂商短期生产函数为 f x 305x 2x2 ，其中 x 为可变要素使用量。产品
价格为 2 元/单位，可变要素 x 价格为 10 元/单位。请问厂商最优的要素 x 使用量为多少？ （ ）
A．37 B．15 C．21 D．75 【答案】D
【解析】根据利润最大化的条件 p MPx w 可得：（305－4x）×2＝10，则最优的
13．如果要素组合能使企业的成本最小，那么它一定使该企业的利润最大。（ ） 【答案】F 【解析】生产者要面临的成本最小化的问题是 minc（q），而使利润最大化面临的问
题是 max p qq c q ，显然成本最小化时的产量并不一定是利润最大化时的产量。
14．在总收益等于总成本时，厂商的正常利润为零。（ ） 【答案】F 【解析】在总收益等于总成本时，厂商的经济利润为零。正常利润是指厂商对自己所 提供的企业家才能的报酬。经济利润为 0 时，厂商得到全部的正常利润。
7．与消费理论对应，厂商利润最大化下也可能存在“吉芬要素”，这类要素价格下降 反而引起对其需求的下降。（ ）
【答案】F 【解析】根据利润最大化行为弱公理可知，竞争性厂商的供给量是产品价格的增函数，
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台
每种要素的需求函数是该要素价格的减函数。因此在利润最大化条件下，不存在“吉芬要
10．根据西方经济学的解释，当经济利润为零时，企业的可分配利润为零。（ ） 【答案】F 【解析】当经济利润为零时，正常利润大于零。
11．如果某个厂商的生产模式是盈利的，那么该厂商就可以无限地对其生产模式进行 复制，充分利用规模经济效应。（ ）
【答案】F
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答：利润最大化问题为：
max pxa wx x
1
一阶条件为：
paxa1
w
0
，得到要素需求函数为： x
w pa
a1
，将要素需求函数代入
目标函数即求得最大化的利润函数为：
a
1
p, w
p
w ap
a 1
w
w ap
a1
下面证明齐次性，注意到对仸意 t 0
1
a
a1
tp, tw
tp
w ap
a1
tw
w ap
t p, w
可见 p, w 是一个一次齐次函数。
在计算海赛矩阵乊前，以下列方式把利润函数分解为：
1 a a
1
1a
p, w p1a wa1 a1a a1a p1a wa1 a
a
1
， 其 中 a a1a a1a 是 严 格 正 的 ，
w2 x2
/
w1x1
对 x1
/
x2
的弹性是
1
1。
Let f x1，x2 be a production function with two factors and let w1 and w2 be
their respective prices. Show that the elasticity of the factor share w2x2 / w1x1 with
wi xi i
f x* q 0
i xi* 0
0, i 0, f x* q 0, xi 0
f x*
这样对仸意的 xi* 0 ，必有 i 0 以及 wi xi 0 ；如果 x*i 0 ，则 i 0 ，从而
f x*
wi xi 0 ；综上可知，对于边界解，成本最优化的必要条件为：
Calculate explicitly the profit function for the technology y xa ，for 0 a 1
and verify that it is homogeneous and convex in p, w .
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解：对于利润最大化，根据库恩-塔克定理可知最优解 x* 必然满足以下三个条件：
f x*
p x j
wj
x*j
0
f x*
p x j
wj 0
x*j 0
这 样 ， 对 仸 意 的
x
* j
0
，必有
wj
/
p
f
x*
/ xj
；如果
x
* j
0
，那么可以断言
f x*
f x*
p xj wj 0 （注意，丌是严格的等号）。否则如果 p xj wj 0 ，那么增加第 j 种要
f x*
wi xi 0 xi* 0
2．证明对表现出觃模报酬递增的技术，只要有一点产生正利润，就丌存在利润最大化 束。
Show that a profit-maximizing bundle will typically not exist for a technology that exhibits increasing returns to scale as long as there is some point that yields a positive profit.
respect to
x1 / x2
is given by
1 1.
f
证明：根据利润最大化可以得到技术替代率为： TRS x1 w1 ，注意到： f w2 x2
ln w2 x2 / w1x1 ln w1 / w2 ln x2 / xn w2 / w1 1 dln TRS 1 1 1 。
0 a 1。
海赛矩阵可以写成：
2 p, w
D2
p,
w
p2
2 p, w
wp
2 p, w
pw
2 p,
w2
w
a
2a 1 a
p 1a wa1
1 a 2
a 1 a
2
a1
p1a wa1
a 1 a
a 1 a 2
2
a1
p1a wa1
1 2a
p1a w a1
a
这一矩阵的主子式为： a
素的投入还会提高厂商的利润，这就和
x
* j
0
是利润最大化的最优解相矛盾。综上可知，对
于边界解，利润最大化的必要条件是：
f x*
p x j
wj 0
x*j 0
厂商的成本最小化问题的库恩—塔克条件为：
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f x*
证明：假设 x 是利润最大化约束，此时有正的利润 x＞0 。由于觃模报酬递增，则有 f tx＞tf x ，对于 t 1，有 tx pf tx twx＞t pf x wx t x ＞ x ，不利润
最大化相矛盾。因此， x 丌可能是利润最大化约束。
3．计算出技术 y xa ,0 a 1的利润函数，并证明它对 p, w 是齐次且凸的。
1 a2
2a1 a
p 1a wa1 a 0 和
0。所以，海赛矩阵是一个正半定矩
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阵，这意味着 p, w 关于 p, w 是凸的。
4．令 f x1，x2 是 两 要 素 生 产 函 数 ， w1 和 w2 是 它 们 各 自 的 价 格 。 证 明 要 素 仹 额
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第 2 章 利润最大化
1．利用库恩-塔克定理求解对边界解也成立的利润最大化或成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for profit maximization and cost minimization that are valid even for boundary solutions, i.e., when some fact is not used.
dln x2 / x1
dln x2 / x1
dln x2 / x1
5．证明要素仹额对 w2／w1 的弹性是1 。 Show that the elasticity of the factor share with respect to w2／w1 is 1 .