第十三讲椭圆精品讲义

第十三讲椭圆［知识能否忆起］ 1 •椭圆的定义平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________［小题能否全取］x2 y 21. （教材习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 =1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i |+ |PF 2| 等于() A . 4B . 8C . 6D . 18解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6.C . (— 3,1) U (1,5)D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0,解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0,5 — m ^ m + 3,X22.（教材习题改编）方程53m + m + 3=1表示椭圆, m 的范围是（A . (-3,5)B . (— 5,3)解得一3 v m v 5 且 m ^ 1.223. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k ,若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c ='k — 5,c 4 k — 5 4由C =4,即 =4，解得k = 21.a 5、4+k 54. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在8•则该椭圆的方程是 _________5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2=30°则椭圆的离心率为 ___________ .解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3,所以离心率e = ?c =3.2a 31.椭圆的定义中应注意常数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1, F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在.2 •已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种情形讨论.［考点通关把握］1典题导入解析：c 4 1 丄，•••2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a =•••椭圆的方程为64+4x8= 1.A . - 21B . 2119C .-亦或21D.25或 211y 轴上，若其离心率为2,焦距为又'/b 2= a 2— c 2= 48,4 /曰. 19 5，得 k = — 25；［例1］（山东高考）已知椭圆C:乍+羊=1（a>b>0）的离心率为兰双曲线x2—y2= 1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为)丘+社=1B.x 2+ J 1C.x !+J 1D. x 2 y 2 —+ y = 18 212 616 420 5 ［自主解答］ •••椭圆的离心率为 2，• C 也2-b 2…a = a —23 T ，••a = 2b. 故椭圆方程为x 2+ 4y 2= 4b 2.•••双曲线x 2— y 2= 1的渐近线方程为 x ±y = 0,•••渐近线x ±= 0与椭圆x 2 + 4y 2= 4b 2在第一象限的交点为绎5b ,55a 2= 4b 2 = 20.故椭圆C 的方程为20+y5 = 1.J由题悟法1 •解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题.2 •椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：⑴定标准；⑵设方程；⑶找关系；（4）得方程.3.当椭圆焦点位置不明确时，可设为 m+羊=1（m > 0，n > 0,n ），也可设为 Ax 2+By 2= 1（A >0，B >0，且 A M B ）.>以题试法1. （2012张家界模拟）椭圆4 + y 2= 1的两个焦点为F l ，F 2，过F i 作垂直于x 轴的直线 与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|=（ ）A.2B^23C. ；3 D . 4解析：选A 因为a 2= 4， b 2= 1，所以a = 2， b = 1，+ m 2= 1,解得 m = 1，所以 |PF 1|=舟根据椭圆定义 |PF 1|+ |PF 2|= 2a ，所以 |PF 2|= 2a — |PF 1|=22—1 = 722 2.1典题导入y 2uuir uuur[例2](1)F 1、F 2是椭圆—+ y 2= 1的左右焦点，点 P 在椭圆上运动•则 PF 1 -PF 2的最•由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 52. 5V b X T b =4，/•b 2= 5,即不妨设F 1为左焦点,P 在x 轴上方, 则 F 1( — .'3, 0),设 P( — . 3, m)(m > 0),则(2)(江西高考)椭圆x 2 + y 2= 1(a>b>0)的左、右顶点分别是F 2,若|AF i |, |F i F 2|, |F i B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A ・4B¥ 。

2 D.，5— 2uuir uuur［自主解答］⑴设 P(x , y)，依题意得 F i (— 3, 0), F 2(;‘3, 0), PF i 卩F 2 = (— 3 — 33uuur uuurx)( '3 — x) + y 2= x 2 + y 2— 3=才/ — 2. v0< x 2<4 ,「.一 2 < 4X 2— 2< 1.：PF 1 ・PF 2 的最大值是1.(2)由题意知 |AF i |= a — c , |F i F 2| = 2c , |F i B|= a + c ,且三者成等比数列，则 |F i F 2|2 =AF i | |F i B|, 即卩 4C 2= a 2— c 2, a 2= 5c 2，所以 e 2= 5，故 e^^55.［答案］(1)B (2)B-由题悟法1.求椭圆的离心率实质上是建立a ,b ,c 中任意两者或三者之间的关系，利用e = £或a2.解决与椭圆几何性质有关的问题时： 一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合;是要注意—a < x < a , — b w y < b , 0v e v 1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键 作用.少以题试法x2y2uuuu2. (1)(西工大附中)已知动点P(x,y)在椭圆25+ 16= 1上，若A 点的坐标为(3,0), |AM ,|uuir uuuu uuur=1，且PM , -AM , = 0,则|PM ,|的最小值为 _____________ .x2 y 2a2(2)设F i , F 2分别是椭圆"2+ 2= 1(a >b >0)的左，右焦点，若在直线x = 上存在点P ,a b c使线段PF i 的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ______________uuuu解析：(1)由|AM ,|= 1 , A(3,0)知点M 在以A(3,0)为圆心，1为 uuur uuuu半径的圆上运动，v PM , -AM ,= 0且P 在椭圆上运动，「.PM 丄AM , uuur puu ------ uuuu•••PM 为O A 的切线，连接 PA(如图)，则 |PM ,|= I | PA |2—| AM |2大值是()A2B . 1C . 2A ,B ,左、右焦点分别是 F i 、 e =a 2去整体求解.uuu um uuir TPA |2— 1 ,•••当 |PA ,|min = a — c = 5-3 = 2 时，I PM ,|min =3.⑵设P 弓,y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为2C , y ，则直线F i P 的斜率kF i P = -a + c当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2= 2cy2(b 2— 2C 2M 0)由kF i P kQF 2b 2— 2 C 2法二：设 |AB|= t.因为 |AF 2|= a ，所以 |BF 2|= t — a.由椭圆定义 |BF 1|+|BF 2|= 2a 可知，|BF 1|= 3a — t ,=—1得y 2=孑+ $严2—『> 0，但注意到Cb 2— 2C 2 丰0,故 2C 2— b 2>0,即卩 3C 2— a 2> 0,1a 2即e 2 >3,故可v e v 1.当直线QF 2的斜率不存在时，y = 0, F 2为线段PF 1的中点.由——C=2C 得e = ■/，综上得子e v 1.答案：(1) ,'3⑵彳，11典题导入x 2 y［例3］ (2012安徽高考)如图，F 1 , F 2分别是椭圆 C :孑+器= 1(a>b>0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，/F 1AF 2= 60 °(1)求椭圆C 的离心率；⑵已知△ AF 1B 的面积为40.3，求a , b 的值.1［自主解答］(1)由题意可知，△ AF 1F 2为等边三角形，a = 2c ,所以e = 2. ⑵法一：a 2= 4C 2, b 2= 3C 2,直线AB 的方程为y =—」3(x — C ).8将其代入椭圆方程 3X 2 + 4y 2= 12C 2，得B TC ,53、~3 5 C: 8 16 所以 |AB|=〔 1 + 3 — 0= yc.由 S^\F 1B = 1|AF 1| |A B|sinZF 1AB = |a • 曽c# = ^5^a 2= 40.3,解得 a = 10, b = 5.3再由余弦定理（3a —1）2= a2+12—2atcos 60可得,t= fa.由SMF i B= ~a 8a p3= 2^a2= 40 "3知, 5 2 5 2 5a= 10, b= 5y3-由题悟法1.直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式△的符号来确定：当40时，直线和椭圆相交;当△= 0时，直线和椭圆相切；当A<0时，直线和椭圆相离.2.直线和椭圆相交的弦长公式|AB|=，: 1 + k2 [ X1 + X2 2—4X1X2]1 2 1 + ^2 [ y1 +y2 —4y1y2].3.直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.」以题试法3.(潍坊模拟)已知直线l: y= x+・.6,圆O: x2+ y2= 5,椭圆E：羊+ p= 1(a>b>0) 的离心率e=^，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.3(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值.解: (1)设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离d = 一— = ■, 3, 4=一 5 —3= . 2. 寸1+ 1a = 3 ,由题意知a2= b2+ c2 -^a2= 3, b2= 2.b = . 2,•••椭圆E的方程为£ + = 1.⑵证明：设点P(x o , y o )，过点P 的椭圆E 的切线l o 的方程为y — y o = k(x — x o ), 联立直线l o 与椭圆E 的方程得y = k x — x o + y o , 消去y 得(3 + 2k 2)x 3 + 4k(y o — kx o )x + 2(kx o — y o )4 — 6= 0,.•.△= [4k(y o — kx o )]2 — 4(3+ 2k 2)[2( kx o — y o )2 — 6] = O , 整理得(2 — x 2)k 2 + 2kx o y o —(询一3) = o.设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为k i , k 2,y 2— 3则 k i k 2=— :,2 — x 25一 x o — 3•.•点 P 在圆 O 上,.x o + 前=5,.k i k 2=—~ = — 1. 2 — x o故两条切线的斜率之积为常数-1.A 缴全员必做题x 2y21- (2012海淀模拟)2 VX 6是方程応+6 —m = 1表示椭圆的()m — 2> o , 则有 6— m >o ,. 2v m v 6 且 m ^ 4,m — 2工 6— m ,故2 v m v 6是一& + — = 1表示椭圆的必要不充分条件.m — 2 6 — m32•已知椭圆的长轴长是 8,离心率是4，则此椭圆的标准方程是()A 疋+ y2= 1 B.^ + y2= 1 或远+ 疋=1C •远 + 丄=1 D.^ + 亘=1 或疋+工=1 16 7 16 7 7 16 16 25 16 25 25 163解析：选 B •/ a = 4, e = 4,. c = 3.. b 2= a 2— c 2= 16— 9= 7.A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充要条件D .既不充分与不必要条件解析：选B若壬+m — 2=1表示椭圆,x 2 + 2 = i ，2 2 2 2•••椭圆的标准方程是 話+y 7 = 1或或7 +16=1.v 2 23. (新课标全国卷)设F i , F 2是椭圆E ：孑+ b 2= 1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线v 3a="2上一点，△ F 2PF 1是底角为30 °勺等腰三角形，贝y E 的离心率为()1 2 3 4 A.2B.jC ・4D.53 3解析：选 C 由题意可得 |PF 2|= |F 1F 2|,.・.2 2a — c = 2c ,「・3a = 4c ,：e =-.v2uuur uuuir4. (沈阳二中月考)已知椭圆4+y 2=1的两焦点为F 1,F 2,点M 在椭圆上，MF 1 , MF 2 ,=0，贝y M 到y 轴的距离为()解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是 x 2 + y 2= 3,即y 2 = 3— x 2,代入椭圆方程得 弓+ 3— x 2= 1，解得x 2 = 8则凶=孕，即点M 到y 轴的距433离为3X 2 y 25. (安徽师大附中模拟)已知椭圆孑+器=1(a > b >0)的两顶点为A(a,0), B(0, b),且左焦点为F ,△ FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为().3— 1 5— 1_ 1 +」5 .3+ 1 A .^T B .^^C.^T D .^T解析：选 B 由题意得 a 2+ b 2+ a 2= (a + c)2, 即卩 c 2 + ac — a 2 = 0, 即卩 e 2 + e — 1 = 0,解得e =2.又e >0，故所求的椭圆的离心率为.5 — 16. 一个椭圆中心在原点， 焦点F 1, F 2在x 轴上，P(2, .3)是椭圆上一点，且|PF 1|, IF 1F 2, |PF 2咸等差数列，则椭圆方程为 ()A x2 + y2 = 1 B.汜 + y2= 1 C.x2 + y2= 1 D.疋 + y2= 1 8 6 16 6 8 416 4解析：选A 设椭圆的标准方程为 字+冷=1(a > b > 0).由点(2, . 3)在椭圆上知p +器=c 11•又|PF 1|, |F 1F 2|, |PF 2|成等差数列，贝U |PF 1|+ |PF 2= 2|F 1F 2|,即 2a = 2 2c，又 c 2= a 2a 2—b 2,联立得 a 2= 8, b 2= 6.7. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 2，且椭圆上一点到椭A.2 ,3 ~3~圆的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆G 的方程为 ______________________ .解析：设椭圆方程为 羊+ £= 1(a > b >0),根据椭圆定义知2a = 12,即a = 6,由字中，x2 y 2得c = 3 3, b 2= a 2— c 2= 36- 27= 9,故所求椭圆方程为 亟+ g =「X 2 2&椭圆16 + 4 = 1的两焦点F l , F 2，过F i 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P ,贝U |PF 2|= _________ .b 2 4解析：易得 |PF i |= - = 4= 1•又点 P 在椭圆上，于是有 |PF i |+ |PF 2|= 8, |PF 2|= 8— |PF i |=7.x2v 29. (2012哈尔滨模拟)设F 1, F 2分别是椭圆25 +16 = 1的左，右焦点，P 为椭圆上任一 点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|+ |PF 1|的最大值为 ___________________ .解析：TP 在椭圆上，••• |PF 11 + |PF 2|= 2a = 10 ,•••|PM|+ |PF 1|= |PM|+ 10— |PF 2|= 10+ |PM|— |PF 2|W 10+ |MF 2|= 10+ 5 = 15,当P , M , F 2三点共线时取等号.线I 与椭圆G 交于A , B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(— 3,2).(1)求椭圆G 的方程；(2)求厶PAB 的面积.解：(1)由已知得•解得a = 2 3,a 3又 b 2= a 2— c 2= 4.x 2 y 2所以椭圆G 的方程为—+ : = 1. ⑵设直线I 的方程为y = x + m.y = x + m ,设 A 、B 的坐标分别为(X 1, y”，(x 2, y 2)(X 1<X 2), AB 中点为 E(x °, y °),… x1 +x2 3mm则 X 0= ~2~ =— ~4, y 0= X 0+ m =~.因为AB 是等腰A PAB 的底边，所以PE 丄AB.10.已知椭圆，右焦点为(2 2, 0).斜率为1的直由疋+ v 2= 112 十 4 1得 4X 2+ 6mx + 3m 2— 12= 0.① G :=1(a>b>0)的离心率为此时方程①为 4x 2 + 12x = 0.解得x i =— 3, X 2= 0. 所以 y i =— 1, y 2= 2.所以|AB|= 3 '2.此时，点P( — 3,2)到直线AB: x — y + 2 = 0的距离d19所以A FAB 的面积S = ^ABI •= 2.11.(济南模拟)已知椭圆C :学+ b 2= 1(a >b > 0)的离心率为-3,uuuu UULTF 为椭圆的右焦点，M, N 两点在椭圆C 上，且MF ,=入FN ，(心0), 定点 A(— 4,0).UUUU UUT(1)求证：当 =1时，MN ，丄AF ,；UUUU UUUT 106⑵若当匸1时，有AM , -AN , = 3，求椭圆C 的方程.解：(1)证明：设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), F(c,0), UUUU UULT则 MF ,= (c — X 1，— y 1), FN ,= (X 2 — c , y 2).UUUU UULT当 X= 1 时，MF ,= FN , ,•••— y 1= y 2, X 1 + X 2= 2c.••• M , N 两点在椭圆C 上,• X 1= a 2 1 — b ，X 2= a 2 1 —善, 二 x 1= x 2.若 X 1=— X 2，贝y X 1 + X 2= 0工 2c(舍去)，--X 1 = X 2,UUUU UULT UUUU UULT•- MN , = (0,2y 2), AF ,= (c + 4,0), • MN , -AF ,= 0,UUUU UULT •- MN ，丄 AF ,.⑵当X= 1时，由（1）知X 1= X 2= c ,b 2a ，所以PE 的斜率k =3m-3+3m=-1•解得 m = 2.UUUU • AM b 2=c +4,— ，aUUUT UULT ,AN ,= c + 4 , bf aUUUU• AM , .AN ,= (c + 4)2—b 4 106b 2a,N c ,• -c=, a 3，•-a 3 = |c 2, b 2=弓，代入(*)式得5c 2+ 8c + 16=罟,••• c = 2 或 c =-专(舍去).••• a 2= 6, b 2 = 2,2 2 •椭圆C 的方程为x + y =1. 6 2212.(陕西高考)已知椭圆C i :专+ y 2= 1,椭圆C 2以C i 的长轴为短轴，且与 C l 有相同uuu 的离心率.(1)求椭圆C 2的方程；⑵设0为坐标原点，点A, B 分别在椭圆C 1和C 2上, OB uuu =2 0A ，求直线AB 的方程.解：(1)由已知可设椭圆 C 2的方程为y 2+ X = 1(a>2),a 43\;a — 4 -.?3其离心率为-t"，故=牙，解得a = 4,a故椭圆C 2的方程为£+x4 = 1.uuu uuu(2)法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ), (X B , y B )，由OB = 20A 及(1)知，0, A ,B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为y = kx.x 2将 y = kx 代入 4 + y 2= 1 中，得(1 + 4k 2) x 2 = 4,uuu uuu 又由OB = 2 OA ，得 X B = 4x A ,即 解得k = ±1.故直线AB 的方程为y = x 或y = — x. 法二：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ), (X B , y B ),uuu uuu由OB = 2OA 及(1)知，O , A , B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为y = kx.3 2将y = kx 代入為+予=1中，得(4 + k 2)x 2= 16,所以x B = 164 + k 2所以x A =4 1 + 416 4+ k 216 1 + 4Cuuuu UUUU UUUU交x 轴于N 点，贝y N 点坐标为2，0 ,并设|MF 1，匸2|MO ,|= 2|MF 2 ,|= 2t ,根据勾股定UUUU UUUU UUULT UUUU3tc理可知，I MF 1 ,|4—I NF 1 ,|2= |MF 2，|2— |NF 2，|2，得到 c ^^^t ，而 a =青，则 e =£晋x 2 y 2x 2 y 2、2.(太原模拟)已知椭圆 C 1: a 1+b 2= 1(a1>b 1 >0)和椭圆 C 2： 02+b 2= 1(a2>b 2>0)的焦 点相同且a 1>a 2.给出如下四个结论：①椭圆 C 1和椭圆C 2 一定没有公共点；②a 2— a 2= b 2 — b 2；③鲁〉詈；④01— a 2Vb 1 — b 2•其中，所有正确结论的序号是 ( )A .②③④B .①③④C .①②④D .①②③解析：选C 由已知条件可得a 1— b 2= a 2 — b 2,可得a¥— a 2= b ?— b 2，而a 1 >a 2,可知 两椭圆无公共点，即①正确；又a 1— a 2=b 2— b 2,知②正确；由a 1— b 2= a 2— b 2,可得a 2 +a 1b 1b 2= b 2 + a 2，贝U a 1b 2, a 2b 1的大小关系不确定，匚>匚不正确，即③不正确；丁a 1>b 1> 0,a 2b 2a 2>b 2>0,.•• a 1+ a 2> b 1 + b 2>0,而又由(a 1 + a 2)(a 1 — a 2) = (b 1+ b 2)(b 1— b 2),可得 a 1 — aK b 1 — b 2,即④正确.综上可得，正确的结论序号为①②④x 2 v 22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M , N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P(0, y °),求y 0的取值范围.解：(1)设椭圆C 的半焦距是c.依题意，得c = 1.x 2 将y = kx 代入4 + y 2= 1中,得(1 + 4k 2)/ = 4,所以 41 + 4uuu uuu由 OB = 2OA ,16k 2 1 + 4k 2将x B ,y B 代入16+ X = 1中，得4 + k 2=1，即 4+ k 2= 1 + 4 k 2,1 + 4k 2解得k = ±1.故直线AB 的方程为y = x 或y = — x.B 级重点选輝题1.(长春模拟)以O 为中心，F 1, F 2为两个焦点的椭圆上存在一点uuuuuuuir2|MO ,|= 2|MF 2 ,|,则该椭圆的离心率为()UUULT M ，满足 |MF 1 ,|=A.B.3D.2.5 解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点,F 2为椭圆的右焦点•过点 M 作x 轴的垂线,3. (2012西城模拟)已知椭圆C：孑+器=1(a> b> 0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为1因为椭圆C 的离心率为2, 所以 a = 2c = 2, b 2 = a 2- c 2= 3. 故椭圆C 的方程为x4+3 = i. ⑵当MN 丄x 轴时，显然 y o = 0. 当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y = k(x - 1)(k ^ 0).y = k x — 1 ,消去 y 并整理得(3 + 4k 2)x 2 — 8k 2x + 4(k 2— 3) = 0.设 M(x i , y i ), N(X 2, y 2)，线段 MN 的中点为 Qg y 3),8k 2X l + X 2=.3 + 4k 2点为 F 1(— 1,0)，且点 P(0,1)在 C 1 上.(1)求椭圆C 1的方程；⑵设直线I 同时与椭圆C 1和抛物线C 2： y 2= 4x 相切，求直线I 的方程.所以X 3 =x i + X 24 k 2—3kk ，妒k(X3— 1)=翫.3ki4k 2线段MN 的垂直平分线的方程为 y +2=— k x—374^23+ 4k在上述方程中，令 X = 0,得 y o =k3+ 4k 2134kk 当 k v 0 时，3+ 4k < — 4百;3 厂当 k > 0 时，［+ 4k > 4 .3所以一y 0 v 0 或 0 v y 0< 12.综上，y 0的取值范围是一愛,£ .1. (2012广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 仁xf + y 2_a 2b 21(a>b>0)的左焦12解：⑴根据椭圆的左焦点为 F i (— 1,0)，知a 5 — b 2= 1，又根据点P(0,1)在椭圆上，知bx 2=1，所以a = 2，所以椭圆C i 的方程为—+ y = 1.(2)因为直线I 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线I 的方x 2 1程为 y = kx + m(k z 0)，代入椭圆方程得 y + (kx + m)2= 1，即 2+ k 2 x 2 + 2kmx + m 2— 1 = 0,1由题可知此方程有唯一解，此时△= 4k 2m 2— 4 + k 2 (m 2— 1)= 0，即m 2 = 2k 2 + 1.①k把y = kx + m(k z 0)代入抛物线方程得 ^2— y + m = 0,由题可知此方程有唯一解，此时△=1 — mk = 0, 即卩 mk = 1.②m 2 = 2 k 2+ 1,联立①②得mk = 1,12. (2012湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为 岁的椭圆E 的一 个焦点为圆 C : x 2 + y 2— 4x + 2= 0的圆心.(1)求椭圆E 的方程;1(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为2的直线11, 12，当直线I 1, C 相切时，求P 的坐标.解：(1)由 x 2+ y 2— 4X + 2 = 0 得(x — 2)2+ y 2= 2,故圆 C 的圆心为点(2,0).c 1=1(a>b>0)，其焦距为 2c.由题设知c = 2, e =；= ?.所x2y以a = 2c = 4, b 2= a 2— c 2= 12.故椭圆E 的方程为 亦+左=1.(2)设点P 的坐标为(X 0,y 0), I 1, I 2的斜率分别为k 1,k 2，贝U I 1, I 2的方程分别为I 1: y口152一 |2k 1 + y 0— k 1X 0| 厂 一 2 2由 l 1 与圆 C : (x — 2)2+ y 2 = 2 相切得 =1 2,即[(2 — X 0)2— 2]k 1+ 2(2 —X 0)y °k 1\k 2+ 1解得所以V 或m = 2,k =-孑, m =—2,所以直线I 的方程为y =_22x + , 2或 y =—-^x - . 2.I 2都与圆2 2从而可设椭圆E 的方程为乍+活—y0= k1(x—X0), I2：y—y0= k2(x—X0), 且k1k2=+ y 0— 2 = 0.同理可得[(2 — x o )2— 2]k 2+ 2(2 — x o )y o k 2 + y 0— 2 = 0.从而 k i , k 2 是方程[(2 — x o )2 — 2]k 2 + 2(2 — x o )y o k + y 0 — 2= 0 的两个实根，于是2— x o 2— 2工 0,①△= 8[ 2 — x o 2 + y 0 — 2]>0 ,22x oy o ’ + = 1 16 12且k l k 2=金： 2 — x o 2 — 2 12.y 2— 212 — x o 2— 2=2，得 5x 2— 8x o — 36 =0.解得 x o = — 2 或 x o = ~.18x/57由x o =— 2得y o = ±3 ;由x o =—得y o = ± 5，它们均满足①式. 故点P 的坐标为(—2,3)，或(—2,— 3)，或 字，晋 或虫—姮 或 5， 5 . 3. (2012河南模拟)已知中心在原点 .2, -2 . (1) 求椭圆的方程； (2) 设不过原点O 的直线I 与该椭圆交于 次成等比数列，求△ OPQ 面积的取值范围. 3O ,焦点在 x 轴上，离心率为~f 的椭圆过点 P , Q 两点，满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依 解：(1)由题意可设椭圆方程为 a 2 + £ = 1(a > b > 0),W 2-b 2 =込 则 a 2 '2 丄 ， a 2 +2b 2= 1，a = 2,故b = 1.所以椭圆的方程为 4 + y 2= 1.(2)由题意可知，直线I 的斜率存在且不为 0,故可设直线 I 的方程为 y = kx + m(m ^0), P(x i , y i ), Q(x 2, y 2),y = kx + m ,由 x2消去 y 得(1 + 4k 2)x 2+ 8kmx + 4(m 2- 1) = 0,才 + y 2=1，则△= 64k 2m 2-16(1 + 4k 2)(m 2- 1) = 16(4k 2- m 2 + 1) > 0,—8km4 m 2- 1 且 X 1+ X 2=, X 1X 2=.1 + 4k 21 + 4k 2因为直线OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列, 又 y 1y 2= (kx 1 + m)(kx 2+ m)= k 2X 1X 2+ km(X 1 + x 2)+ m 2,即-伙 m + m 2= 0,又 m z 0，所以 k 2= 4 即 k =£1 + 4k 24 2设点O 到直线I 的距离为d ,又0 v m 2v 2且m 2z 1,所以S ZOPQ 的取值范围为(0,1).1所以 y y 2X 1 X 2由于直线OP , OQ 的斜率存在，且△>0,得 0v m 2v 2 且 m 2z 1.则 S ZOPQ = 2d|PQ|=2 ：, 1 + k 2m 2 2 - m 2k 2X 1X 2+ km X 1 + X 2 + m 21X21亦1 —。