知识总结椭圆最值问题

专 题:椭 圆 最 值

类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）

1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。 {2

2} 2. 21F F 、为椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠9021PF F 求离心率e 的取值范围。 （思考：将角度改成150） {⎪⎪⎭

⎫⎢⎣⎡122，} 3. 若B A ,为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。 {13

6<≤e }

类型2：一动点两定点最值

①||1||MF e

MP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破 ②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆1342

2

=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，

则点M 的坐标为 （思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26

(

,1)3 2. 已知112

16,)3,2(2

2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。

3 点M 为椭圆1162522=+y x 的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||3

5||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AM MM MA MF e

MA =+=+ 第二定义） 4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22

: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值 5. P(-2,3),F 2为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值 （提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ ( 第一定义法 ） 最大值12，最小值8

6. P(-2,6),F 2为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。 最大值10+37，最小值61

7.是双曲线

＝1的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，P 为双曲线右支上的一点，求：（1）

的最小值；（2）的最小值。 （1）8（2）11/2

类型3：点到线最值---------参数法

1、求椭圆1422

=+y x 上点M(x,y)到直线l ：x+2y=4的距离的最值。 {5

10254+，510254-}

2. 椭圆227428x y +=上的点到直线:32160l x y --=的距离最短. 101324

3. 椭圆22

1164

x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离及相应坐标. 10 )2,22(--

类型4：面积最值(组合式)---------参数法 1. 椭圆12

22

=+y x 的内接矩形面积的最大值. 22 2. 点P 在椭圆22

12516

x y +=上运动，则x y ⋅的最大值。 10 3. 椭圆122

22=+b

y a x 与x 轴、y 轴正方向相交于A 、B 两点，在椭圆的劣弧AB （第一象限内）上取一点C ，使四边形OACB 的面积最大，求最大面积。

4．设(,)P x y 是椭圆22

16436

x y +=上一点,那么22x y -的最大值是 .22x y +的最大值是 最小值是 。 20, 36, 64

类型5：分式最值---------斜率法

1、 若点(,)x y 在椭圆22

44x y +=上,求12y x --最大值为_____ _，最小值为___ __.3132+,3

132- 2、若点(,)x y 在椭圆11422=+y x 上,求3-x y 最大值为_____ _，最小值为___ __. 0

类型6：点到点最值---------二次函数法

1、求定点A(2,0)到椭圆19

162

2=+y x )上的点之间的最短距离。 2