第六章空间析几何学
空间解析几何
空间解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它研究几何问题的代数方法。
解析几何的核心思想是将几何问题转化为代数问题，从而利用代数技巧来解决几何问题。
解析几何的发展可以追溯到17世纪，当时法国数学家笛卡尔首先提出了用代数方法研究几何问题的思想。
他引入了坐标系的概念，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一思想开创了解析几何的研究方法，也为后来的数学发展提供了重要的启示。
在解析几何中，我们将平面上的点用有序数对表示，这个有序数对叫做一个点的坐标，一般用$(x, y)$表示。
同样地，在三维空间中，我们用有序数对$(x, y, z)$表示点的坐标。
通过坐标系的引入，我们可以将点的位置和运动用代数方法描述出来。
解析几何的一个重要概念是向量。
向量可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
在解析几何中，向量用有序数组表示，例如$(x, y)$表示一个平面向量，$(x, y, z)$表示一个空间向量。
两个向量的加法、减法、数乘等运算可以通过其坐标进行计算，这为解析几何提供了更为便利的计算方式。
解析几何的另一个重要概念是直线和曲线。
通过代数方程，我们可以表示出平面上的直线和曲线的方程。
例如，一条直线可以用$ax + by + c = 0$表示，其中$a, b, c$是实数。
同样地，二次曲线可以用$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$表示。
通过代数方程，我们可以研究直线与曲线之间的交点、切线等几何性质。
解析几何的研究对象不仅限于平面和空间中的几何图形，它还涉及到高维空间中的几何问题。
例如，我们可以通过添加更多的坐标向量来研究四维、五维甚至更高维空间中的几何性质。
这为数学家提供了更为广阔的研究空间。
除了以上的基本概念和方法外，解析几何还有许多具体的应用。
例如，在物理学中，许多物理问题可以通过解析几何来建立模型和求解。
在工程学中，解析几何可以帮助工程师设计建筑、道路等工程结构。
在计算机图形学中，解析几何为计算机生成的图像提供了基础。
向量代数与空间解析几何
第六章.向量代数与空间解析几何本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。
向量。
向量可以说是几何的最为基本的概念。
因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。
由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。
我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。
基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。
首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。
注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。
在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。
空间直角坐标系以及向量代数。
在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
高等数学中的空间解析几何
空间解析几何是高等数学中的一个重要分支，也是数学与物理学相结合的一门学科。
它主要研究的是点、线、面及其在空间中的位置关系、运动规律以及与其相关的数学方法与技巧。
空间解析几何的研究内容非常广泛，与物理学的研究方法密切相关，因此对于现代理论物理学的研究也有着重要的意义。
空间解析几何的研究对象有三维空间（3D）中的点、线、面等几何对象。
在坐标系下，我们通常使用直角坐标系或者柱坐标系来描述几何对象在空间中的位置。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们构成了一个空间直角坐标系。
点在空间中的位置可以通过它相对于这三个坐标轴的坐标来确定，如点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
类似地，线和面也可以通过它们在坐标系中的方程来描述和表达。
在空间解析几何中，点的位置关系和运动规律是最基本的研究对象。
两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)之间的距离可以通过勾股定理来求解，即d =√((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
这一公式可以推广到若干个点之间的距离计算。
此外，我们还可以根据两点之间的距离公式来证明向量之间的线性运算、角度的计算等。
线和面是空间解析几何中的另外两个重要研究对象。
我们可以通过线的参数方程、对称式方程或者一般式方程来描述一条直线在空间中的位置。
例如，直线上的一点P可以表示为P(x,y,z) = A + λ(B - A)，其中A和B是直线上的两个点，λ为参数。
通过参数方程，我们可以很方便地计算直线上的任意一点的坐标。
同样，平面也可以通过截距式方程、一般式方程等来描述和表达。
例如，平面上的一点P可以由方程Ax + By + Cz + D = 0来表示，其中A、B、C和D为常数。
通过平面的方程，我们可以推导出平面上的点之间的距离公式，以及平面与直线相交的条件等。
空间解析几何不仅有着数学上的重要性，还在现代物理学中有着广泛的应用。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何的基本概念空间解析几何作为数学中的一个重要分支，是研究空间内点、直线、平面和其他几何体之间的关系和性质的学科。
它在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍空间解析几何的基本概念，包括点、直线、平面、坐标、距离和角度等内容，以帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、点的表示与性质在空间解析几何中，点是空间中最基本的概念之一。
点可以用坐标来表示，常用的表示方法是笛卡尔坐标系。
在三维笛卡尔坐标系中，点的坐标可以用三个实数x、y、z来表示，分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影值。
点在空间中没有大小，只有位置，所以点之间的距离为0。
二、直线的表示与性质直线是由无数个点组成的集合，它是空间中最基本的几何对象之一。
直线可以用向量、参数方程和一般方程等形式来表示。
其中，向量表示方法常用于表示直线的方向，参数方程则可以表示直线上的任意一点。
直线还有许多性质，如直线的斜率、倾斜角和与坐标轴的交点等，这些性质在解决问题中有重要应用。
三、平面的表示与性质平面是由无数个点组成的集合，它比直线更复杂一些。
平面可以用点法式方程、一般方程和参数方程等形式来表示。
在点法式方程中，平面可以由一个点和一个法向量确定。
而在一般方程和参数方程中，平面可以分别用一般式和参数式表示。
平面与直线相交、平行或重合等情况，也是空间解析几何中需要掌握的内容。
四、坐标与距离在空间解析几何中，坐标是表示点在空间中位置的一种方法。
常用的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。
在笛卡尔坐标系中，点的位置可以用三个坐标值来表示。
而在极坐标系中，点的位置可以用径向距离和极角来表示。
距离是两个点之间的直线距离，可以通过两点坐标的差值和勾股定理来计算。
五、角度与方向角度是空间解析几何中非常重要的概念之一，它涉及到直线、平面和曲线等几何对象之间的夹角关系。
角度可以用弧度制表示，也可以用度数制表示。
在求解夹角时，常用的方法有向量夹角公式和点之间的夹角公式。
方向则是指直线或矢量的朝向，可以用方向角来表示。
空间解析几何的基本概念和性质
空间解析几何的基本概念和性质空间解析几何是研究空间中点、直线、平面等的位置关系、性质和运算的数学分支。
它是解析几何的一种拓展，通过使用点的坐标和向量的方法来描述和研究空间中的几何问题。
在空间解析几何中，点在坐标空间中由坐标值表示，而直线则可用两点确定，平面则可用三点或法向量确定。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和性质，让我们一起来深入了解。
1. 空间中点的坐标表示在三维空间中，点的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
对于任意一个点P(x1, y1, z1)，我们可以通过坐标值来确定它在空间中的位置。
2. 空间中直线的表示与性质直线是空间解析几何中常见的基本图形之一。
在空间中，直线可以通过两点确定，假设我们有两个不同的点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么点A和B之间的直线可以表示为AB。
性质：直线的长度可以通过两点间的距离公式计算得出，即√((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
此外，两条直线的相交关系可以通过它们的方程进行判断，若方程组有解，则两直线相交；若无解且方程组不平行，则两直线为异面直线；若无解且方程组平行，则两直线平行。
3. 空间中平面的表示与性质平面是由三个不共线点或由一个法向量和过该点的平面确定的。
通过三点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)可以确定一个平面，记作△ABC。
另外，平面还可以通过一个法向量n(xn, yn, zn)和一个过该点的向量表示。
平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D分别为平面的参数，可以通过已知的点或法向量来求得。
性质：两个平面的关系主要包括平行、相交和重合。
两个平行的平面具有相同的法向量；两个相交的平面可以通过求解平面方程组来求得交线；两个重合的平面方程完全相同。
第一、二节 空间直角坐标系
二、向量的几何表述与比较
行，指向相同，称两个向量相等，记为 a b 运算时向量可以平行移动到所需的位置。
如果两个向量 a 和 b 的模相等，方位平
如果两个向量 a 和 b 的模相等，方位平
行，但指向相反，称两向量互为负向量，记 为 a b
两向量共线时也称两向量平行。
a b c a b
c
b c b
a
向量加法适用 ⑴ 交换律
a b b a
(a b ) c a (b c )
⑵ 结合律
向量减法规定
a
b
a b a (b )
以原点 O 为起点，任意一点 P( x, y, z ) 为 终点的向量 r ，称为 P 点的位置向量. 显然，位置向 量与空间点是一一 对应的关系。 用位置向量 r 描 述 P 点的位置与用坐 标 ( x, y, z ) 描述 P 点 的位置是等价的.
r
P( x, y , z )
ˆ, r ) 0 (i
当 时 Ax 0 2
投影是一种线性运算，若向量和 C A B
由图可见对应的投影式为
Cx x3 x1 ( x2 x1 ) ( x3 x2 ) Ax Bx
C
A
B
x1
O
x2
x3
x
五、空间直角坐标系中的向量
在直角坐标系 Oxyz 中，设向量 A 的模 为 A ，三个方向角是 、 、 ，则
从上述向量加法的平行四边形法则可以派 生出向量加法的三角形法则及多边形法则。
b
c a b
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
空间解析几何基本概念与性质
空间解析几何基本概念与性质空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究空间中的点、直线、平面等几何元素之间的关系和性质。
在解析几何中，我们通过坐标系来描述和分析几何问题，这使得几何问题可以用代数的方法求解，极大地推动了几何学的发展。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用解析几何。
1. 空间坐标系空间解析几何的基础是空间坐标系。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y、z表示。
其中，x轴和y轴在平面上，z轴垂直于平面向上。
这样，空间中的任意一点都可以用坐标(x, y, z)来表示。
2. 点、直线和平面在空间解析几何中，点是最基本的元素。
点没有大小和方向，只有位置。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，可以延伸到无穷远。
平面是由无数个点和直线组成的，它有无限的宽度和厚度。
3. 点的坐标在空间解析几何中，点可以通过坐标来表示。
点的坐标是一个有序的数对(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
通过点的坐标，我们可以计算两点之间的距离、中点等。
4. 直线的方程直线在空间解析几何中可以用方程来表示。
一般而言，直线的方程可以写成一般式、点向式或者参数方程。
一般式的直线方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
点向式的直线方程为r = a + λb，其中r表示直线上的点，a表示直线上的一点，b表示直线的方向向量，λ为参数。
参数方程的直线方程为x = x0+ λa，y = y0 + λb，z = z0 + λc，其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，λ为参数。
5. 平面的方程平面在空间解析几何中也可以用方程来表示。
平面的方程可以写成一般式、点法式或者截距式。
一般式的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
点法式的平面方程为n · (r - a) = 0，其中n为平面的法向量，r表示平面上的点，a表示平面上的一点。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
高数空间解析几何学空间直角坐标系
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 移 动 1 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )
C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为 空 间 两 点
x1
P1 P 2
x1 2
1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2
y0 2 z3 2
2 2
y
2,
z3
P1 P 2
(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的 坐 标 为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b
空间解析几何的基本概念与性质
空间解析几何的基本概念与性质空间解析几何是数学中的一个重要分支，研究了几何图形在三维空间中的特性与性质。
它以解析方法为基础，运用代数工具对问题进行分析和求解，是数学与几何的结合点。
空间解析几何的基本概念和性质可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
本文将介绍空间解析几何的一些基本概念及其性质。
一、坐标系空间解析几何的基础是坐标系。
我们可以通过坐标系将点在三维空间中的位置表示出来。
一般常用的是直角坐标系，通过x、y、z三个坐标轴来确定点的位置。
每个坐标轴上的单位长度都是相等的，这样可以方便地计算和表示点的位置。
二、直线直线是解析几何研究的重要对象之一。
在三维空间中，直线可以由一点和一个与之不重合、不平行的方向向量确定。
直线上的所有点可以通过参数方程表示。
直线的性质包括长度、方向、夹角等。
三、平面平面是由三个不共线的点或一个点和一个法向量决定的。
平面的性质包括与坐标轴的相交情况、法向量、法向量与坐标轴的夹角等。
四、距离公式在空间解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
根据勾股定理，在直角坐标系下，点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)之间的距离可以使用以下公式表示：AB = √((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)这个距离公式在三维空间中十分常用，可以帮助我们计算两点之间的准确距离。
五、向量运算向量运算是空间解析几何的重要内容之一。
向量的加减法、数乘、点乘、叉乘等运算规则在解析几何中有广泛的应用。
通过向量运算，我们可以求解直线的交点、判断平行和垂直关系、计算面积等。
六、空间几何体的方程在空间解析几何中，我们可以使用方程来表达几何体。
比如，直线可以用一元一次方程进行表示，平面可以用二元一次方程进行表示。
通过方程，我们可以对几何体进行严密的数学分析。
七、投影与夹角投影和夹角是空间解析几何的重要概念之一。
在三维空间中，我们可以通过投影来表示一个几何体在某个方向上的影子。
高中数学复习空间解析几何
高中数学复习空间解析几何高中数学复习：空间解析几何空间解析几何是高中数学中的一个重要部分，涉及到点、直线、平面在空间中的位置关系和运动规律。
通过研究空间解析几何，我们可以更好地理解和应用代数几何中的相关知识，为高考和数学学科的深入学习奠定基础。
本文将系统地介绍空间解析几何的相关内容和重要概念，并提供题目进行巩固练习。
一、空间直角坐标系在空间解析几何中，我们通常使用三维直角坐标系来描述点和几何对象的位置。
三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别表示$x$轴、$y$轴和$z$轴。
点的位置可以用有序三元组$(x, y, z)$来表示，其中$x$、$y$、$z$分别表示点在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的坐标。
在三维直角坐标系中，我们可以轻松确定点之间的距离及其他几何对象之间的位置关系。
二、空间向量空间向量是空间解析几何中的重要概念。
在三维直角坐标系中，我们可以用有向线段来表示空间向量。
空间向量具有模和方向两个重要的属性。
两个向量相等，当且仅当它们的模相等，且方向相同。
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，它们的和向量$\mathbf{a} +\mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相加得到的向量，差向量$\mathbf{a} - \mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相减得到的向量。
三、空间中的点和直线在空间解析几何中，我们可以用向量表示点和直线。
对于点$A$，我们可以通过向量$\overrightarrow{OA}$来表示，其中$O$是空间直角坐标系的原点。
对于直线$l$，我们可以通过一个点$P$和一个平行于$l$的向量$\mathbf{v}$来表示，即$l: \overrightarrow{r} =\overrightarrow{OP} + t\mathbf{v}$，其中$t$为参数。
空间解析几何总结
空间解析几何总结引言空间解析几何是高中数学中的一个重要内容，主要研究平面和直线在空间中的位置关系和相互作用。
通过学习空间解析几何，我们可以对几何问题进行更深入的分析和解决。
本文将对空间解析几何的基本概念、常用方法和应用进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系是空间解析几何的基础，它通过在空间中引入三个互相垂直的坐标轴来描述点的位置。
我们通常将这三个坐标轴分别用x、y和z表示，并将它们的交点作为原点O。
利用空间直角坐标系，我们可以用三个实数（x，y，z）表示空间中的点P。
其中，x称为点P在x轴上的坐标，y称为点P在y轴上的坐标，z称为点P在z轴上的坐标。
二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系中，点P的坐标可以用三个实数（x，y，z）表示。
这个表示方法称为点P的坐标表示。
对于给定的坐标系，它是唯一确定的。
空间点的坐标表示具有以下性质：1.两个点相等的充分必要条件是它们的坐标相等。
2.对于空间中的任意点P，它与原点O之间的距离可以用下式表示：d= √(x² + y² + z²)。
三、空间点的向量表示在空间解析几何中，我们常常使用向量表示空间中的点和线段。
对于空间中的任意两个点A和B，我们可以定义一个有方向的线段AB，并用向量→AB表示。
空间点的向量表示具有以下性质：1.两个点相等的充分必要条件是它们的向量表示相等。
2.空间中任意两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)之间的向量→AB可以表示为→AB = (x₂ - x₁)i + (y₂ - y₁)j + (z₂ - z₁)k。
其中i、j、k分别是x、y、z轴的单位向量。
四、空间直线的方向向量和参数方程空间直线是空间解析几何中的一个重要概念，它是满足一定条件的空间中的点的集合。
在理解空间直线之前，我们需要先了解空间直线的方向向量。
对于空间直线l，设A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)是l上的两个不同点，则向量→AB称为直线l的方向向量。
高等数学B2习(讲稿)例题解答
高等数学（B Ⅱ）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件：例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。
【解】//a b 32164k⇔==，故2k =；⊥a b 362410k ⇔⨯+⨯+⨯=，故26k =- 例2 求与{1,2,3}=a 及=+b i j 都垂直的单位向量。
【解】设{,,}x y z =c 与,a b 都垂直，则2300x y z x y ++=⎧⎨+=⎩ 或 33x zy z=⎧⎨=-⎩故与a 及b 都垂直的单位向量为03,1}===-c c c（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M 的模、方向余弦及方向角。
【解】由于12{34,01}{1,}M M =--=-，则 12(2M M =-=又因为1212111{1,}{,}222M M M M =-=-故方向余弦为 11cos ,cos cos 222αβγ=-=-= 方向角为 23,cos ,cos 343πππαβγ===例2 已知向量a 与b 的夹角为23π，又3,4==a b ，计算(32)(2)-⋅+a b a b 。
【解】22(32)(2)344-⋅+=-+⋅a b a b a b a b22222344cos(,)3344434cos613π=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-a b a b a b 例3 设0++=a b c ，又3,1,2===a b c ，则⋅++=a b bc ca （ ） A. 1 B. 7 C. 1- D.7- 【解】选D. 注意到()()2()++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅++a b c a b c a a b b c c a b bc ca（3）求平面方程的方法：例1 已知平面π与平面204570x y z --+=平行且相距6个单位，求π的方程。
数学初中三年级上册第六章空间几何的认识与运算
数学初中三年级上册第六章空间几何的认识与运算数学是一门抽象而精确的科学，它在我们生活中扮演着重要的角色。
在初中三年级上册的数学课程中，第六章讲授了关于空间几何的认识与运算。
本文将详细介绍这一章节的内容，并对其中的重点进行解析。
一、点、线和面的基本认识在空间几何中，点、线和面是最基本的概念。
点是几何学的基本单位，它没有长度、面积和体积，只具有位置。
线是由一连串的点构成的，具有长度但没有宽度和高度。
而面是由一连串的线构成的，具有长度和宽度但没有高度。
这些基本概念是我们研究空间几何的基础。
二、空间几何图形的表示和运算1. 点的表示：我们可以用大写字母A、B、C等来表示点，通过这些点的组合可以构成不同的线和面。
2. 线的表示：线可以用两个端点来表示，比如用线段AB来表示连接点A和点B的线段。
此外，直线可以用一对平行线段<b>AB//CD</b> 或者用一对垂直线段<b>AB⊥CD</b>来表示。
3. 面的表示：平面可以用三个非共线的点来确定，比如我们可以用三个点A、B、C来表示平面ABC。
在空间几何中，我们还可以进行一些基本的运算。
比如，可以计算两点之间的距离、两线段之间的长度比、两线的交点等等。
通过这些运算，我们可以更加深入地了解空间几何图形的性质和特点。
三、正方体和长方体的认识和计算正方体和长方体是我们在生活中经常遇到的立体图形，它们也是空间几何中的重要内容。
在本章中，我们将学习如何认识和计算正方体和长方体。
1. 正方体的特点：正方体是一个六个面都是正方形的立体图形。
它具有以下特点：六个面相等，每个面都是正方形，相邻面两两平行，相邻面之间的夹角=90°。
2. 正方体的计算：我们可以通过已知正方体的一些参数来计算其他参数。
比如，已知正方体的边长为a，求其体积V和表面积S。
3. 长方体的特点：长方体是一个六个面都是矩形的立体图形。
它具有以下特点：六个面分为三对相对平面，每个面都是矩形，相邻面之间的夹角=90°。
第六章空间向量与空间解析几何简介
Q2
y
图 6-14
2． 向量的坐标表示
❖ 定理2 向量 AB在轴 u上的投影，等于向量的模乘以
轴与向量夹角 的余弦，即
❖
Pr ju AB A1B1 | AB | cos
(6-4)
❖ 证 如图6-16所示，过 A 引轴 u与轴 u平行且有相同
的正方向，那么，AB 与u 轴的夹角也等于 ，且
有Pr ju AB Pr ju AB，
个相同的单位长度，这样的三条坐标轴就构成了一个空间直
角坐标系，记为O-xyz．
❖ 空间两点M1M2之间的距离公式
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
OM x2 y2 z2
z R M
z
R2
R1
R M1
P
M2
Q
N
O
P
x
图 6-13
Qy
O P1 P2
x
Q1
平面，且 a，b，ab 符合右手规则
食指
（图 6-19），从几何上看|ab|等于 b
以 a、b 为邻边的平行四边形的面
a
拇指
图 6-19
积．
向量积满足以下规律和性质：
（1）b a=-a b； （2）结合律：( a)b=a( b)= (ab)； （3）分配律：(a+b) c=a c+b c；
注 向量的减法不适合交换律和结合律．
3． 向量与数的乘法(数乘)
❖ 设 是一个数,a为一向量．向量a与 的乘积a 仍为一向量，我们规定:
❖ 当 0时， a与 a同方向，模|a |= |a |； ❖ 当 0时， a与 a方向相反；|a |=| ||a|； ❖ 当 0时， a是零向量． ❖ 由定义即可得向量的数乘满足以下运算规律： ❖ （1）结合律：(ka) k(a) (k)a
6、数学的转折点——解析几何学的产生
第六章数学的转折点——解析几何学的产生数学中的转折点是笛卡尔的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
——恩格斯6.1解析几何学产生的背景● 6.1.1 数学本身的发展具备了三个条件●初等数学日臻成熟●欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、穆勒的《三角全书》●阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展●印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化●阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展●印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化●数学观和数学方法论的重大变化6.1.2 数学发展的外部条件●17世纪欧洲资本主义幼芽茁壮成长，航海、天文、力学、军事等科学技术，给数学提出了一系列问题：确定地球的经纬度；准确计算炮弹运动轨迹以及研究机械运动特性等，这些问题都难以在常量数学的范围内获得解决，于是促使人们寻求解决变量问题的新的数学方法。
●在数学史上，17世纪是一个开创性的世纪，这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件事：●首先是意大利的伽利略于1638年提出了实验数学方法，其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。
●第二件是笛卡尔的重要著作《方法论》及其附录于1637年发表。
由此产生了一门用代数方法研究几何学的新科学——解析几何学。
●第三件是微积分的建立。
在16世纪之前人们用一种静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是用平面从不同角度截锥体而得到的曲线文艺复兴以来日益受到人们关注的行星绕日运动和抛体运动，要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线，即把曲线看成是物体经运动而生成且随时间的变化而变化着的轨迹用代数方法研究几何问题，产生了一门崭新的数学分支——解析几何把变量引入了数学，从此数学发生了质的变化——由研究常量的初等数学，进入了研究变量的高等数学6.2笛卡尔与他的《几何学》1、笛卡尔于1637年发表著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》），在其著作的附录之一《几何学》中，笛卡尔首次明确地提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。
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第六章空间解析几何学一、内容分析与教学建议（一）空间解析几何是在平面解析几何的基础上，用代数的知识和方法来研究空间的平面、直线、曲面及曲线。
它不仅为二元函数微积分提供必要的几何图形知识，且向量代数也是为学习后继课程不可缺少的工具。
本章的内容相对来说容易接受，教学时间上可补充有关内容，若时间紧张，可适时加快速度，教学方法上，自学、讨论、讲授可结合起来。
（二）向量代数1、应从物理概念引入向量概念，指出向量与数量的区别，使学生从定性到定量的理解并掌握好向量及其运算。
2、从实例引入数量积和向量积的概念，指定这两个概念的不同，并要求给予一定的练习和例题，使学生熟悉这种运算，可简要介绍二、三阶行列式的运算，使学生掌握向量积的公式。
（三）平面和直线的方程形式较多，重点讲述平面的点法式方程和直线的对称式方程，这类问题的关键求平面的法向量和直线的方向数，最后，可适当补充杂例提高学生这方面的解题能力。
（四）类比平面直角坐标系，讲清曲面与方程，空间曲线与方程之关系，一些特殊的曲面（如柱面、旋转面、锥面），必须讲透它们的形式，使学生能从方程识别图形及描绘。
（五）平行截面法中，通过椭球面讲清它的方法，其余可让学生自学等，二次曲面中，主要是要求学生识别它们的方程及绘出其草图。
（六）通过空间曲线在坐标面上的投影，拓广为空间几何体在各个坐标面上投影（可适当补充例题），为以后多元函数微积分奠定基础。
二、补充例题例1 向量d 垂直于向量]1,3,2[ a 和]3,2,1[ b ，且与]1,1,2[ c 的数量积为6 ，求向量d解： d垂直于a 与b，故d平行于b a，存在数 使b a d]1,3,2[ ]3,2,1[]7,7,7[因6 c d，故6)7(1)7()1(72 ， 73]3,3,3[ d例2 向量b a 57 分别与b a 27 垂直于向量b a 3 与b a 4 ，求向量a 与b的夹角。
解： 由题设有：)4(270357b a b a b a b a83070151672222b b a a b b a a解得：b a a 22，b a b 22，2122,cos b a b a b a b a b a b a3b a例3 平面01 z y x 上的直线L 通过直线1L ：102z y z x 与此平面的交点且与1L 垂直，求直线L 方程.解： 解方程组010201z y z x z y x得0 x ，1 y ，0 z ，为直线1L 与已知平面的交点，直线L 的方向向量s同时垂直于1L 的方向向量1s 与平面的法向量n ，当1s 与n不平行时，可取s 1s ]1,1,2[]11,0[]2,0,1[ n]11,1[ n ，n 与1s不平行故 s]13,2[]11,0[]1,1,2[直线L 的方程为：1312zy x 例4 求直线L ：11111z y x 在平面 ：012 z y x 上投影直线0L 的方程， 并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程. 解： 将直线L ：11111z y x 化为一般方程0101y z y x 设过直线L 且与平面 垂直的平面方程为 011 y z y x 则有02)1(1 ，即1 ，平面方程为0123 z y x这样直线0L 的方程0120123z y x z y x 把此方程化为：)1(221y z y x ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为： 2222)1(21)2(y y y x即 0124174222y z y x例5 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面 ：042 z y x ，又与直线l ：122112x y x 相交，求直线l 的方程 解： 过点0M 且平行于已知平面的平面为1 ：0)0)(2(2)1( z y x即 032 z y x下面求直线1l 与平面1 的交点，直线1l 的系数方程为 2 t x ，12 t y ，2 t z 代入平面1 的方程，得25t ，于是得直线1l 与平面 交点为 29296，，M ，所求直线的方向向量为 2927,6, M M 或 ]9,8,7[ s故所求直线的方程为98271zy x 例6 求点)1,`1,2(0 M 到直线l ： 032012z y x z y x 的距离d解Ⅰ：直线l 的方向向量为 ]4,2,0[121121 k j i s在l 上任取一点)2,0,1( M ，则]1,1,3[ M Ms M M]6,12,2[420113 kji462 s ，又52 s5230ssM M d解Ⅱ：将直线l 的方程由一般式化为标准式得42201z y x 故过点0M 与直线l 垂直的平面 的方程为0)1(4)1(2 z y ， 即 012 z y直线l 的参数式方程为：1 x ，t y ，22 t z 将上式代入平面 的方程，得：01)22(2 t t解得：53 t ，所以直线l 的交点为 5453,,1 N 2，于是点0M 到直线l 的距离为5230122512522）（N M d 例7 求两直线1l ：02201z y x z y x 与2l ：0422022z y x z y x 之间的最短距离解Ⅰ：过1l 作平面20//l ，过2l 的平面方程为0)22(1 z y x z y x即 0)21()1()1()21( z y x 要此平面平行于2l ，则此法向量0n 须垂直于0s，即002 n s， 亦即 0)1(3)21(6解得：31 ，从而平面0 的方程为0122 z y x 容易得到直线2l 上一点)2,0,0(2 M ，点2M 到平面0 的距离为1)2(211)2)(2(222h即为1l 与2l 之间的距离解Ⅱ：容易得到直线1l 上的一点)0,0,1(1M ，直线2l 上的一点)2,0,0(2 M ，于是]2,0,1[21 M M可求得直线1l 与直线2l 的方向向量分别为]1,1,0[1 S ， ]0,3,6[2 S两直线公垂线的方向向量为 ]2,2,1[ S直线1l 与2l 之间的距离为1Pr 2121SSM M M M j h s 例8 求过直线L ：185017128z y x z y x 且与求面1222 z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 018517128 z y x z y x 即 017)2()828()51( z y x由题意，球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222， 89250或 2 所求平面为：42124164387 z y x 或 543 y x例9 求直线1l ：321z x z y x 与直线2l ：1 z y x 的公垂线的方程解： 2L 的方向向量]1,1,1[2 l 而1L 的方向向量k j i k j i l231021111于是公垂线l 的方向向量k j i kj i l l l4311123121过1l 与2l 的平面 法向量k j i kj i l l n62184312311也可取法向量]3,1,9[ n，以1 z 代入1L 方程可得1l 上的点]1,1,1(1M ，于是平面 方程 0)1(3)1()1(9 z y x 即 01339 z y x再求2L 与 的交点P ，2L 的参数方程为 t x ，t y ，t z 1代入上述平面方程，得： 013)1(39 t t t ，1310 t 再代回2l 的参数方程得 1310 x ，1310 y ，1323 z于是P132313101310,,，兼顾公垂线l 的方向向量]4,3,1[ l于是可产生公垂线l 的方程为431132313101310 z y x 例10求过直线L ：185017228z y x z y x 且与球面1222 z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 018517228 z y x z y x即 017)2()828()51( y x 由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222解得：89250或 2 所求平面为：42124164387 z y x 或 543 y x三、补充练习1、设b a m 32 ，b a n 3，12 b a，3 b a ，求① n m ② n m ③m解： ① 311 n m ② 28 n m ③ 37 m2、 以向量n m a2和n m b54 作为平行四边形的对角线，其中m 和n是夹角为4的两个单位向量，求该平行四边形的面积3、如果d 垂直于三个互相垂直的非零向量a ，b ，c，证明：d 只能是零向量4、求过点)25,3( 且与两平面34 z x 和13 z y x 平行直线方程.15,72,43z y x 5、一平面经过直线（即直线在平面上）l ：41235zy x ，且垂直于平面 015 z y x ，求该平面的方程. )039275( z y x6、设一平面垂直于平面0 z ，并通过从点)1,1,1( P 到直线 01x z y 的垂线，求该平面的方程.)012( y x7、求直线923042z y x z y x 在平面14 z y x 上投影直线方程.0140117373117z y x z y x 8、求球面9222z y x 与平面1 z x 的交线在xOy 面上投影的方程01217217212222z y x9、一个立体由224y x z和223y x z 所围成，求此立体在xOy 面上投影.0,122z y x10、求由曲线 022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面被两平面2 z 与8 z 所截得的曲面主部分S 在在xOy 面上的投影区域D ，并绘出图形.0,16422z y x。