2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 第1课时 离散型随机变量的均值学案

2.3 第一课时 离散型随机变量的均值

一、课前准备 1．课时目标

(1) 理解离散型随机变量的均值的定义；

(2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值；

(3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2．基础预探

1．若离散型随机变量X 的分布列为

则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则EX ＝__________.

3.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，则EX =___________.

4.超几何分布：若随机变量X 服从N ，M ，n 的超几何分布，故EX =___________. 二、学习引领

1.随机变量的均值与样本的平均值的关系

随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2.求随机变量的均值的步骤

①分析随机变量的特点，若为两点分布、二项分布、超几何分布模型，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求解．

3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响

假设随机试验进行了ｎ次，其中1x 出现了1p n 次， 2x 出现了2p n 次，…，n x 出现了

n p n 次；故X 出现的总值为1p n 1x ＋2p n 2x ＋…＋n p n n x .因此ｎ次试验中，X 出现的均值

1122n n

p nx p nx p nx EX n

++

+=

，即EX ＝1122n n p x p x p x +++.由此可以看出，试验

次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析

题型一 离散型随机变量的数学期望

例1 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.

（Ⅰ）求第一天通过检查的概率； （Ⅱ）求前两天全部通过检查的概率；

（Ⅲ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分X 的数学期望． 思路导析：先利用古典概型的知识求的第一二天通过检查的概率；再利用相互独立事件的概率乘法便可求的前两天全部通过检查的概率；列出X 可能的取值，求出其分布列便可利用公式求X 的均值． 解：（I ）因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品．

所以，第一天通过检查的概率为P C C 194

10

4

35==．

（II ）同（I ），第二天通过检查的概率为P C C 284

10

4

13==．

因第一天，第二天是否通过检查相互独立

所以，两天全部通过检查的概率为：P P P ==⨯=12351315

． （Ⅲ）记该车间在这两天内得分X 的值分别为0，1，2， 所以 224(0)5315P X ==

⨯=，32128(1)533515P X ==⨯+⨯=，311

(2)535P X ==⨯=．

因此，481140121515515

EX =⨯+⨯+⨯=．

方法规律：求一般离散型随机变量X 的数学期望，需先找出随机变量X 的可能取值，求出X

中每个值的概率，然后利用定义求期望．

变式训练：甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是3

2

，则面试结束后通过的人数X 的数学期望EX 是 ( )． A ．

3

4

B ．

9

11

C ．1

D ．

9

8

题型二 常见离散型分布模型的数学期望 例2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望. 思路导析：由题意可知A 、B 是互斥的，故可利用互斥事件的概率公式求解．（II ）显然符合

二项分布模型，故可直接利用公式得到均值． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===⋃

()()()()0.8.P C P A B P A P B =⋃=+=

（II ）()1()10.80.2,P D P C =-=-=

因为~(100,0.2)X B ，所以期望1000.220.EX =⨯=

方法规律：随机变量如服从二点分布、二项分布、超几何分布，求其数学期望时可直接套用

公式求解，回避繁琐的求分布列计算过程．

变式训练：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX _____（结果用最简分数表示）.

题型三 数学期望的实际应用

例3 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次.在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为

9

10

和1

3

，如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？

思路导析：显然，选手甲投篮的进球数服从二项分布，从而可利用公式分别求出选手甲在两个区得分的期望，从而选择在那个区投篮．

解：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)10

9

,2(~B X ， 故992105

EX =⨯

=， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.35

9

2=⨯

. 设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)3

1

,3(~B Y ，

故1

313

EY =⨯= ，

则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ .

因为3.63>，所以选手甲应该选择A 区投篮.

方法规律：数学期望反映了随机变量取值的平均水平，利用数学期望可以解决实际问题中质量的好坏、产量的高低等问题．

变式训练：一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，