第十三讲椭圆精品讲义

第十三讲椭圆

［知识能否忆起］ 1 •椭圆的定义

平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________

［小题能否全取］

x

2 y 2

1. （教材

习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 =

1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i |

+ |PF 2| 等于(

) A . 4

B . 8

C . 6

D . 18

解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6.

C . (— 3,1) U (1,5)

D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0,

解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0,

5 — m ^ m + 3,

X

2

2.（教材习题改编）方程53m + m + 3

=1表示椭圆, m 的范围是（

A . (-3,5)

B . (— 5,3)

解得一3 v m v 5 且 m ^ 1.

2

2

3. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（

解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k ,

若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c =

'k — 5,

c 4 k — 5 4

由C =4,即 =4，解得k = 21.

a 5

、4+k 5

4. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在

8•则该椭圆的方程是 _________

5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2

=30°则椭圆的离心率为 ___________ .

解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得

sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3,

所以离心率e = ?c =

3

.

2a 3

1.

椭圆的定义中应注意常

数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点

F 1, F 2的距离之和等

于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在.

2 •已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种

情形讨论.

［考点通关把握］

1典题导入

解

析：

c 4 1 丄，

•••2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a =

•••椭圆的方程为64+4x8= 1.

A . - 21

B . 21

19

C .-亦或21

D.25或 21

1

y 轴上，若其离心率为2,焦距为

又'/b 2= a 2— c 2= 48,

4 /曰. 19 5，得 k = — 25；

［例1］（山东高考）已知椭圆C:乍+羊=1（a>b>0）的离心率为兰双曲线x2—y2= 1的渐

近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为

16,则椭圆C 的方程为

)

丘+社=1

B.x 2

+ J 1

C.x !+J 1

D. x 2 y 2 —+ y = 1

8 2

12 6

16 4

20 5 ［自主解答］ •••椭圆的离心率

为 2，

• C 也2-

b 2

…a = a —

23 T ，

••a = 2b. 故椭圆方程为x 2+ 4y 2= 4b 2

.

•••双曲线x 2— y 2= 1的渐近线方程为 x ±y = 0,

•••渐近线x ±= 0与椭圆x 2 + 4y 2= 4b 2在第一象限的交点为

绎5b ,

5

5

a 2= 4

b 2 = 20.

故椭圆C 的方程为20+y5 = 1.

J

由题悟法

1 •解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题.

2 •椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：

⑴定标准；⑵设方程；⑶找关系；（4）得方程.

3.当椭圆焦点位置不明确时，可设为 m

+

羊=1（m > 0，n > 0,

n ），也可设为 Ax 2+

By 2= 1（A >0，B >0，且 A M B ）.

>以题试法

1. （2012张家界模拟）椭圆4 + y 2= 1的两个焦点为F l ，F 2，过F i 作垂直于x 轴的直线 与椭圆

相交，一个交点为

P ，则|PF 2|=（ ）

A.2

B^23

C. ；3 D . 4

解析：选A 因为a 2= 4， b 2= 1，所以a = 2， b = 1，

+ m 2= 1,解得 m = 1，所以 |PF 1|=舟根据椭圆定义 |PF 1|+ |PF 2|= 2a ，所以 |PF 2|= 2a — |PF 1|=

2

2—

1 = 7

2

2 2.

1典题导入

y 2

uuir uuur

[例2](1)F 1、F 2是椭圆—+ y 2= 1的左右焦点，点 P 在椭圆上运动•则 PF 1 -PF 2的最

•由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为

2 5

2. 5

V b X T b =

4，

/•b 2= 5,即

不妨设F 1为左焦点,

P 在x 轴上方, 则 F 1( — .'3, 0),设 P( — . 3, m)(m > 0),则