圆的方程;空间两点的距离公式

知识分析：
（一）圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
2.圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为 。
说明：
（1）上式称为圆的标准方程。
（2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是 。
（3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即 圆心为（a，b），半径为r。
C.点P在直线l上，也在圆M上D.点P既不在直线l上，也不在圆M上
5、设M是圆 上的点，则M到直线 的最小距离是（）
A.9B.8C.5D.2
6、方程 表示圆，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7、过点P（3，0）能有多少条直线与圆 相切（）
A.0条B.1条C.2条D.1条或2条
8、直线 被圆 截得的弦长等于（）
解析：设所求的圆的方程为
将A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三点的坐标代入圆的方程
得
解得
圆的方程为：
点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。
例5.已知圆 ，定点P（4，0），问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：
（1）相切；
（2）相交；
2.直线和圆的位置关系的判断和应用；两圆位置关系的判断。
3.空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标；空间两点距离公式。
难点：
1.圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。
2.通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系；通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。
3.确定点在空间直角坐标系中的坐标；空间距离公式的推导。
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
圆的方程；空间两点的距离公式
教学目的：
1.理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径；能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。
2.能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系；能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。
；
3.几种特殊位置的圆的方程
（二）圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
①
将①配方得：
②
当 时，方程①表示以（ ）为圆心，以 为半径的圆；
当 时，方程①只有实数解 ，所以表示一个点（ ）；
当 时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。
故当 时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。
解析：设圆C的方程为
又圆C与y轴相切得 ①
又圆心在直线 上， ②
圆心C（a，b）到直线 的距离为
由于弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，所以
③
联立①②③解方程组可得
或
故圆C的方程为： 或
点评：利用圆的几何性质，是迅速、准确解出本题的关键。
例4.求过点A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）的圆的方程。
xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；
yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；
x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
2.两圆相交问题
（1）过两已知圆 的交点的圆系方程，
即
当 时，变为 ，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。
（2）过直线与圆交点的圆系方程
设直线 与 相交，则方程 表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程。
5.卦限
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。
在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y、z均为正数。
说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。
2.圆的切线方程
（1）过圆 上一点 的切线方程是 ；
（2）过圆 上一点 的切线方程是
；
（3）过圆 上一点 的切线方程是
3.直线与圆的位置关系中的三个基本问题
（1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。
（2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为
（4）确定圆的条件
由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。
（5）点与圆的位置关系的判定
若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即
；
若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即
A. B.2C. D.
9、直线 被圆 所截得线段的中点坐标是（）
A. B.（0，0）C. D.
10、若圆 和圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是（）
A. B.
C. D.
11、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程是____________________
12、过点（0，0），（1，0），（0，2）的圆的方程是__________________________
3.掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标；掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
二.重点、难点
重点：
1.圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程；圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。
C和l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解
于是
解得
法二：方程 表示斜率为1的平行直线系；方程 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l通过A（－1，0），B（0，1）时，l与C有两交点，此时b＝1，记为 ；当 与半圆相切时，切线记为 ；当l夹在 与 之间时，l和C有两个不同公共点。因此 。
A.（－2，3，－1）B.（－2，－3，－1）
C.（2，－3，－1）D.（－2，3，1）
3、设点B是点A（2，－3，5）关于xOy面的对称点，则|AB|等于（）
A.10B. C. D.38
4、设有圆M： ，直线 ，点P（2，1），那么（）
A.点P在直线l上，但不在圆M上B.点P不在直线l上，但在圆M上
；
若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为 ，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。
（3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为
（四）圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系问题
判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：
设所求圆的圆心坐标为C（a，b），则有
解得
所以C（2，1），
所求圆的方程为
点评：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法，其中，选标准是根据已知条件选恰当的方程的形式，进而确定其中三个参数。
例3.已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为 ，求圆C的方程。
（六）空间两点的距离公式
空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距离公式是
特别的，点A（x，y，z）到原点的距离为
【典型例题】
例1.求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4），半径是 ；
（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）；
（4）圆心在直线5x－3y＝8上，又圆与坐标轴相切，求此圆方程；
研究直线与圆的位置关系有两种方法：
（l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。
d>r 直线与圆相离；d＝r 直线与圆相切；0≤d<r 直线与圆相交。
（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。
△＜0 直线与圆相离；△＝0 直线与圆相切；△＞0 直线与圆相交。
（5）圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点（2，－1）。
解析：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）设所求圆的方程为
因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ，
又圆心在直线 上，所以 ，
解方程组 ，得：
所以圆心坐标为（4，4），或（1，－1）
于是可得半径 ，
故所求圆的方程为 或 。
（5）设圆心为（a,－2a）由题意，圆与直线 相切于点（2，－1），得
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1） 和 的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程 表示圆的必要条件，但不是充分条件。
要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。
（三）直线和圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
点评：（1）曲线C不是一个完整的圆，是半圆；（2）数形结合思想的应用。