极化恒等式教师版

二、极化恒等式的应用：
1、（2012 浙江 15）在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 3，BC 10 ，则 AB AC =
析： 法 1：基底法
. A
取 BC 的中点 M ，AB AM MB ，AC AM MC AM MB ，
2
2
AB AC (AM MB) (AM MB) AM MB 9 25 16
9a

2
b

4，
2
a
2
b

1 ，因此
2
a

52 ,b

13
，源自文库
8
8
因此
BE
CE

2
4a
2
b

45
13

7
．
8 88
法 2：基底法 2
设 AB a, AC b ，则 BA CA AB AC a b 4………①
BF CF ( AF AB) ( AF AC) ( 2 AD AB) ( 2 AD AC)
因为

0,
2

，所以
sin
0,1
所以 FA FB 0,6
y (0，2) C F (2cosα，2sinα)
E
O
A
(- 3，-1)
x B ( 3，-1)
y C
6、如图,放置的边长为 1 的正方形 ABCD ，顶点 A, D 分别在 x 轴， y 轴
正半轴（含原点）滑动，则 OB OC 的最大值为
(PA PB) PC 的最小值
．
A
5、（2017 南通二模）如图，在平面四边形 ABCD 中， O 为 BD 的中点，
D
且 OA 3，OC 5 .若 AB AD 7 ，则 BCDC 的值是
．B
O
C
4、如图,在 ABC 中,已知 AB 4, AC 6,BAC 60 ,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,
所以 AB AC BC 2 3
PA
PB

2
PD

1
2
BA

2
PD

3,
4
因为1 PD 3,(点 P 在点 C 处达到最大)
所以 PA PB 2,6
C P
A
D
B
3、设正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上（如图所示），则 PD PC 的取值
范围是
．
D
C
P
A
B
7
3 变（2015 南通三调）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，以 A 为圆心，AE 为半径，
作圆交 AD 于点 F ，若 P 为劣弧 EF 上的动点，则 PC PD 的最小值
．
法 1：极化恒等式
21 2
2
PC PD PG CD PG 1
x (-5,0) B O M C (5,0)
1
法 3：极化恒等式(极化恒等式解决问题的典型范例)
AB
AC

1 4
(
AB

AC)2
( AB
AC)2

AM
2

1
2
CB

9

25

16
4
2、（2011 上海 11）在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点， AB 3, BD 1，则 AB AD
．
法 1：坐标法
如图建系，设 ODA ,则 A(sin,0) ， D(0,cos ),
D
O
A
B x
B(sin cos,sin ) ， C(cos,cos sin ) ，
所以 OB OC (sin cos ,sin ) (cos ,cos sin ) ，
sin cos cos2 sin cos sin2 1 sin 2
.
析：
法 1：基底法
AB AD AB (AB BD) AB (AB 1 BC) 3

AB

AB

1 3
( AC

AB)
2 21
AB AB AC
3
3
15 2
法 2：坐标法
A
B
C
D
以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 的中垂线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系，
所以 AB AC BC 2 3
C
F E
21 2
2
FA FB FD BA FD 3 ,
4
A
D
B
因为点 F 在劣弧 BC 上， 3 FD 3 ,(点 F 在点 C 处达到最大，在点 B 处最小)
所以 FA FB 0,6 ．
法 2：坐标法
FA FB ( 3 2cos, 1 2sin ) ( 3 2cos, 1 2sin) 3 4 cos2 1 4sin 4sin2 2 4sin
法 2：坐标法
如图， 设 M (x, y) ，点 A(4, 0) ,点 B(4, 0) ， MA MB x2 y2 16
因为 7 OM 4 ，所以 x2 y2 7,16 ，
所以 MA MB 9,0
法 3：极化恒等式:
MA
MB

2
MO

1
2
BA

2
MO
16 ,
4
且 AB 2AD, AC 3AE ，若 F 为 DE 的中点,则 BF DE 的值为
.
法 1：基底法
A
法 2：几何法
取 EC 的中点，连接 BG ，
DF E B
9 4
1 4
2 ，即 OB OC 的最大值为 2 ．
7、（2012 南京模拟）在 △ABC 中，点 E, F 分别是线段 AB, AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若△ABC 的
面积为 2，则 PB PC BC 2 的最小值是
．
析：极化恒等式
取 BC 中点 O , PB PC
2
PO
1 CB2 ,
因为 (0, ) ，所以 sin 2 2
0,1 ，即即 OB OC 的最大值为 2 ．
5
法 2：极化恒等式
如图，取 BC ， AD 中点 E ， F ,
OB OC
2
OE
1 BC2
2
OE
1
4
4
因为 OE OF EF 1 1 3 (当 OE BC 时取等号) 22
所以 OB OC
4
所以 PB PC
2
BC
2
PO
32 CB
23 2 2 PO BC
4
4
3 PO BC ，
A
EP
F
h
B
C
O
因为 PO 1 h ，所以 3 PO BC 2
3 h BC 2
所以 PB PC BC2 的最小值是 2 3 ．
3S ABC 2 3 ,
8、（2012 安徽）平面向量 a, b 满足 2a b 3 ，则 a b 的最小值
2 a b ，所以 a b 9 ，当且仅当 2a b 3 时
8
2
6
取等号；所以 a b 9 8
法 3：极化恒等式
因为
2a
b

1 4
(2a

b)2
(2a
b)2

，
所以 8a b (2a b)2 (2a b)2 (2a b)2 9 ，
所以 a b 9 8

1
2
AD

2
BD

1
B
D
C
9
3
解得：
2
AD

45
,
2
BD

13
,
8
8
所以
BE
CE

EB
EC

2
ED

2
BD

4
2
AD

2
BD

7
9
8
4、若 AB 是 O 的直径， M 是 O 的弦 CD 上的一个动点， AB 8,CD 6 ,则 MA MB 范围
．
析： 法 1：基底法
MA MB (MO OA) (MO OB)
4
当 A, P,G 三点共线时 PG 最小,
D
G C
D
C
F
F
P
P
A
E
B
A
E
B
此时 PG AG AP 5 1,
D
G
C
PC PD 的最小值为 5 2 5 ．
法 2：坐标法(略)
E
P'
P
A
F
B
4、已知 AB 是 O 的直径， AB 2 ， C 是圆 O 上异于 A, B 的一点， P 是圆 O 所在平面上任意一点，则
即： a
b

1 4

AD
2

BC
2

,
在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，
即a
b
AM
21
2
BC ，它揭示了三角形
4
的中线与边长的关系.
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”， 因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.
4
所以 AB
AD

2
AO

1
2
DB
15
4
2
y A
x
BO
C
A
B
D
C
O
2
3、（2016 江苏 13）如图，在 △ABC 中， D 是 BC 的中点， E, F 是 AD 上两个三等分点， BA CA 4 ，
BF CF 1 ，则 BE CE 的值是
．
A
析：
法 1：基底法 1
E
令 DF a ， DB b ，则 DC b ， DE 2a ， DA 3a ，
3
3

1 3
(a

b)

a
1 3
(a

b)

b

(1 b 3

2 3
a)
(1 3
a

2 3
b)
1 (b 2a) (a 2b) 1 9
即： (b 2a) (a 2b) 9………②
由①②可求
2
a

2
b

29
，
2
所以 BE CE (AE AB) (AE AC)
F
则 BA 3a b ， CA 3a b ， BE 2a b ， CE 2a b ， BF a b ， CF a b ，
B
D
C
则
BA
CA

2
9a

2
b
，
BF

CF

2
a

2
b
，
BE
CE

2
4a

2
b
，
由
BA CA

4，
BF
CF

1
可得
2
B
M
C
法 2：坐标法
以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 的中垂线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系，
设点 M (x, y) ，则点 B(5,0) ,点 C(5, 0) ， 由 AM 3，所以 x2 y2 9 ，
y A (x,y)
AB AC (5 x, y) (5 x, y) x2 y2 25 16
(1 AD AB) (1 AD AC)
3
3

1 6
(a
b)
a

1 6
(a

b)

b

A
1 (b 5a) (a 5b) 7
36
8
E
法 3：极化恒等式
F
2
2
BA CA AB AC AD BD 4
BF
CF

FB
FC

2
FD
2
BD
．
法 1：
2a b

3
，平方得
2
4a
2
b
4a
2
b 9 ，而 4a
2
b
4
a
b
4a
b
所以
4a
b

4a
b

9
，所以
a
b


9 8
．
法 2：由定义知， a 与 b 共线反向时， a b a b ，要求 a b 的最小值，只要求 a b 的最大值，
a 与 b 共线反向时， 2a b 2a b 2
(MO OA) (MO OA)
2
2
MO OA
2
MO 16
CM
D
G
A
B
O
过点 O 作 OG CD ,垂足为 G ，连接 OG,OC ,
则 OG OC2 1 CD2 16 9 7 , 4
因为 OC OM OG ，即 7 OM 4 ，所以 MA MB 9, 0 ．
巧用极化恒等式秒杀高考向量题
一、极化恒等式的概念：
江苏 张锡文
设
a, b
是两个平面向量，则有恒等式
a
b

1 4
(a

b)2

(a

b)2

（1）
有时也将（1）写成 4a b (a b)2 (a b)2 ，
极化恒等式的几何意义是：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 ， 4
则 A(0, 3 3 ) , B( 3 , 0) , C( 3 , 0) ，
2
2
2
所以 AB ( 3 , 3 3 ) , AD ( 1 , 3 3 ) ，
22
22
所以 AB AD 15 2
法 3：极化恒等式
取 BD 的中点 O ，连接 AO , 则在 ABC 中，由余弦定理： AO2 AB2 AO2 2AB AO cos B = 31
巩固练习：
1、（2007 天津 15）在△ABC 中， AB 2, AC 3, D 是边 BC 的中点，则 AD BC
．
2、已知正三角形 ABC 内接于半径为 2 的圆 O ，点 P 是圆 O 上的动点，则 PA PB 范围
．
析：过点 C 作 CD AB ,垂足为 D ,则点 D 是 AB 中点，连接 PD ，
y
D
M C x
AO
B
因为 OC OM OG ，即 7 OM 4 ，所以 MA MB 9, 0 ．
4
5、已知正三角形 ABC 内接于半径为 2 的圆 O , E 为线段 BC 上一动点，延长 AE 交圆 O 与点 F ，
则 FA FB 的取值范围是
．
析： 法 1：极化恒等式
过点 C 作 CD AB ,垂足为 D ,则点 D 是 AB 中点，连接 FD ，