圆锥曲线的定义及其应用(精)
圆锥曲线定义的应用精选教学PPT课件
左支上的一点，P 到左准线的距离为d.
是否存在P 点使d 、|P F1 |、 |P F2|成等比数
列若存在，求双曲线的离心率e 的取值范围，
并求出P点坐标；若不存在，说明理由.
例7、 如图, 已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD| 点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点,且以A,B为焦点. 当时,求双曲线 离心率e 的范围.
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
2
（1）PA PF2 取得最小值;
（2）PA 2 PF1 取得最小值.
P
y AP
F1 o F2
x
5、 已知双曲线 x 2 y 2 1 F1，F2
4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使
（1） PA PF2 取得最小值;
（2）5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
y P
F1
o
P
F2
x
A P
6、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛
物线 y2 2x 的焦点，点M 在抛物线上移
动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求这时
M 的坐标.
y
l
dM
A
N
1 2
o
F
x
7、已知双曲线
x2 y2 a2 b2 1,
过左焦点F1 作一弦与左支相交于A,B
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它具有许多独特的光学性质和应用。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的光学性质以及其在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面上的一根直线和一个点所决定的曲线。
根据直线和点的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种闭合曲线，它的定义是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一种开放曲线，它的定义是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
而抛物线是一种开放曲线，它的定义是到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
二、圆锥曲线的光学性质1.焦点和直径椭圆和双曲线都有焦点和直径的概念。
焦点是曲线上所有点到定点的距离之和等于常数的点的集合，而直径则是通过焦点的直线段。
焦点和直径是圆锥曲线的重要特征，它们在光学系统中有着重要的作用。
2.反射性质圆锥曲线具有良好的反射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
椭圆和双曲线可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在椭圆和双曲线反射镜中。
而抛物线则具有将入射光线聚焦到焦点上的性质，这种性质在抛物面反射镜中有着广泛的应用。
3.折射性质圆锥曲线也具有良好的折射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
这种性质被应用在折射镜和透镜中，可以用来调节光线的聚焦和散射。
4.散焦性质圆锥曲线还具有散焦性质，这种性质在光学系统中有着重要的应用。
椭圆和双曲线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在望远镜和激光器中。
而抛物线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，并使其散开成平行光线，这种性质被应用在卫星天线和抛物面反射镜中。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.光学系统圆锥曲线在许多光学系统中有着重要的应用，例如望远镜、显微镜、相机镜头等。
这些光学系统都利用了圆锥曲线的焦距和聚焦性质，来实现光线的聚焦和成像。
2.通讯设备圆锥曲线也被广泛应用在通讯设备中，例如卫星天线和天线反射器。
这些设备利用了抛物线反射镜的散焦性质，来实现对信号的接收和发送。
高考数学中的圆锥曲线知识
高考数学中的圆锥曲线知识高考数学中的圆锥曲线是一道重要的考题，也是很多学生容易失分的一道难题。
圆锥曲线是指平面上坐标系中的一种特殊的曲线，也是数学的重要分支之一。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念，分类和应用，希望能对广大考生有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念1.圆锥圆锥是一个由一个圆绕着它的直径周而复始地旋转而成的立体物体，其中：该直径是铅锤线，圆锥的底面是这个圆，圆锥的顶点是铅锤线的另一端。
2.圆锥曲线的概念在平面直角坐标系中，将一个固定的点F（称为焦点）与一个固定的直线L（称为直角准线）连接。
在平面上，连结点P到直线L的距离为PF和P到点F的距离的比等于定值e（e>0）。
这样得到的曲线称为圆锥曲线。
圆锥曲线分为三种情况：椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆锥曲线的分类1.椭圆椭圆是平面上与两个焦点F1，F2的距离之和等于定值2a（a>0）的点P的轨迹。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
椭圆可以通过平移、伸缩、旋转对平面上的圆形进行简单的变换。
2. 双曲线双曲线是平面上与两个焦点F1，F2的距离之差等于定值2a （a>0）的点P的轨迹。
双曲线有两条渐进线，即切射线和渐进线。
3. 抛物线抛物线是平面上焦点F到直线L的距离等于点P到焦点F的距离的平方与定值a（a>0）成正比例的点P的轨迹。
抛物线的形状像一个平翻的碗，有上凸抛物和下凸抛物两种。
三、圆锥曲线的应用1. 物理学圆锥曲线在物理学中得到广泛的应用。
例如，在宇宙空间中，行星的轨迹可以用椭圆来描述。
在天体力学中，利用双曲线描绘有关天体的相对运动情况。
抛物线则可用于描述抛体的轨迹。
2. 工程学圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，特别是在光学的设计中。
例如，望远镜的光学系统用到的镜面都是椭圆形的；飞机的机翼、车轮和机器的轮子都是利用圆锥的形状进行设计的。
3. 数学研究圆锥曲线在数学研究中的应用也是相当广泛的，例如，利用双曲线求解微积分中的积分问题；还可以用抛物线中的特殊几何性质证明三次方程有一个实根。
圆锥曲线定义的应用共18页文档
两点，若|AB|=m ,求ΔF2 AB 的周长 .
y
A
F1 o
F2 x
B
三、规律总结
1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线 形状可避免繁琐的计算. 2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构 成的三角形问题，常用第一定义结合正、 余弦定理来解决. 3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上 的点中的三者，常用统一定义解决问题.
DG
C
EF
A
NH
B M
例8、已知椭圆方程为
x424yt22 1,t0,F1,F2为椭圆的两个
焦点，M为椭圆上任一点，且M不与长轴
两端点重合，设 M 1 F 2 F , M 2 F 1 yF ,
若
13tg2
tg2
1, 2
M
F1
F2
o
x
求椭圆离心率的取值范围.
； zcaijing/kxianmrxt/ k线图的102个买入形态 hmq601dfk
三点 A x 1 , y 1 , B 2 , 6 , C 6 x 2 , y 2 与焦点
F(0,5)的距离成等差数列. (1) 求y1+y2的值. (2) 求证:线段AC的中垂线恒过一定点， 并求该点的坐标.
3、利用定义求解参数问题
例6、已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a0,b0
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线定义应用
圆锥曲线定义的应用一、基本知识概要1、 知识精讲：涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；双曲线的定义：点集M={P|︱|PF 1|-|PF 2|︱=2a ， |)|2(21F F a < }的点的轨迹。
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．统一定义：M={P|e dPF=，}0＜e ＜1为椭圆，e>1为双曲线，e ＝1为抛物线 重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲例1 、 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别为1和2，且|O 1O 2|=4，动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为轴建立平面直角坐标系。
由|O 1O 2|=4有O 1（-2，0），O 2（2，0）。
设动圆的半径为r 。
由动圆M 与圆O 1内切有|MO 1|=|r-1|. 由动圆M 与圆O 2内切有|MO 2|=r+2。
∴|MO 1|+|MO 2|=3或|MO 1|-|MO 2|=-3,∵|O 1O 2|=4∴|MO 1|-|MO 2|= -3∴M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。
所以M 的轨迹方程为1749422=-y x （x<0） [思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法变式练习：F １、F ２是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点，P 是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A等腰三角形APF 1中，a PF PF PF AP AF AP PF 221221=+=+==∴从而a AF OQ ==∴221选A 例２：已知双曲线12222=-by a x （a ＞０，b ＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F 1PF 2=θ, 求ΔF 1PF 2的面积．解：在ΔF 1PF 2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝21｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sin θ ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cos θ ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a 2③ 由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=θcos 122-b ④ 将④①代入得ＳΔF1PF2＝b 2θθcos 1sin -=b 2cot 2θ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b 2cot 2θ．[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理例３：已知Ａ（211，３）为一定点，Ｆ为双曲线127922=-y x 的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标． 解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则21｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜最小。
圆锥曲线的定义及应用
l
F1
o
F2
d
定点F的距离和一条定直线 定点F的距离和一条定直线l（点F不 的距离相等的点的轨迹。 在直线l上）的距离相等的点的轨迹。
.P .
F
椭圆,双曲线, 复习 椭圆,双曲线,抛物线的定义
4、圆锥曲线统一定义:平面内到一个定点和 圆锥曲线统一定义:
y A
A1 M1 B1 B
M F x
小结： 小结：
1、本课的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题 中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 利用圆锥曲线的定义解题时， 2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线 之间的共性和个性。 之间的共性和个性。 利用圆锥曲线的定义解题时， 3、利用圆锥曲线的定义解题时，涉及圆锥曲 线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义； 线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义； 涉及与焦点、准线的问题，常用统一定义。 涉及与焦点、准线的问题，常用统一定义。要 加强数形结合、化归思想的应用， 加强数形结合、化归思想的应用，以便得到解 题的最佳途径。 题的最佳途径。
湖南卷 第5题； 重庆卷 第14题；江西卷理第15题； 14题 江西卷理第15题 15
江西卷理第21题 上海卷文第8 江西卷理第21题；上海卷文第8题。 21
O1 : ( x + 3)2 + y 2 = 4 外切，且与 外切， 例1：一动圆与圆 O2 : ( x − 3)2 + y 2 = 100 内切，求动圆圆心 的 内切，求动圆圆心P的 圆
3 5 | BF1 |= | BC | ∴| BC |= | BF1 | 3 5 5 19 A + B 1的 小 为 B + B = A = B F 最 值 A C C 3 3 此时B 此时B的坐标为 − 5 3 ,2 2
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是二维平面上的几何图形，由直角圆锥与一个平面相交而产生。
它在数学、物理、工程和计算机图形等领域具有广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程、性质和应用进行总结。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线可以分为三种类型，即椭圆、抛物线和双曲线。
它们的定义分别是：- 椭圆：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
- 抛物线：平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。
- 双曲线：平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 方程形式：圆锥曲线可以以各种形式的方程表示。
常见的方程形式包括标准方程、参数方程和极坐标方程。
二、椭圆1. 基本性质：椭圆是一个闭合的曲线，两个焦点之间的距离是常数，而离心率小于1。
椭圆对称于两个坐标轴，并且具有两个主轴和两个焦点。
2. 椭圆的方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是两个半轴的长度。
3. 参数方程：椭圆的参数方程是x = h + a*cos(t)，y = k + b*sin(t)，其中t是参数的角度。
4. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程是r = (a*b) / sqrt((b*cos(t))² + (a*sin(t))²)，其中r是极径，t是极角。
5. 应用：椭圆在日常生活中有多种应用，例如天体运动的轨道、水平仪和椭圆形浴缸等。
三、抛物线1. 基本性质：抛物线是一个开放的曲线，焦点和直线称为准线。
抛物线对称于准线，并且具有一个顶点。
2. 抛物线的方程：抛物线的标准方程是y = a*x² + b*x + c，其中a、b和c是常数。
3. 参数方程：抛物线的参数方程是x = t，y = a*t² + b*t + c，其中t是参数。
4. 极坐标方程：抛物线没有显式的极坐标方程。
5. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学中有多种应用，例如抛物线反射器、天体运动的近似模型和喷泉水流的轨迹等。
圆锥曲线定义及应用
y
M
F1
o
y
F2
x
M
o
y
F2
x
抛物线——平面内与一定点F和一 定直线l的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.
< >
M
o
F
x
返回
第二定义
点M（x，y）到定点F的距离与它到定直线l的距离的比 是常数e（e＞0）的点的轨迹，0<e<1时是椭圆; e=1时是 抛物线; e>1时是双曲线.e为离心率。
L1
返回 < >
F1
O
L2
2、求坐标问题。 例2．求抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的 l y 坐标
N
由例2请大家在椭圆或双曲线 上设计一道题目？？？
M
o
· F ·
x
注意：1、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角 形问题，常用第一定义来解决; 2、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的 三者，常用统一定义解决问题.
作业：见试卷
返回 <
4、求最值问题
x y 变式2已知椭圆 1 中B、C分 25 16 别为其 左、右焦点和点M ( 2,2)，试在椭圆 上找一点A ,使： 5 （1） AM AB 取得最小值; 3
y
A
M
B C
2
2
O
x
<
>
x 已知椭圆 25
2
点；又点M(2,2) ,试在椭圆上找一点 A,使：
y2 1 中B、C分别为其 左、右焦 16
返回
<
>
x y2 1 变式3：已知椭圆 25 中B、C分别为其 16 左、右焦点；又点M ( 2,2) ，试在椭圆上找一点
圆锥曲线定义及其应用(精)
圆锥曲线定义及其应用(精)圆锥曲线的定义及应用教师:杨一，教学目标1，知识目标:能掌握圆锥曲线的两种定义，并能熟练灵活地运用定义求出轨迹方程、距离、最大值等问题2，能力目标:能准确运用圆锥曲线的定义解决实际问题，培养学生的应用意识，提高分析能力，解决题2。
困难二次曲线定义的灵活应用。
教学辅助多媒体课件。
教学过程的第一个环节:经典复习圆锥定义:第一个定义第二个定义第二个环节:定义1的应用。
距离问题示例1，从椭圆上的点p到右焦点F2的距离是7，从p到左焦点思考:变体1:从点p到左准线的距离？变式2:找出从点P到右准线的距离？2。
坐标问题例2。
找到抛物线y2上焦点的距离=12x等于9。
从例2中，请设计一个关于椭圆或双曲线的题目？？？注:1。
涉及椭圆双曲线上的点和两个焦点的三角形问题通常用第一种定义来解决；1162522=+y x2，涉及焦点、准线、偏心距和圆锥曲线上的点，通常用统一的定义来解决问题。
第三个链接:探索扩展的1。
轨迹问题例3，已知动圆a和圆B :(x+32+y2=81，内接，外接圆C :(x-32+y2=1)，求动圆中心a的轨迹方程分析:在圆的内外切割时，圆心和切点之间是什么关系？变式1:找出三角形的最大面积；2.最大问题变型2已知椭圆中的B和C被分成其左焦点和右焦点以及点M (2，2，尝试在椭圆上找到点A，以便:(1)获得最小值；备注:1，在寻找轨迹方程时，首先用定义来判断曲线形状，可以避免复杂的计算；2，一般来说，让a成为曲线上包含焦点f的区域中的一个点，并在曲线上找到一个点p，以便最小化|PF|+1/e|PA|。
所有的点都可以通过点a垂直于对应于焦点f的准线，那么垂直线段和曲线的交点就是所需的点4。
总结反思:1。
本节的重点是掌握圆锥曲线定义在解题中的应用。
应该注意这两个定义之间的区别和联系。
2.使用二次曲线的定义时，应注意曲线3之间的共性和个性。
当使用二次曲线的定义时，我们应该用数形结合和归约的思想来得到解决问题的最佳方法。
圆锥曲线精讲
圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线分类圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。
早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12）双曲线参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<> 0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面上一类重要的数学曲线，它们在光学领域中具有重要的应用。
本文将分析圆锥曲线的光学性质以及它们在光学领域中的应用。
第一部分：圆锥曲线的定义及其光学性质圆锥曲线是在一个平面上与两个定点焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹。
这两个焦点和常数2a定义了一个圆锥曲线的形状。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在光学领域中，圆锥曲线具有以下一些重要的光学性质：1.焦距：圆锥曲线的焦距是指从焦点到曲线的任意一点的距离。
焦距是光学中用来描述圆锥曲线形状的一个重要参数。
2.反射性质：圆锥曲线具有良好的反射性质，即光线经过圆锥曲线反射后能够聚焦到焦点上。
这种反射性质在光学仪器中有广泛的应用。
3.折射性质：当光线穿过圆锥曲线时，会根据曲线的形状和光线入射的角度发生折射现象。
这种折射性质在透镜和光学元件中有重要的应用。
4.光学成像：圆锥曲线具有良好的成像性质，可以用来设计出具有特定功能的光学元件，如凸透镜、凹透镜和椭圆反射面。
以上是圆锥曲线的一些光学性质，这些性质对于理解和设计光学系统非常重要。
第二部分：圆锥曲线在光学领域中的应用1.凸透镜：椭圆形凸透镜是一种常用的光学元件，它可以实现对光线的聚焦和成像。
利用椭圆形凸透镜的焦距和反射性质，可以设计出能够产生清晰的像的光学系统。
2.凹透镜：双曲线形凹透镜可以用来调制和分离光线，具有广泛的应用。
双曲线形凹透镜能够对光线进行折射和散射，可用于太阳能集热器和激光设备中。
3.抛物面反射器：抛物面反射器是一种利用抛物线形状的曲面进行光学反射的设备。
抛物面反射器可以产生平行入射光线的焦点，可用于望远镜和抛物面反射天线中。
4.光学成像系统：圆锥曲线在光学成像系统的设计中有重要的应用。
通过合理选择椭圆、抛物线和双曲线形状的曲面，可以设计出具有不同聚焦特性的光学成像系统，满足不同的光学需求。
5.光学测量仪器：圆锥曲线可以用来设计各种光学测量仪器，如激光测距仪、光学显微镜和激光雷达。
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圆锥曲线的定义及其应用
教学目标：
1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题；
2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力；
3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。
教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。
教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。
教学过程： 一.引入： 问题1：到定点12(2,0),(2,0)
F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？
121284
PF PF F F +=>=
∴P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22
11614x y +=
问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P 的轨迹是什么？ （ 以
12
,F F 为端点的线段）
（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以
12
,F F 为焦点的双曲线的一支）
（3）若改为到两定点距离之差为4，则P 点的轨迹是什么？ （以
12
,F F 为端点的射线）
（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）
由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片）
问题2：已知定点F （1，2），定直线:210l x y +-=，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d
=，则P 点
的轨迹是什么？
（
F l ∉，∴P 点的轨迹是以F （1，2）为焦点，以直线:210l x y +-=的抛物线。
）
问：（1）若点F 改为（3，－1），则点P 的轨迹是什么？
（2）当PF
d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF
d 为何值时，所求轨迹是双曲线？
(通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。
二.圆锥曲线定义的应用
（一）利用圆锥曲线定义求轨迹
例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：22
(3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程。
（轨迹为椭圆：22
1
167x y +=）
探究1：对已知作怎样的改动，所求圆心的轨迹将和双曲线有关？ 由学生探究，可能会有多种方法。
方法一：将A 点改为（－8，0），则有811
MB MA AB -=<=,所以P 点的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线左支。
方法二：将圆的半径改为2，则有
26
MB MA AB -=<=
探究2：再作怎样的改动，所求圆心的轨迹是双曲线，而不是只是一支呢？ （建议学生课后自己研究）
（通过学生的探究可以进一步熟练利用圆锥曲线在求轨迹中的应用，并且培养学生的探究与联想能力）
（引导学生小结：例1是圆锥曲线的第一定义的应用在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算，但需注意范围）.
（二）利用圆锥曲线定义求最值
例2.已知椭圆22
143x y +=，定点A （1，1），12,F F 是其左右焦点，P 是椭圆上一点。
求：（1）1PF PA
+的最大值及最小值； （2）
2
2PA PF +的最小值。
分析：（1）
1PF PA
+＝4－
2
PF ＋
PA
＝4＋
2()
PA PF -
24AF ≤+＝5 1PF PA
+＝4－
2
PF ＋
PA
＝4－2()
PF PA -
3≥
（2）设P 点到右准线的距离为d ，21
2PF e d ==22d PF
⇒=， 22PA PF PA d ∴+=+2
A
a x c ≥-=3
问：（1）若将椭圆改为双曲线：22
143x y -=，则上题第二问中应改为求_______的最大值？
（
227
7PA +
）
（2）若将椭圆改为抛物线呢？（
2
PA PF +）
y
O
•••1
F 2
F A
P
例3.线段
3
AB =,其两端点在抛物线
2y x =上，求AB 中点M 到y 轴的最短距离。
分析：设
1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 1212
,22x x y y x y ++=
=
则M 到y 轴的距离为x ，
11124p AF x x =+
=+，221
24p BF x x =+=+
121
2AF BF x x +=++
，AF BF AB +≥，
可得到：
12132x x ++
≥12524x x +∴≥54x ∴≥，所以当AB 过焦点F 时中点M 到y 轴的距离最短为54。
小结：在求最值时注意圆锥曲线定义的化归。
一般来说，涉及到圆锥曲线的焦点、离心率、准线及焦半径等问题
时，应优先考虑用定义解题。
课堂小结：
1.正确理解圆锥曲线的定义，注意定义中的限制条件；
2.在求轨迹时先利用圆锥曲线定义判断曲线形状可避免繁琐的计算；
3.利用圆锥曲线的定义求最值问题时，注意圆锥曲线定义的化归；
4.涉及焦点，准线，离心率上的点的问题，常用统一定义解决。
作业：
研究圆锥曲线定义在解决有关焦半径，焦点弦等问题中的应用。
设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 是其左，右焦点，00(,)P x y 是椭圆上任一点，设其离心率为e 。
（1）过
1
F 的直线与椭圆交于A,B 两点，求A,B 与
2
F 构成的
2
ABF ∆的周长；
（2）写出12
,PF PF 的表达式；
（3）求1PF ,
12
PF PF ⋅的最大值，最小值及对应的点P 的位置；
（4）
111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 是椭圆上三点，且
123
,,x x x 成等差，判断
112131
,,PF P F P F 的关系；（成等差）
（5）若12F PF θ
∠=，求
12
PF F ∆的面积；（
2tan
2S b θ
=）
（6）当
2,3a b ==时，定点A （1，1）
，求1PF PA +的最大值和最小值及22PA PF +的最小值。
（7）判断以
1
PF 为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系。
探究：若把椭圆改为双曲线，抛物线，那么得到哪些相关结论呢？
⋅
x
A
B
y
O F
M。