概率论与数理统计第二章(浅色背景)

所以，
例2、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解： 当 当 当 时, 时, 时,
特别,令
第五、六节 连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量
第二章
一、连续型随机变量的定义
P { X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1} 1 0.99
0.997
注：不可忽略小概率事件。P44.eg3
800
800 0.01 0.99
799
例4、设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的， 发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人 处理。考虑两种配备维修工人的办法：1、有四人维护， 每人负责20台；2、三人共同维护80台。比较这两种方法 在设备发生故障时不能及时维修的概率。 解：1、 设 X 表示“第一个人维护的20台中同时发生故障
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布
第一节
随机变量
第二章
对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。 为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律, 有必要将随机试验的结果数量化。 人们作随机试验时，常常不是关心试验结果本 身，而是对和试验结果联系着的某个数感兴趣
的台数” Ai 表示“第i个人维护的20台中发生故障而不
i = 1,2,3,4 能及时维修”，
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( X 2). =0.0169.
所以，4个人维护80台，发生故障而不能及时维修的概率：
2、设Y—80台同一时刻发生故障的台数， 则Y~b(80，0.01) =0.0087
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。 f (x)的意义： 随机变量 X在点x 处的密集程度。
二、 密度函数的性质 (1) 非负性 (2) 归一性
f x 0 x ,



f ( x)dx＝ 1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 这两条性质是判定一个函数 f ( x) 是否为某随机变量 X的概率密度函数的充要条件。 f (x) 面积为1
1
0 x
3
P( x1 X x2 )＝
x2 x1
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
第二章
二、分布函数的性质
三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则称函数
( x )
为X 的分布函数。
x 分布函数 F x 的函数值的含义：
表示 X 落在 (, x] 上的概率.
P{ X xk } pk , k 1,2,
称为X的概率分布或分布律。
性质： 分布律也可用如下表格的形式表示：
例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到 取到白球为止，X—取球次数，求(1)无放回，(2)有放回
情况下X的分布律。 解:(1) 1 2 3 4
(2) X=1，2，3，……
A 3.
1 3 x Ae dx A( )e 3
3 x
0
A 1 3
1 3 x 3 0

1 3
f ( x ) dx

1 3 0
3e 3 x dx e
1 e 1.
例 2、 及概率密度函数 f (x)。 解：
求常数 a,b,
例 3、 解：
，求A , B 及 f (x)。
为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。
n重伯努利试验中, X— 事件A发生的次数 所以 注：
2、二项分布 定义2.如果随机变量
的分布律为 则称 服从参数为
其中 记为 X ~ b(n, p) .
的二项分布,
特别,当
时,二项分布为
这就是（0—1）分布，常记为
某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率 例1、 X
所以,1、2两种方案，选取第二种。
定理1（泊松Poisson定理) 设 正整数Fra Baidu bibliotek若
是一常数，n是
，则对任一固定的非负整数
证明
由
得
对于任意固定的
故有
Ⅲ.泊松分布 若随机变量 X 的分布律
P{ X k}
k
k!
e
k 0 , 1, 2 ,
其中 0 是常数 , 称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X ~ ( ) （或X ~ p( )).
3
2
2
2
1
1
1
0
X X (e) e出现正面的个数 RX {0,1,2,3} A1 { X 1} A2 {X X 1}
定义：设E是随机试验，它的样本空间为 X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数，
称 X 为随机变量。
注：如果e本身是数，则令 X = X(e) = e，那么X就 是一个随机变量。 引例2 测量某灯泡的寿命, 令
随机变量函数和普通函数的区别：
1. 定义域不同 随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以 不是数；而普通函数是定义在实数域上的。 2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定 的概率；而普通函数却没有。
随机变量的分类：
离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
非离散型随机变量
其它
第二、三节 离散型随机变量及其分布
例1. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x)
解: F ( x) P{ X x} 当 x 0 时, { X x}
X
pk
0 1 3
1 1 6
2 1 2
F ( x) 0
1 当 0 x 1 时, F ( x) P{ X x} P{ X 0} 3 当 1 x 2时, 1 1 1 F ( x) P{ X 0} P{ X 1} 3 6 2 当x 2时 F ( x) P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} 1
引例 将一枚硬币连抛三次，事件A1为“恰有一次出 现正面”，A2为至少有一次出现正面，求P(A1)， P(A2) S {HHH, HHT, HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }
A1 {HTT, THT, TTH}
X : 出现正面的次数
e: 样本点
e
X
HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
f (t ) d t
x1 x2
f (x)
密度函数的几何意义 即X落在[ x1 , x2 ]上的概率 [ x1 , x2 ] 上曲线 y f x 之下的曲边 梯形的面积。 0
x1 x2
x
(4) f (x)在点x 处连续，则 f ( x)
F ( x)
故
F ( x x) F ( x) f ( x) lim x 0 x
一、离散型随机变量的定义 二、常用的离散型随机变量
第二章
一、离散型随机变量的定义
定义1.若随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列 无限多个,则称X是离散型随机变量。 eg: 引例1，X={0，1，2，3}; 火车站候车人数，X={0,1,2, …} 定义2.设离散型随机变量 的所有可能取值为 事件 的概率： ,其中
Pk
. . 0
n=13, p = 0.5 Pk
.. k
当(n+1) p 不为整数时，二项概率 P ( X = k ) 在 k =[(n+1) p]达到最大 0 值；
...
n=10, p = 0.7
k
某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01， 例3.
共买800次，求他至少中奖两次的概率。 解: 把每次购买彩票看成一次随机试验 设中奖的次数为 X ，则 X ~ b(800, 0.01) 即 P{ X k} C k 0.01k 0.99800 k (k 0,1,,800) 800
则称 X 服从 [a, b]上的均匀分布，
记作： X ～ U [a, b]
f (x)的 图形
分布函数为:
F ( x)
x

0, xa f (t )dt , b a 1,
F (x) 1
x a， a x b， x b.
图形如下
a
0
b
x
均匀分布的概率背景
注： F ( x) f ( x)的方法.
随机变量的统计规律
分布函数
离散型r.v的 分布函数 分布函数 的性质 连续型r.v的 分布函数
概率分布律
概率密度
二、常用的连续型随机变量
1、均匀分布 定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
k=0,1,2,3,4,5
(3)
注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有 告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，
可以当作放回抽样。
3、二项分布的图形特点: X ~ b (n, p) 对于固定n 及 p，当k 增加时, 概率 P( X = k ) 先是随之增加直至 达到最大值 , 随后单调减少. 当(n+1) p 为整数时，二项概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p-1处达到最大值.
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P{x1 X x2} (2) P{x1 X x2} 同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性： ，则
⑵ 0 F ( x) 1 ，且
⑶ 右连续性： 上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
的分布律为
则称
服从参数为
的(0—1)分布。
（0 —1）分布的分布律也可写成 注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从 (0 —1)分布的随机变量。
Ⅱ.二项分布 1.伯努利概型 ① n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各 结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 ② 伯努利概型 两种可能结果，且 设随机试验E只有 ,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验
泊松分布的图形特点： X ~ ( )
泊松分布的应用
近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概 率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科 学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要 的地位。 ① 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客 数 X ~ p (l ) . ② 生物存活的个数 X ~ p (l ) . ③ 放射的粒子数 X ~ p (l ) .
解：
0
1
2
……
30
设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 例 2、 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05,
因为 P{c X c l}

c l
c
f ( x)dx

c l
c
1 l dx ba ba
由此可得，如果随机变量 X 服从区间[a, b]上的均匀 分布，则随机变量 X 在区间[a, b]上的任一子区间上取
P X k
3 5
k 1
2 , 5
k =1，2，3，……
例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号 允许汽车通过,变量 灯，每盏信号灯以概率 表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）, 求 的分布律。
解 由题意可知
，则
的分布律为
将
带入可得 的分布律为
P( x X x x) lim x 0 x
进而
P( x X x x) f ( x)x
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
例 1、 设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值， 解： f ( x)dx
0