极限四则运算

§1.5 极限的运算法则

极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理

设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0

lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面

来叙述有关无穷小的运算定理。

定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；

2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；

2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二 极限的四则运算法则

利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理2 如果()0

lim x x f x A →=， ()0

lim x x g x B →= 则()()

()(),()(),

0()

f x f x

g x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且

（1） ()()()()0

lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±????

（2） ()()()()0

lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==????

（3） ()()()()000

lim lim

(0).lim x x

x x x x f x f x A B g x g x B

→→→==≠ 证 1因为()0

lim x x f x A →=， ()0

lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>?>?δε，

当100δ<-

)(ε

<-A x f ，对此ε，02>?δ，当200δ<-

有2

)(ε

<

-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有

ε

ε

ε

=+

<-+-≤-+-=+-+2

2

)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0

。

2）因为0

lim (),lim ()x x x x f x A g x B →→==，由极限与无穷小的关系可以得出

,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）

于是有()()()()()f x g x A

B AB A B αββααβ=++=+++，记αβαβγ++=B A ，

γ则为无穷小，因此 0

lim ()()x x f x g x AB →=。

3）证 设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：

)

()()(ββ

αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明

)

(1

β+B B 有

界（详细过程见书上）)(ββα+-?

B B A B 为无穷小，记为γ，所以

γ+=B

A

x g x f )()(， B

A

x g x f =?)()(lim

。 由该定理可以得到如下推论： 推论： 若0

lim ()x x f x →存在，C 为常数，则

1）0

lim ()lim ();x x x x Cf x C f x →→=

2）[]00lim ()lim ().n

n

x x x x f x f x →→??=????

由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。

例1 证明：0

0lim .n n

x x x x →=

证 因为00lim .x x x x →=由推论000

lim lim .n

n

n

x x x x x x x →→??==????

例2 求22

lim(342)x x x →+-。

()()22

22

2

2

22

2

2

2lim(342)

lim 3lim 4lim 2

3lim 4lim lim 2

32422

18.

x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→ +- =+- =+- =?+?- =解

例3 求极限224

lim

.2

x x x →--+ 解 当2x →-时，分母2x +的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有2x +，且在2x →-的过程中2x ≠-，即20x +≠，于

是可以约去不为零的公因子2x +，因此

22224(2)(2)lim lim lim (2) 4.22

x x x x x x x x x →-→-→--+-==-=-++ 例4 求极限22

134

lim .2

x x x x x →+-+- 解 当1x →时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子1x -，且在1x →的过程中1x ≠，即10x -≠，于是可以约去不为零的公因子2x -，因此

2211134(1)(4)45lim lim lim .2(1)(2)23

x x x x x x x x x x x x x →→→+--++ ===+--++ 例5 求极限23

1

lim

.9

x x x →+- 解 因为2

3

lim(9)0x x →-=，商的极限运算法则不能用，但由于239

lim

0,1x x x →-=+由无穷小和无穷大的关系，有23

1

lim

.9

x x x →+=∞- 例6 求极限434

2672

lim .261

x x x x x →∞-++- 解 当x →∞时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以4x ，则有

4

3

4

42247266726lim lim 3.61

2612

2x x x x x x x x x x

→∞→∞-+-+===+-+- 练习 求极限24

2232

lim .52

x x x x x →∞--+- 一般地，若000,0,a b ≠≠有

1011010110

0(),...lim (),...().

n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b x b x b x b b n m ---→∞-?

++++?==?++++??∞>? 例7

求极限lim x →+∞

解 当x →+∞都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得

lim lim

lim 0.

x x x →+∞

===

例8 求极限sin lim

.x x

x

→∞

解 当x →∞时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当x →∞时，1

x

为无穷小，又sin x 为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以sin 1lim lim sin 0.x x x x x

x →∞→∞== 三 复合函数求极限的法则

定理3（复合函数的极限运算法则）设函数()y f x ?=????是由()y f u =与()u x ?=复合而成，()y f x ?=????在点0x 的某去心邻域内有定义，若0

0lim ()x x x u ?→=，0

lim ()u u f u A →=， 且00δ?>，当000x x δ<-<时，有0()x u ?≠， 则

[]0

lim ()lim ()x x u u f x f u A ?→→==。

证 任给0ε>，由于lim ()u a

f u A →=，根据函数极限定义，存在相应的0η>，

当0u a η<-<时，有

() f u A ε-<

又由于0

lim ()x x x a φ→=，故对上述0η>，存在相应的10δ>，当010 x x δ<-<时，有

() x a φη-<，

取{}01min ,δδδ=，则当00 x x δ<-<时， () x a φη-<与 () 0x a φ-≠同时成立，即0 () x a φη<-<成立，从而有

[] () () f x A f u A φε-=-<，

所以

[]0

lim ()lim ()x x u a

f x f u A φ→→==．

例8 求极限sin

2lim

x x x

π

→。

解 2x u =

，则2x u =，当x π→时，2

u π

→，于是 2

sin

sin 12lim

lim .2x u x

u x u πππ→→

== 练习 求极限(

)

2

lim 1x x e →+。