原子物理——量子力学初步

•Bohr模型的第三个假设
例2 从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量 量子化条件. 解 两端固定的弦，若其长度等
于波长则可形成稳定的驻波. 将弦弯曲成圆时
2π r
2π r n n 1,2,3,4, h 电子绕核运动德布罗意波长 mv 2π rmv nh
角动量量子化条件
波而是变成非常复杂的形式。
德布罗意波的统计解释
经典的粒子是不被分割的整体，有确定位置和运动轨道。 经典的波为某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化， 波具有相干叠加性。
二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。
1926 年玻恩提出
德布罗意波是概率波 .
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该 处邻近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点
• 轨道的周长为匣子长度的2倍
L r e2 势能 E p 4 0 r
2L
n2 h2 n2 h2 动能 Ek 2 8mL 8 mr 2
2 r 2 L
2πr
n2 h2 e2 总能量 E Ek E p 2 8 mr 4 0 r 2 2 2 2 n h e dE 0 0 即 能量的最小值满足 3 2 dr 8 mr 4 0 r rmin e2 1 h2 ( ) a1 2 4 0 4 m Emin
(r , t ) 0 cos(k r t )
其中
2P p k h
h 2
为普朗克常数或 约化普朗克常数
用复数表示
i ( k r t ) (r , t ) 0 e
用量子力学参量表示
(r , t ) 0 e
量子力学建立的背景
光的量子性 原子中的量子态
■光谱实验 ■Bohr理论 ■Franck—Hertz实验
◎黑体辐射
◎光电效应 ◎康普顿散射
至此形成的理论体系称之为“旧量子论”，可以解释一些 经典理论无法解释的实验现象和光谱。
§2-1 实物粒子的波动性 • 一. 德布罗意物质波
• 1923年，德布罗意将Einstein的光量子 概念推广，提出了物质波的概念。 • 思想方法：自然界在许多方面都是明显 地对称的，他采用类比的方法提出物质
3.电子的干涉
• 1950s，德国Tübingen大学的Gottfried Möllenstedt
等利用 “电子双棱镜”首先观察到了电子的干涉
能否发生干涉和衍射现象， 是波动性最好的证明！
约恩逊(Claus Jö nsson)实验（1961年）
• 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
缝宽a 0.3μ m
中子的波长约为1.8埃。 宏观物理对象是其107倍以上。 对于5000埃的光，每个光子的能量
hv h
不明显。
c

2.5eV 4 10
19
J
宏观物理所涉及的辐射能量是焦耳量级，所以光的粒子性
• 由爱因斯坦和德布罗意公式：
E h
h p
由于自由粒子的波长不变，它可以用一个平面单色波来表示，即
i ( Pr Et ) 其中
P k
E
用量子力学参量表示
(r , t ) 0 e
其中
i ( Pr Et )
自由粒子 的波函数
P k
E
物理意义： 它表示一个振幅恒定，在时间和空间上无限延展的波。
通常情况下，粒子会受到外力的作用，其不再是平面单色
1 e2 2 mc 2 ( ) 2 2 13.6eV 2 4 0 c
这就是氢原子的基态能量
能量最小时对应的轨道半径 也就是玻尔第一轨道半径。
上述例证可见，由物质的波粒二象性，可以很自然 得到量子化的结论，所以波粒二象性是量子力学理论 的基础！ • 波粒二象性是建立在物理实验、特别是光学实验的 基础之上的。 • 从波粒二象性出发，可以自然得到物质的量子态 不确定关系、态叠加原理、 薛定谔方程，…… • 因此可认为，光学是经典物理学向近代物理学（包 括量子论和相对论）过渡和发展的纽带和桥梁。
波的假设 .
• 所有的波都具有粒子性 • 所有的粒子都具有波动性 不能将物质的运动和波的传播分开。
Prince Louis-victor de Broglie 1892-1987 1929年获诺贝尔物理学奖
• 光的粒子性表现在光与物质的相互作用方面，波长 越短(或与障碍物或“孔”的线度可比拟时)，光的
三、量子态—波粒二象性的必然结果
• 1、轨道角动量的量子化
• 原子中的电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消
失，则必须以驻波的形式存在于电子的轨道上。
• 否则，会由于波的相干叠加而消失
• 形成驻波的条件：轨道周长是电子波长的整数倍，只有这
样才能使波的起点和终点具有相同的相位，于是
h h 2 r n n n p m
子同时到达接收装置上
• 因而不存在干涉是两个电子相互 作用的结果 2002，9《物理世界》“最美丽的 十大物理实验”
• 如果让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，
经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。
• 而此时电子之间没有干涉
• 所以干涉不是两个电子间相互作用的结果
• 而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这 种特性是由电子与双缝所决定的 • 这种分布特性可以用几率描述 • 电子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或 光子出现几率小的地方，强度较弱。
例 在一束电子中，电子的动能为 200eV ，求此 电子的德布罗意波长 ？ 解
1 v c, Ek m0 v 2 2
v
2 Ek m0
2 200 1.6 1019 1 6 -1 v m s 8 . 4 10 m s 9.11031
0 h 6.63 1034 2 nm 8.67 10 nm 0.8 A c 31 6 m0 9.110 8.4 10
海森伯不确定关系的讨论
• 经典粒子：可以同时有确定的位置、
速度、动量、能量……
其运动是可以用轨迹来描述的。 • 经典波：有确定的波长，但总是在空 间扩展，没有确定的位置 • 波粒二象性：不可能同时具有确定的 位置和动量。如何来确定它们位置、 动量等物理量？
8个电子
2000个
20000个
60000个
270个电子
§2.2 物质波的统计解释和不确定关系
• 一、光的波粒二象性
• 光子能量：E= h
h • 光子 的运动质量： m0 2 c
概念：光在传播时
显现出波性； 在转移能量时显示 两者不会同时出现
• 光子动量 （德布罗意基本公式）： 出粒子性。
E h h p c c
• 粒子性 ：一个光子是一个不可分割的主体 • 波动性： 具有波的特征 — 周期性 、可叠加性 • 光具有波动性和粒子性,它是通过德布罗意基本公式体现的
h p
二、宏观粒子的波动性
• 如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测量物理量的周期 性变化
• 如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量的周期性变化
事故，观测到电子在镍单晶体上的衍射图样。
了解到物质波的概念后，在1927年，他和革末(L.H.Germer) 重做了一次较精确的实验。 他们观测到： 电子从晶体表面的反射，
Clinton Joseph Davisson 1881～1958
呈现出波动的衍射特征
Lester Halbert Germer 1896～1971
电子 动能
1 me v 2 eV 2
h h p 2me eV
反射表面可看成光栅 电子束被镍单晶散射后在空间的角分布
反射表面可看成光栅
晶体中衍射 发生的条件
2. 德布罗意波的实验验证-- 汤姆孙电子衍射实验
(1927年)
G. P. Thomson
多晶金属铂
再次证明了电子具有波动性！
10~40Kev电子
G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
电子束透过多晶铝箔的衍射
D
K
电子双缝衍射图
P
M
U
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜。 三十年后，人们发现不但电子，而且其它一切微粒如中子、质子 中性粒子和分子等都具有衍射现象，这说明这些粒子都具有波动 性！波粒二象性是光子和其它微粒共同具有的特性。这种即是粒 子，又是波的概念是经典物理所无法理解的！
宏观微粒子
p mv (1106 kg)(1106 m/s) 11012 Js/m
h / p 6.631034 Js /(11012 Js/m) 1022 m
宏观物理中，由于普朗克常数非常小所以它在宏观世界里 实物粒子的波动性表现的不明显。
室温下：氦原子的波长约为0.9埃
h L m r n n 2
2、刚性匣子中的粒子
• 粒子被限制在刚性匣子中运动，不
能穿透出来
• 粒子在其中以驻波的形式存在 • 匣子壁是驻波的波节 • 匣子的长度是半波长的整数倍 匣子 长度
粒子 动能
Ln

2
p
h

nh p 2L
束缚粒子的能 量是量子化的
p 2 n2h2 Ek 2m 8mL2
即
h m r n n 2
所以角动量 是量子化的
原子中电子在轨道上的驻波 德布罗意认为，波尔原子模型 中允许的电子轨道，必须是那 些有稳定的驻波轨道，即轨道 的长度必须是波长的整数倍。 由此引出整数而引入量子化规 则。由波长和动量的关系，可 推出波尔的量子化规则。
p mr n
基本数据
缝间距d 1μ m
让电子通过特 制 的金属狭缝
o
V 50kV
0.05 A
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89年日立公司的电子双棱镜实验，单电子干涉实验 2002，9《物理世界》“最美丽的十大物理实验”
• 1989年，日立公司的Akira
Tonomura等人作了更精确的实
验 • 实际测量证明每秒钟只有少于 1000个电子入射到双棱镜中，所 以不可能有两个或两个以上的电
E Ek m0 c 2
2 4 c 2 p 2 E 2 m0 c

hc
2 4 E 2 m0 c

hc Ek ( Ek 2m0c2 )
对于非相对论情况，即粒子的速度远小于光速时，有
h h 2m0 Ek m0
概念：光在传播时显现出波性；
在转移能量时显示出粒子性。
两者不会同时出现！
E h h p c c
作为粒子，光子具有质量
h p
光子的静止质量
h m 2 c
光子的运 动质量
m0 0
在相对论情况下，对能量为E，动量为P和静止质量为m0 粒子有：
E
m0 c 2 1 (v c )
2
h
p
m0v 1 (v c)
2
h p
若以 Ek 表示粒子的动能，有：
例 计算质量 m 0.01kg , 速率 的子弹的德布罗意波长 .
v 300 m s
宏观上很难测 到它的波动性
h 6.631034 2.211034 m mv 0.01 300
二. 德布罗意波的实验验证
1. Davison－Germer实验
1922年，Bell实验室的戴维孙(C.J.Davisson)因为一次偶然
第二章 量子力学的初步介绍
波粒二象性 物质波的统计解释和海森伯不确定原理 薛定谔方程 力学量的平均值、算符表示和本征值 定态薛定谔方程解简例
• 概 念：
物质波；概率波；不确定关系；算符；平均值；势
井；零点能；隧道效应量子数；电偶极跃迁定则；
寿命；能级和谱线宽度。
• 重 点：
基本概念；电子衍射实验；薛定谔方程及其简单应 用实例；氢原子的量子力学求解结果；量子数的含 义；电子的几率分布；能级和光谱；角动量空间取 向量子化。 • 难 点：量子特性的理解。
能量越高，其粒子性就显著，如电离气体、光电效
应、康普顿效应、荧光效应、单光子记录等。
• 光的波动性表现在光的传播、干涉、衍射(是由光
学仪器的线度即障碍物揭示的)以及散射、反射、
折射等方面。波长越长的光其波动性就越显著。
黑体辐射、光电效应和康普顿散射证明了光具有粒子的
特性，粒子性的运动特征可以用动量等物理量来描述。 • 光子具有动量，每个光子的动量为